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学生2.6指数与指数函数

2.6指数与指数函数

一：知识点·重点

1.根式

(1)根式的概念

如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是，若x n ＝a ，则x 叫做__________，其中n ＞1且n ∈N *.式子 n

a 叫做__________，这里n 叫做__________，

a 叫做______________. (2)根式的性质

①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示.

②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号__________表示.正负两个n 次方根可以合写为________(a ＞0).

③(

a )n ＝______.

④当n 为奇数时， n

a n ＝______；

当n 为偶数时，

a n ＝|a |＝__________.

⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *

). ②零指数幂：a 0

＝______(a ≠0).

③负整数指数幂：a －p

＝________(a ≠0，p ∈N *

④正分数指数幂：n

m a ＝______(a >0，m 、n ∈N *

，且n >1). ⑤负分数指数幂：n m

＝________＝________ (a >0，m 、n ∈N *，且n >1).

⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂______________.

(2)有理数指数幂的性质

①a r a s＝________(a>0，r、s∈Q)；

②(a r)s＝________(a>0，r、s∈Q)；

③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q).

3.指数函数的图象与性质

y＝a x a>10

图象

定义域(1) ________

值域(2)________

性质

(3)过定点________

(4)当x>0时，____；

x<0时，________

(5)当x>0时，________；

x<0时，________

(6)在(－∞，＋∞)上是

________

(7)在(－∞，＋∞)上是________

二：难点剖析

1.根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程.

2.指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：01进行分类讨论.

戴氏教育经典例题精选

基础自测

1.用分数指数幂表示下列各式.

(1)3x 2＝________； (2)4

(a ＋b )3((a ＋b )>0)＝________； (3)m

＝________.

2.化简162

[(2)]-－(－1)0的值为________.

3.若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________.

4.若函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.

5.已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A.5 B.7 C.9 D.11

考点分类

考点一：指数式与根式的计算问题

例1 计算下列各式的值.

(1)

2-27（-）＋()1

20.002-－10(5－2)－1＋(2－3)0；

(2)

5＋2

－(3－1)0－9－45；

(3)

332211114

2()a b ab a b a b

- (a >0，b >0).

探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 变式训练1 计算下列各式的值：

(1)

1.5-×?

－

0＋80.25×42＋(32×3)6－

；

(2)

a a b

a a

b b

1－2

a(a>0，b>0).

考点二：指数函数的图象及应用

例2(1)函数y＝xa x

|x|(0

( )

(2)若函数y＝a x＋b－1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围是________________.

(3)方程2x＝2－x的解的个数是________.

探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.

(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.

变式训练2 (1)函数y＝

e x＋e－x

e x－e－x

的图象大致为()

(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

考点三：指数函数的性质及应用

例3设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值.

探究提高指数函数问题一般要与其它函数复合.本题利用换元法将原函数化为一元二次函数.结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解.

由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解.

变式训练3 已知定义在R上的函数f(x)＝2x－

1 2|x|.

(1)若f(x)＝3

2，求x的值；

(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.

思想方法：

3.方程思想及转化思想在求参数中的应用

试题：(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b

2x＋1＋a

是奇函数.

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.

审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1).

(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式.也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式.

批阅笔记 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立.所以还要注意检验.

(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价转化为：t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立.这个转化考生易出错.其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－1

温馨提示：方法与技巧

1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x 轴是函数图象的渐近线.当01时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增的速度越快；当0

2.画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、? ?

???－1，1a .

3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解.

失误与防范

1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1

与0

2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

课后巩固练习

1.设,3

2.计算（1）625625++-；（2）335252-++