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1-6极限存在准则,两个重要极限1

1-6极限存在准则,两个重要极限1
1-6极限存在准则,两个重要极限1

第六节

极限存在准则与

两个重要极限

第一章

n n ∞

→∞

→准则1(夹逼准则)a

x n n =∞

→lim 证,0>?ε,Z 1+

∈?N ?a y n ?a z n ,

Z 2+∈N 一、极限存在的两个准则

)0(2

212≠≤??????

????→x x x .

22lim 0

=??

????→x x x A x f x f A x f x x ==?

=+

?→)()()(lim 000

x n ≥≥L 1x 2

x n x 1+n x 1

2

1

x x x =+>+=33学会用数学归纳法证明

{x n }的单调性和有界性.

lim 0

31>=∴>=≥∞→A x x x n n n Q

二、两个重要极限

证=x sin 21x 21x

tan 2

1

=△AOB 的面积<<△AOC 的面积( 利用准则Ⅰ′)

AC ××<121<××h 1211

sin lim .10=→x

x

x

)

2

0(tan sin π

<

<<

2

0(π

<

x

x x cos 1sin 1<

<去乘不等式得x

.

1cos lim 0=+

→x x 下面证

,则若0)(lim =→

x x ?.1)()

(sin lim

=→x x x ??

证明思路:(分四步)

e

)11(lim .2=+∞→x

x x

1

+

[(x n =单调增加常数)1(>a

a x 单调增加

常数)

0,0(>>x x μμ

迫敛准则在极限求解中的应用

迫敛准则在极限求解中的应用 中文摘要:在高等数学中,有很多重要的概念和方法都和极限有关,并且在实际问题中,极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中,极限对我们来说也很重要,它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中,我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用,迫敛准则,我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则,它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质,对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用,并进行了一些推广. 关键词:迫敛准则;极限求解;应用 Abstract:In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion. Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application 1. 引言 迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质,它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而,在实际应用中,要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的,这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.

第一章 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 (一) 1.区间[)+∞,a 表示不等式( ) A .+∞<

1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题 教学过程: 引入:考察极限x x x sin lim → 问题1:观察当x →0时函数的变化趋势: 当x 取正值趋近于0时, x x sin →1,即+ →0 lim x x x sin =1; 当x 取负值趋近于0时,-x →0, -x >0, sin(-x )>0.于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→. 综上所述,得 一.1si n l i m =→x x x . 1sin lim =→x x x 的特点: (1)它是“0 0”型,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果是0 0; (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂. 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞), 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1. 例1 求x x x tan lim →. 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x . 例2 求x x x 3sin lim 0 →. 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令. 例3 求2 cos 1lim x x x -→. 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x . 例4 求x x x arcsin lim →.

极限存在准则两个重要极限

极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则; 2、掌握两个常用的不等式; 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则; 2、单调有界准则; 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在,并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷,从已知到未知,引入新知识(5分钟)。首先给出极限存在准则(20分钟),并举例说明如何应用准则求极限(20分钟);然后重点讲解两个重要的极限类型,并要求学生能利用这两个重要极限求极限(40分钟);课堂练习(15分钟)。 【授课内容】 引入:考虑下面几个数列的极限 1、1000个0相加,极限等于0。 2、无穷多个“0”相加,极限不能确定。

3、,其中,,极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决,下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证: 取上两式同时成立, 当时,恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。 【注意】 利用夹逼准则求极限的关键是构造出与,并且与的极限是容易求的。例1 求解: 由夹逼定理得: 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件,就称数列是单调增加的;如果数列满足条件,就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列(重根式)的极限存在 【分析】 已知,,求。首先证明是有界的,然后证明是单调的,从而得出结论证: 1、证明极限存在a)

两个重要极限学习资料

2.5.1两个重要极限(第一课时) ——新浪微博:月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点:公式的熟记与理解。 难点:多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 (1)极限存在性定理:A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 (2)无穷大量与无穷小量互为倒数,若)(0)(x x x f →∞→,则)(00)(1 x x x f →→ (3)极限的四则运算: [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g (4)[])(lim )(lim x f c x cf =(加法推论) (5)[][]k k x f x f )(lim )(lim =(乘法推论) (6)[]0lim =?有界变量无穷小量(无穷小量的性质) eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x

那么,?=→x x x sin lim 0呢,这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征:(1)0 0型极限; (2)分子是正弦函数; (3)sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例1】 求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解:kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解:x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x (推导公式:1tan lim 0=→x x x ) 【例3】 求 x x x 5sin lim 0→ 解:51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习 (1)x x x 3sin lim 0→(2)x kx x sin lim 0→()0≠k (3)x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解:(1)x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x (2) k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 (3)3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x (4)x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结:

(完整版)1极限存在准则-两个重要极限

Afr .-f-e 第一早第八节 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、 了解函数和数列的极限存在准则; 2、 掌握两个常用的不等式; 3、 会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、 夹逼准则; 2、 单调有界准则; 3、 两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在,并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷,从已知到未知,引入新知识( 3分钟)。首先给出极限存在准 则(10分钟),并举例说明如何应用准则求极限( 5分钟);然后重点讲解两个重要的极限类 型,并要求学生能利用这两个重要极限求极限( 10分钟);课堂练习(5分钟)。 【授课内容】 引入:考虑下面几个数列的极限 1000 3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1, N = '、3,极限不能确定。 对于2、3就需要用新知识来解决,下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件 (1) y n X n Z n (n 1,2,3 ) (2) lim y n a, lim z n a, n n 那么数列X n 的极限存在,且lim X n a . n 证: y a, z a, 0, N 1 0, N 2 0,使得 1、 lim n n 2 1000个0相加,极限等于 0。 2、 lim n ——2一无穷多个 .n i 0”相加,极限不能确定。

当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n

取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立,即a _1_ n 2 2 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2. 单调有界准则 准则n 单调有界数列必有极限 几何解释: X 2 X 3 X n X n 1 A 1 - 3—X n , X 1 ,3,求lim X n 。首先证明是有界的,然后证明是单 n 调的,从而得出结论 证:1、证明极限存在 例2证明数列 X n .3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在 当n > N 时,恒有 a y n x n z n a ,即 X n a 成立, lim x n a. n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 o 准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时,有 (1) g(x) f(x) h(x), ⑵』m g(x) A ,』m h(x) A, x x x x (x ) (x ) 那么lim f (x)存在,且等于A . x x 0 (x ) 准则 和准则'称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出 y n 与z n ,并且y n 与z n 的极限是容易求的。 解: 又lim n 1 1 求 lim( + =+ L n “n 2+ 1 、n 2 + 2 + J 2 : ). .n + n 1 + . < ..n 2 + n lim n 1, lim 一n - n lim n 1, 1 2 y n a 由夹逼定理得: -)1- n 如果数列x n 满足条件X 1 加的;如果数列 x n 满足条件X 1 x 2 x 3 少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 X 2 X 3 X n X n X n 1 X n 1 ,就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减 【分析】已知X n

两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题 教学过程: 引入:考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时,-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 综上所述,得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点: x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解 令 arcsinx=t ,贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时,叱1,即lim 竺S=1 ; x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果 是 推广 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2

(完整版)1-7两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题 教学过程: 引入:考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时,x x sin →1,即+→0lim x x x sin =1; 当x 取负值趋近于0时,-x →0, -x >0, sin(-x )>0.于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→. 综上所述,得 一.1sin lim 0=→x x x . 1sin lim 0=→x x x 的特点: (1)它是“00”型,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果是0 ; (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂. 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞), 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1. 例1 求x x x tan lim 0→. 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x . 例2 求x x x 3sin lim 0→. 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令. 例3 求20cos 1lim x x x -→. 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x . 例4 求x x x arcsin lim 0→.

两个重要极限(可编辑修改word版)

2.5.1 两个重要极限(第一课时) ——新浪微博:月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点:公式的熟记与理解。难点:多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 (1)极限存在性定理: lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A ( 2) 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 , 若 f (x ) → ∞(x → x 0), 则 1 f (x ) → (0 x → x 0) (3) 极限的四则运算: lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) (4) lim [cf (x )] = c lim f (x ) (加法推论) (5) lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k (乘法推论) (6) lim [无穷小量? 有界变量] = 0 (无穷小量的性质) eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ?

lim ? = lim ? ? 那么, lim sin x = ?呢,这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征:(1) 0 型极限; (2) 分子是正弦函数; (3) sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解: lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解: lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x (推导公式: lim tan x = 1 ) x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解: lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 (1) lim sin x (2) lim sin kx (k ≠ 0)(3) lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解:(1) lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 (2) lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx (3) lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 (4) lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结:

《第二个重要极限的应用——复利模型》

《第二个重要极限的应用——复利模型》 教学方案设计 一、教学简述 (一)教学背景 极限是高等数学的最基础的理论及工具,尤其是第二个重要极限在极限中占有很重要的地位,它的结构独特,使用灵活,许多实际问题都依赖于为这种极限的应用,特别是复利模型的应用,因此若掌握了第二个重要极限不仅有助于我们学好微积分,也利于解决生产和生活中的实际问题。 (二)教学特色 第二个重要极限的地位特殊,由于结构复杂,形式多样,计算灵活,在经济学中尤为重要,为了体现其在经济工作中的优势,本节课旨在突出第二个重要极限的应用——复利模型,通过理论联系实际,以点至面的让学生掌握这一重点和难点。本节微课从“情境问题”教学法出发,构建虚拟课堂,因故事引出谜团,以谜团贯穿教学过程,借谜团掌握知识要点,构建以专业问题为背景的数学模型教会学生学会

主动提出问题、研究问题和解决问题,最终又回归于专业问题的运用。环环相扣的教学进程,让学生步步深入教学内容,提高学习的效果,从而更助于学生掌握本节课的知识。 (三)教学内容 1.课程《高等数学》 2.章节:第一章函数极限与连续性,第三节两个重要极限的第二部 分第二个重要极限。 (四)授课对象 财管、经济、国贸等经管类专科一年级 (五)教学目标 1.知识目标:基于第二个重要极限的学习,探究复利模型的最终结 论,进而回归实际问题,完成对第二个重要极限的应用。 2.能力目标:通过本微课的学习培养学生质疑问题、解决问题的能 力和相关知识的迁移能力。对专业学习和生活阅历的培养都有帮助。 3.情感目标:专业问题的引入可以激发学生的学习兴趣,明确高等 数学的实用性,体会数学思想和数学方法的精妙。进而培养学生主动探索和创新的科学精神。 (六)教学的重点与难点 1.重点:利用第二个重要极限的运算方法解决实际运用 2.难点:引导学生对复利模型的理解和归纳总结,进而推出其结论。(七)教学方法

两个重要极限的推广与应用

两个重要极限的推广与应用 摘要:极限在数学分析中占有很重要的地位,不但是一个基本的数学概念,而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点,所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式,还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度,为了帮助同学们更容易掌握这部分内容,本文将结合实例对其进行深入分析,来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词: 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置,它贯穿了整个数学分析的内容,是积分和微分的基石,也是一个基本概念,而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可以简化极限计算的步骤,节约时间,而且过程清晰明了,使人易懂。对于数学专业的学生,更应该熟练掌握这部分内容,并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容,本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。 1.两个重要极限的基本形式及其推广形式 1.1 1sin lim 0=→x x x (1) 运用1sin lim 0=→x x x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面:

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第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则; 2、掌握两个常用的不等式; 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则; 2、单调有界准则; 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在,并求极限。 【教学设计】从有限到无穷,从已知到未知,引入新知识(3分钟)。首先给出极限存在准则(10分钟),并举例说明如何应用准则求极限(5分钟);然后重点讲解两个重要的极限类型,并要求学生能利用这两个重要极限求极限(10分钟);课堂练习(5分钟)。 【授课内容】 引入:考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加,极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加,极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ,其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决,下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证:,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当

第1章重要极限与极限存在准则习题集及答案

第一章 习题二 重要极限与极限存在准则 无穷小的比较 一. 选择题 1.=--∞ →n n n n n ne e 2 2 11) sin(lim ( A ) (A )0; (B )1; (C )1-; (D )∞. 2.3)2 1(lim -∞ →=+e n kn n ,则=k ( C ) (A )23; (B )32; (C )23-; (D )3 2-. 3.设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调有界,{}n x 为数列,则以下选项正确的是( B ) (A )若{}n x 收敛,则{()}n f x 收敛 (B )若{}n x 单调,则{()}n f x 收敛 (C )若{()}n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D )若{()}n f x 单调,则{}n x 收敛 4.当0→x 时,)11(22-++x x 是x 的( D ) (A )高阶无穷小;(B )同阶但不等价无穷小;(C )低阶无穷小;(D )等价无穷小. 5.当∞→n 时,4321321n n n +++是5 321321n n n -+-的( C ) (A )高阶无穷小;(B )同阶但不等价无穷小;(C )低阶无穷小;(D )等价无穷小. 6.当0→x 时,下列结论正确的是( D ) (A )22~)1ln(x x -; (B )x x ~121--; (C )x e x 2~12-; (D )x x ~)sin 1ln(+. 7.当0x +→ B ) (A )1- (B ) (C 1 (D )1-二.填空题

1.设0≠x ,则___________lim 2tan 2 n n n x x →∞=. 2.221___________sin(21)lim 032x x x x x →-+=-+. 3.4)2( lim =++∞ →x x c x c x ,则___________ln 4c =-. 4.0___________11 lim(sin sin )1x x x x x →-=-. 5. 220___________1sin lim 0 sin 2x x x x →=. 6.220_____ ln cos lim ln cos x ax a bx b →=. 7 .0 ___________ 13 x →= . 8 .0lim x + →= 9.若0x →时,124 (1)1ax --与sin x x 是等价无穷小,则________4a =-。 10.当0→x 时,x x sin 22sin -是x 的k 阶无穷小量, k= 3 . 11.设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()n x x 更高阶的无穷小,而sin()n x x 是比2 1x e -更高阶的无穷小。则正整数_________2n =。 三.计算题 1.求n n n n )2 3()32(lim +∞ →. 解:Θ ≤+?=+≤n n n n n 1)32(23)23()32(232n 22 3 ?,且∞→n lim n 21=, 2 3 )23()32(lim =+∴∞→n n n n . 另解:n n n n )23()32(lim +∞→n n n 1)3 2(23lim 2+?=∞→n n n n 1 lim 21)3 2(lim 23∞→? ?? ? ????? ??+=∞→2 3= . 2 .求n →∞+L n n < ++ < L 且1n n == ,所以n →∞ L =1 3.求)2211(lim 222n n n n n n n n n n n n -+ ++-++-+ ∞→Λ.

两个重要极限的推广与应用

两个重要极限的推广与应用 摘要:极限在数学分析中占有很重要的地位,不但是一个基本的数学概念,而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点,所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式,还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度,为了帮助同学们更容易掌握这部分内容,本文将结合实例对其进行深入分析,来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词: 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置,它贯穿了整个数学分析的内容,是积分和 微分的基石,也是一个基本概念,而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)1 1(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可

极限存在准则,两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则; 2、掌握两个常用的不等式; 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则; 2、单调有界准则; 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在,并求极限。 【教学设计】从有限到无穷,从已知到未知,引入新知识(5分钟)。首先给出极限存在准则(20分钟),并举例说明如何应用准则求极限(20分钟);然后重点讲解两个重要的极限类型,并要求学生能利用这两个重要极限求极限(40分钟);课堂练习(15分钟)。 【授课内容】 引入:考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加,极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加,极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ,其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决,下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ → 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证:,, a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n 当n N >时,恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞ →

两个重要极限试题

两个重要极限试题

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1-7 两个重要极限练习题 教学过程: 引入:考察极限x x x sin lim 0 → 问题1:观察当x →0时函数的变化趋势: x (弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... x x sin 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 当x 取正值趋近于0时,x x sin →1,即+→0lim x x x sin =1; 当x 取负值趋近于0时,-x →0, -x >0, sin(-x )>0.于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→. 综上所述,得 一.1sin lim 0=→x x x . 1sin lim 0=→x x x 的特点: (1)它是“00”型,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果是0 ; (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂. 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞), 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1. 例1 求x x x tan lim 0→. 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x . 例2 求x x x 3sin lim 0→. 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令. 例3 求20cos 1lim x x x -→. 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x . 例4 求x x x arcsin lim 0→.

1-7-两个重要极限练习题

1-7-两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题 教学过程: 引入:考察极限x x x sin lim 0 → 问题1:观察当x →0时函数的变化趋势: 当x 取正值趋近于0时,x x sin →1,即+ →0lim x x x sin =1; 当x 取负值趋近于0时,-x →0, -x >0, sin(-x )>0.于是 ) () sin(lim sin lim 00 x x x x x x --=+ - →-→. 综上所述,得 一.1sin lim 0 =→x x x . 1sin lim 0 =→x x x 的特点: (1)它是“00”型,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果是0 0;

(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂. 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞), 则 a x →lim ()[] () x x ??sin =() ()[]() x x x ???sin lim 0→=1. 例1 求x x x tan lim 0 →. 解 x x x tan lim 0→= 111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x . 例2 求x x x 3sin lim 0 →. 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0 ==→→t t t x x x t x 令. 例3 求2 cos 1lim x x x -→. 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 1 2 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 =??==→→→x x x x x x x x x x x . 例4 求x x x arcsin lim 0 →. 解 令arcsin x =t ,则x =sin t 且x →0时t →0. 所以x x x arcsin lim 0 →=1sin lim 0 =→t t t . 例5 求3 sin tan lim x x x x -→. 解 3 0sin tan lim x x x x -→= 3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x x x x x x x x x -? =-→→

对两个重要极限的重要性的认识

e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→x x x 对两个重要极限的重要性的认识 摘要 :通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果,指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用,主张学习数学知识不仅局限于课本,要培养提高探究问题的能力,系统全面的看待问题,深刻细致的体会微积分思想的严谨性。 关键词 : 重要极限;重要性;证明;应用 1.绪论 两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用,目 前,关于这方面的分析已经很成熟,有关于它们的来源,证明,应用和深入扩展,本文系统的总结了部分具有代表性的成果,从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性,对刚接触极限理论,没有深入认识两个重要极限的学生来说,具有指导意义。 《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时,着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。 它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此,这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法,有些还不一定求得出来,更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。 2.两个重要极限的证明 两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用,了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的,它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。 2.1第一个重要极限:1sin lim 0=→x x x 证明:作单位圆,如图1:

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