1.已知关于x 的不等式|x +a |<b 的解集为{x |2<x <4}。
(1)求实数a ,b 的值;
(2)求at +12+bt 的最大值。
2.设函数f (x )=|x -3|+|2x -4|-a 。
(1)当a =6时,解不等式f (x )>0;
(2)如果关于x 的不等式f (x )<0的解集不是空集,求实数a 的取值范围。
解析:(1)由f (x )>0,可得????? x <2-3x +1>0,或????? 2≤x ≤3x -7>0,或?????
x >33x -13>0, 解得x <13或x >133
。 (2)∵|x -3|+|2x -4| |x -3|+|2x -4|=????? -3x +7,x <2x -1,2≤x ≤3, 3x -7,x >3 ∴(|x -3|+|2x -4|)min =1,∴a >1。 3.设函数f (x )=|2x +2|-|x -2|。 (1)求不等式f (x )>2的解集; (2)若对于?x ∈R ,f (x )≥t 2-72 t 恒成立,求实数t 的取值范围。 解析:(1)f (x )=????? -x -4,x <-1,3x ,-1≤x <2, x +4,x ≥2。 当x <-1时,-x -4>2, x <-6,∴x <-6; 当-1≤x <2时,3x >2,x >23,∴23 综上所述,不等式f (x )>2的解集为??????x ?? x >23或x <-6。 (2)由(1)可知f (x )min =f (-1)=-3, 若?x ∈R ,f (x )≥t 2-72 t 恒成立, 则只需f (x )min =-3≥t 2-72t ?2t 2-7t +6≤0?32 ≤t ≤2, 所以实数t 的取值范围为32 ≤t ≤2。 4.已知函数f (x )=x |x -a |(a ∈R )。 (1)若a =2,解关于x 的不等式f (x ) (2)若对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4,求a 的取值范围。 又∵p ′(x )=1-4x 2=x -x +x 2, ∴p (x )在(0,2]上单调递减,[2,4]上单调递增。 ∴p (x )min =p (2)=4。 故a ∈(3,4)。 5.已知a ∈R ,设关于x 的不等式|2x -a |+|x +3|≥2x +4的解集为A 。 (1)若a =1,求A ; (2)若A =R ,求a 的取值范围。 6.已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3。 (1)当a =-2时,求不等式f (x ) (2)设a >-1,且当x ∈??? ?-a 2,12时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围。 解析:(1)当a =-2时,不等式f (x ) 高考数学经典专题:绝对值不等式中含参数成立问题 1.已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,. (1)当3m =时,解不等式()3f x ≥; (2)证明:当0m <时,总存在0x 使00()21f x x <-+成立 2.已知函数()32f x x =-. (1)若不等式213f x t ? ?+≥- ???的解集为11,,33????-∞-?+∞ ??????? ,求实数t 的值; (2)若不等式()3133y y f x x m -≤+++?对任意x ,y 恒成立,求实数m 的取值范 围. 3.已知函数()2f x x a =-,()|1|g x a x =-,a R ∈. (Ⅰ)若1a =,求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围; (Ⅱ)设()()()h x f x g x =+,若存在12,[2,2]x x ∈-,使得()()216h x h x -≥成立,试求实数a 的取值范围. 4.已知()|3|f x ax =-,不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟 . (1)求a 的值; (2)若()()3 f x f x k +-<存在实数解,求实数k 的取值范围. 5.已知函数f (x )=|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|. (1)当a =4时,求解不等式f (x )≥8; (2)已知关于x 的不等式f (x )2 2 a ≥在R 上恒成立,求参数a 的取值范围. 6.已知定义在R 上的函数2 ()|24|f x x a x a =-+-. (1)当1a =时,解不等式()5f x ≥; (2)若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立,求a 的取值范围. 7.已知,a b 均为实数,且3410a b += . (Ⅰ)求22a b +的最小值; (Ⅱ)若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立,求实数x 的取值范围. 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ,若a - |b | > 0,则下列不等式中正确的是(D ) A. b - a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 - b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?,则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x (x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x (单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积)。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f (x )元,则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时,()0f x '> ;当 015x <<时,()0f x '< 因此 当15x =时,f (x )取最小值()152000f =; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19.解:设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐,y 个单位的晚餐,所花的费用为z ,则依题意得: 温馨提示: 高考题库为Word 版,请按住Ctrl ,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、(2009全国Ⅰ)不等式 1 1 X X +-<1的解集为( )(A ){x }}01{1x x x ??? (B){ }01x x ??(C ){}10x x -?? (D){ }0x x ? 【解析】选D. 0040)1()1(|1||1|11 1 22<--+?-<+?<-+x x x x x x x x , 故选择D 。 2、(2009重庆高考)不等式2 313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 A .(,1][4,)-∞-+∞ B .(,2][5,)-∞-+∞ C .[1,2] D .(,1][2,)-∞+∞ 【解析】选A.因为2 4314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意x 恒成立,所以 223434041a a a a a a -≥--≥≥≤-即,解得或. 3、(2009广东高考)不等式 1 12 x x +≥+的实数解为 . 【解析】112x x +≥+23 02)2()1(0 22122-≤????≠++≥+??? ?≠++≥+?x x x x x x x 且2-≠x . 答案:3 2 x ≤-且2-≠x . 4、(2009山东高考)不等式0212<---x x 的解集为 . 【解析】原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥??---解得 又 0,x x <∴不存在; 当1 02 x ≤< 时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11 0,0;22 x x ≤<∴<< 当1 11 ,211,222 22 x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又 综上,原不等式的解集为|0 2.x x << 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D 基本不等式及其应用 [基础训练] 1.下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0,则a 2 +1 a 的最小值是2a ; ②函数f (x )=sin 2x 3+cos 2x 的最大值是2; ③函数f (x )=x +1 x 的值域是[2,+∞); ④对任意的实数a ,b 均有a 2+b 2≥-2ab ,其中等号成立的条件是a =-b . A .0 B .1 C .2 D .3 : 答案:B 解析:①错误:设f (a )=a 2 +1 a ,其中a 是自变量,2a 也是变化的,不能说2a 是f (a )的最小值; ②错误:f (x )=sin 2x 3+cos 2 x ≤sin 2x +3+cos 2x 2 =2, 当且仅当sin 2x =3+cos 2x 时等号成立,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f (x )的最大值; ③错误:当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2, 当且仅当x =1 x ,即x =1时等号成立; 当x <0时,-x >0,x +1 x =-? ?? ??-x +1-x ≤-2 -x ·1 -x =-2, ¥ 当且仅当-x =-1 x ,即x =-1时等号成立. ∴f (x )=x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); ④正确:利用作差法进行判断. ∵a 2+b 2+2ab =(a +b )2≥0,∴a 2+b 2≥-2ab , 其中等号成立的条件是a +b =0,即a =-b . 2.[2019河北张家口模拟]已知a +2b =2,且a >1,b >0,则 2 a -1+1 b 的最小值为( ) A .4 B .5 C .6 D .8 答案:D 解析:因为a >1,b >0,且a +2b =2, \ 所以a -1>0,(a -1)+2b =1, 所以2a -1+1b =? ????2 a -1+1 b ·[(a -1)+2b ] =4+4b a -1 +a -1b ≥4+2 4b a -1·a -1 b =8, 当且仅当4b a -1=a -1 b 时等号成立, 所以2a -1 +1b 的最小值是8,故选D. 3.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2] B .[-2,0] C .[-2,+∞) D .(-∞,-2] ! 答案:D 解析:∵2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立), ∴2 x +y ≤12,∴2x +y ≤14, 得x +y ≤-2.故选D. 4.已知x >0,y >0,且4xy -x -2y =4,则xy 的最小值为( ) B .2 2 D .2 答案:D 解析:∵x >0,y >0,x +2y ≥22xy , ∴4xy -(x +2y )≤4xy -22xy , ∴4≤4xy -22xy , 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 【高中数学】数学《不等式》复习资料 一、选择题 1.已知ABC V 是边长为1的等边三角形,若对任意实数k ,不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒 成立,则实数t 的取值范围是( ). A .33 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? B .2323 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? C .23,3?? +∞ ? ??? D .3,3?? +∞ ? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算,将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题,由0 当且仅当 时,等号成立,故选C. 点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 3.若33 log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为( ) A .6 B .83 C . 163 D . 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由33 log (2)1log a b ab +=+21 3b a +=,且0,0a b >>,又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ,展开之后利用基本不等式,即可得到本题答案. 【详解】 因为33 log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=, 所以,23a b ab +=,等式两边同时除以ab 得21 3b a +=,且0,0a b >>, 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=, 当且仅当82a b b a =,即2b a =时取等号,所以42a b +的最小值为163. 故选:C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值,其中涉及对数的运算,考查计算能力,属于中等题. 4.设x ,y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ,若32z x y =-+的最大值为n ,则2n x x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A .60 B .80 C .90 D .120 【答案】B 【解析】 【分析】 画出可行域和目标函数,根据平移得到5n =,再利用二项式定理计算得到答案. 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x ,高考数学经典专题:绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
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