18-19 第2章 2.2 2.2.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用

第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用

学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．点与椭圆的位置关系

点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的位置关系：

点P 在椭圆上?x 20a 2＋y 20

b 2＝1； 点P 在椭圆内部?x 20a 2＋y 20

b 2<1； 点P 在椭圆外部?x 20a 2＋y 20

b 2>1. 2．直线与椭圆的位置关系

直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的位置关系：

联立????

?

y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2

b

2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．

思考：(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 2

3＝1有怎样的位置关系？ [提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．

(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x 24＋y 2

3＝1的内部，因此直线与椭圆相交．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)若点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1的内部，则有x 204＋y 2

3<1.( )

(2)直线y ＝x 与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)不一定相交．( ) (3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆x 29＋y 2

16＝1相切．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√

2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2

＋y 2

2

＝1的位置关系是( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．无法确定

C [联立????

?

y ＝x ＋1，x 2＋y 2

2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －1＝0，

Δ＝22＋12＝16＞0， ∴直线与椭圆相交．]

3．若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2

2＝1的内部，则a 的取值范围是________.

【导学号：46342078】

(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋1

2＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 4＋y 2

＝1的位置关系． [思路探究] 联立两个方程―→消去y 得到关于x 的一元二次方程―→求Δ―→讨论Δ得结论

[解] 联立方程组????

?

y ＝x ＋m ， ①x 24

＋y 2

＝1. ②

将①代入②得：x 2

4＋(x ＋m )2＝1， 整理得：5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.

③

Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．

当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；

当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；

当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．

1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2

2＝1相切，则斜率k 的值是( ) A ．63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 C [由????

?

y ＝kx ＋2x 23＋y 2

2

＝1得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0

由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0 解得k ＝±6

3.]

(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2

m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．

????

??

54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1,1)，直线与椭圆总有公共点等价

于点P (1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m ≤1，即m ≥5

4，又0

故m ∈????

??54，5.]

过椭圆x 16＋y 4＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长.

【导学号：46342079】

[思路探究] (1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．

法二：点差法

(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解． [解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )

4k 2＋1

.

又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )

4k 2＋1＝2，

解之得k ＝－1

2.

故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.

法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，

则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.

于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.

∴

y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)

＝－1

2， 即k AB ＝－12.

又直线AB 过点M (2,1)，

故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.

(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 由????

?

x ＋2y －4＝0，x 216＋y 2

4

＝1，得x 2－4x ＝0，

∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，

∴|AB |＝1＋k 2

·(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝

1＋? ??

??

－122

·42－4×0＝2 5.

2．(1)已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 2

9＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程为________．

x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有

(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，

所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－

12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.]

(2)已知点P (4,2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．

32 [设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，

直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

?????

x 21a 2＋y 21b

2＝1， ①x 2

2a 2＋y 22

b

2＝1， ②

①－②得

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)

b 2

＝0，

即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)

a 2(y 1＋y 2)

.

因为k AB ＝－1

2，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2， 所以－12＝－2b 2

a 2，即a 2＝4

b 2. 所以该椭圆的离心率为e ＝

1－b 2a 2＝32.]

(3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－12.

①试求动点P 的轨迹方程C ；

②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝42

3时，求直线l 的方程．

[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k P A ·k PB ＝－1

2. ∴

y x ＋2·y x －2

＝－1

2， 化简整理得x 22＋y 2

＝1.

故P 点的轨迹方程C 是x 22＋y 2

＝1(x ≠±2)． ②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由????

?

y ＝kx ＋1，x 22

＋y 2

＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.

∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1·x 2

＝0.

|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝42

3， 整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．

∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.

[1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？

提示：直线x ＝ky ＋1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0.

2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ 提示：(1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝1

2|AB |， (2)OA →·OB →＝0.

如图2-2-7，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e

＝22.

图2-2-7

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ? ????

－94，0与

以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

[思路探究] (1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．

(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d

法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →

>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →<0，则点G 在圆内．

[解] (1)由已知得， ?????

b ＝2，

c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，

解得???

a ＝2，

b ＝2，

c ＝ 2.

所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2

2＝1. (2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由????

?

x ＝my －1，x 24＋y 2

2

＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，

所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，

从而y 0＝

m m 2＋2

. 所以|GH |2

＝? ????x 0＋942＋y 20＝? ??

??my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2

－4y 1y 2]

4

＝(1

＋m 2)(y 20－y 1y 2)，

故|GH |2

－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2

)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2

)m 2＋2

＋2516＝

17m 2＋2

16(m 2＋2)

>0，

所以|GH |>|AB |

2.

故点G ? ??

??

－94，0在以线段AB 为直径的圆外．

法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝? ????x 1＋94，y 1，GB →＝? ????

x 2＋94，y 2. 由????

?

x ＝my －1，x 24＋y 2

2

＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，

所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3

m 2＋2

，

从而GA →·GB →＝? ????x 1＋94? ????x 2＋94＋y 1y 2＝? ?

???my 1＋54? ????my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋

54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m 2

m 2＋2＋2516＝17m 2

＋2

16(m 2＋2)>0，

所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ? ???

?

－94，0在以线段AB 为直径的圆外．

3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点?

????

1，－32.

(1)求椭圆方程；

(2)过点? ????

－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆

的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由.

【导学号：46342080】

[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)， 由

c ＝3，a 2＝b 2＋c 2， 代入方程x 2b 2＋3＋y 2

b 2＝1，

又∵椭圆过点? ????

1，－32，

得1

b 2＋3

＋3

4b 2＝1，

解得b 2＝1，∴a 2＝4. 椭圆的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －6

5，

联立直线MN 和曲线C 的方程可得?????

x ＝ky －6

5，

x 2

4＋y 2＝1，

得(k 2＋4)y 2－125ky －64

25＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2,0)， y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，y 1＋y 2＝12k

5(k 2＋4)，

则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋16

25＝0， 即可得∠MAN ＝π

2.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2

n 2＝1上，则下列说法正确的是( )

【导学号：46342081】

A ．点(－2,3)在椭圆外

B ．点(3,2)在椭圆上

C ．点(－2，－3)在椭圆内

D ．点(2，－3)在椭圆上

D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.]

2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2

＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离

D ．相切或相交

C [由????

?

x ＋y －3＝0x 24

＋y 2

＝1，得5x 2－24x ＋32＝0，

Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， 因此直线与椭圆相离．]

3．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝1

2x ＋1截得的弦长为________． 35 [由????

?

x 2＋4y 2＝16，y ＝1

2

x ＋1，

消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.

设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝

54

[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5

4(4＋24)＝35.]

4．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 2

2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．

x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，

则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 2

2

2＝1②，

①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)

2＝0，

∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 2

2＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2

＝－12.

∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1

2(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.]

5．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的

中点的横坐标为1

2，求此椭圆方程.

【导学号：46342082】

[解] 设y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)．

依题意，有a 2－b 2＝(52)2＝50. ① 由?????

y 2a 2＋x 2b 2＝1，y ＝3x －2，

消去y 并整理，得

(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0. 因为

x 1＋x 22＝1

2，

所以6b 2a 2＋9b 2＝12

. 所以a 2＝3b 2. ② 由①②，得a 2＝75，b 2＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 2

25＝1.