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圆锥曲线切线的一个优美性质

圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题

招式八：轨迹问题轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1）当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。（2）当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O

即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程；【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-

圆锥曲线的切线及其作图原理讲课教案

圆锥曲线的切线及其作图原理

精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 圆锥曲线的切线及其作图原理 ,这一性质为我们提供了过椭圆(双曲线)上任意一点作椭圆(双曲线)切线的非常简便的尺规方法. 定理1:已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,直线l 与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与圆相切。证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则 0000012220000 22y y x y x k k x r x r x r y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+ ∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+ ∴MN 的中点0000(,())x Q m m x y y --+,∴直线PQ 的斜率为00 x k y =- ∴直线0000 :()x PQ y y x x y -=--,即为200x x y y r +=,易知直线PQ 与圆相切.定理2:已知,A B 是圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点,直线l 与x 轴垂直,过椭圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点,记线段MN 的中点为Q ,则直线PQ 与椭圆相切. 证明:设点00(,)P x y ,直线l 为x m =,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则 200000122220000 22y y x y b x k k x a x a x a a y +=+==-+-- 直线010:()PA y y k x x -=-,令x m =,则100()y k m x y =-+ ∴100(,())M m k m x y -+,同理可得200(,())N m k m x y -+ ∴MN 的中点200020(,())b x Q m m x y a y --+,∴直线PQ 的斜率为2020 b x k a y =- ∴直线200020 :()b x PQ y y x x a y -=--,即为0 0221x x y y a b +=,易知直线PQ 与椭圆相切.

圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线的切线问题圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一导数法求抛物线切线例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率；上两点，A与B的横坐标之和为 4．（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程．类型二椭圆的切线问题 2

5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程. 类型三直线与椭圆的一个交点例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ，且过点（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2

圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳 1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22 221x y a b +=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+b y y a x x 。 122 22=+b y a x '2'2()()1x y += 推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ， 0 01000 0y ay b k x bx a -==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ?=-，∴0210 1bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx x y x b ay a - =--，又 '',x y x y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a -=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-?，000022()()y y y x x x b a --=-，22 00002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴22 00 221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y y a b +=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。综上，推导完毕。 L b y y = ' y P （00,y x ） x O 转换坐标系令b y y a x x = ='', ),( 0'b y a x P O a x x = ' ' L

圆锥曲线经典性质总结证明

圆锥曲线的经典结论一、椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF

9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）

圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线的双切线问题初探蓝婷深圳市第二高级中学；广东深圳 518055 【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，并总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。【关键词】：圆锥曲线；双切线；切点弦方程一、研究背景圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题过程的目的。二、定理证明为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：220Ax By Cx Dy Exy F +++++=，下面给出定理的证明。引理：设()00,P x y 是圆锥曲线220Ax By Cx Dy Exy F +++++=上一点，则与该圆锥曲线切于点P 的直线方程为：000000( )()()0222 x x y y y x x y Ax x By y C D E F ++++++++=。证明：在圆锥曲线方程2 2 0Ax By Cx Dy Exy F +++++=两边求导，可得： 220Ax Byy C Dy Ey Exy '''+++++=，所以：22Ax Ey C y Ex By D ++'=- ++ 则切线方程为：0000002()2Ax Ey C y y x x Ex By D ++-=- -++ 得：000000()(2)(2)()y y Ex By D Ax Ey C x x -++=-++- 化简：220000000000002222222Ax By Cx Dy Ex y Ax x By y Cx Dy Cx Dy Ex y Exy ++++=+++++++ 因为()00,P x y 在圆锥曲线上，所以：220000002222220Ax By Cx Dy Ex y F +++++=

专题椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计马鞍山二中刘向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计 (一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x y =±= （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。

圆锥曲线综合切线问题

【例1】抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（） A ． 35 5 B ． 45 5 C ． 135 20 D ． 95 20 【例2】若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（） A ．430x y ++= B ．490x y +-= C ．430x y -+= D ．420x y --= 【例3】与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是；【例4】过点(01)P ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程为_______________________．【例5】已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2 14 y x = 有且只有一个交点，求满足条件的直线方程．【例6】已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为 2 2 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂典例分析板块三.切线问题

线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切． ⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．【例7】如图，P 是抛物线C ：2 12 y x = 上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． ⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SP SQ + 的取值范围．【例8】已知椭圆22 122:1(0)y x C a b a b +=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1． ⑴求椭圆1C 的方程； ⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值．是双曲线上不同的两个动点． ⑴ 求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程 ⑵ 若过点()0,h 的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥，求h 的值．

圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程教学目标：（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程： 1. 引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质：性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点的对应的准线，并且同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲：练习1：抛物线与直线围成的封闭的图形的面积为，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线，则直线l 的方程为例1：设抛物线的焦点为F ，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 22200 (,)x y r M x y +=过圆上一点的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为： 00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为： 00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43 260x y -+=

高考数学圆锥曲线的基本公式推导

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程圆锥曲线的切线方程在历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】椭圆的切线方程： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程：物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】基础知识的证明：【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的切线方程为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x

圆锥曲线的性质

毕业论文（2010 届）题目圆锥曲线的性质及其应用学院数学与计算机学院专业数学与应用数学（师范）年级2006级学生学号12006242748 学生姓名王海强指导教师胡有婧 2010年4 月19 日

目录摘要 (1) 关键词 (1) 1.引言 (1) 2.圆锥曲线的性质 (2) 2.1圆锥曲线的基本性质 (2) 2.2圆锥曲线的光学性质 (4) 2.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质 (7) 2.3.1 蝴蝶定理 (7) 2.3.2 帕斯卡定理 (8) 2.4 与焦点弦相关的几条性质 (9) 3.圆锥曲线性质的应用 (11) 3.1基本性质的应用 (11) 3.2光学性质的应用 (12) 3.2.1解决一类“距离之和”的最值问题 (12) 3.2.2 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用 (15) 3.2.3在生产生活中的作用 (16) 3.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 (17) 3.3.1蝴蝶定理的应用 (17) 3.3.2巴斯卡定理的应用 (19) 3.4 与焦点弦相关的几条性质的应用 (20) 4.总结 (22) 参考文献 (22)

数学计算机学院数学教育专业2010届王海强摘要本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质、光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用和在解题中的应用进行了简要说明．关键词圆锥曲线；性质；应用中图分类号O123.1 The Properties of conic and Application

高三数学解答题难题突破圆锥曲线的切线问题

高三数学解答题难题突破圆锥曲线的切线问题【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=?，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 【典例指引】类型一导数法求抛物线切线例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2 4 x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．类型二椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 类型三直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为4，且过点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P ∴ 22 231a b += 且222 a b c =+ ∴ 2 8a = 2 4b = 2 4c = 椭圆C 的方程是22 184 x y + = （2）

齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题

“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=，（*） 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，（**）整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +--+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值或=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点。此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。方法评估：此方法求解过程中（*）（**）化简整理计算非常繁琐。下面介绍齐次式法。（上述方法改进还有“点乘双根法”）解法二（齐次式法）由以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点P ，知PB PA ⊥，即1-=?PB PA k k 。（??????PB PA k k ?为定值）

50条圆锥曲线性质和结论

椭圆与双曲线的对偶性质(必背的经典结论) 1. 2. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆椭圆 3. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 4. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 5. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 6. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 7. 若000(,)P x y 在椭圆 2 2 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 9. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆 2 2 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 20 2y a x b K AB -=。 12.若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

圆锥曲线的切线方程

圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd1438488322

11),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022 222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+b y y a x x M b y a x y x M b y y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M r b y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。的切线方程为上一点：经过圆结论

。两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明： 11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202 0020202222 22=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a b y a x b y y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x

专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计马二中向兵一、教学目标知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。二、教学重点与难点教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。教学难点：椭圆的切线方程的探究。三、教学流程设计 (一）创设情境复习：怎样定义直线与圆相切？设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知基础铺垫：问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l 只有一个公共点（1）请你写出一条直线l 的方程；（2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程；（3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程；（4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。设计意图：（1 ）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消

元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。问题一般化：猜想：椭圆22 22:1x y C a b +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为2 00x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

高考数学圆锥曲线的经典性质50条(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点 M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.