二次函数与四边形形状相结合的“存在性”试题解题策略

二次函数与四边形形状相结合的“存在性”试题解题策略

浙江省衢州市兴华中学 324000 郑耀文

“存在性”问题属于探索性问题的一种,以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题是近几年中考压轴题的热点.它以能力立意取代知识立意,立足基础,突出能力和数学思想的考查,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,有较高的区分度.现例举近两年以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题评析如下.

1 与平行四边形形状相结合的存在性问题

如图1,要使四边形ABCD成为平行四边形,根据平行四边形的判定定理,需满足的条件:(1)AD ∥B C且A D=BC;(2)AD=BC且A B=C D;

(3)OA=O C且OB=OD;对于(1)这种需满足两个不同条件的判定方法,我们常常让其中一个条件先满足,再根据所需满足的第二个条件求解.

图1 图2

例1 (2007浙江省)如图2,抛物线y=x2-2x -3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;(2)P 是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段P E长度的最大值;(3)点G 是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.

解 (1)令y=0,解得x1=-1或x2=3,所以A(-1,0)、B(3,0);将C点的横坐标x=2代入y =x2-2x-3得y=-3,所以C(2,-3),所以直线的函数解析式是y=x

()设点的横坐标为x(≤x≤)则、

E的坐标分别为:P(x,-x-1),E(x,x2-2x-3),因为P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x

-3)=-x2+x+2,所以当x=

1

2

时,PE的最大值是

9

4.

(3)若A F为边,则CG∥A F∥x轴,所以G(0, -3),AF=CG=2,以A为圆心2为半径画弧交x轴

于F

1

、F

2

,则F

1

(1,0),F

2

(-3,0);若AF为对角线, AF、CG交于点D,作CM⊥x轴,GN⊥x轴,垂足分别为M、N,所以△ACM≌△FGN,△CMD≌△FND,所以G点的纵坐标为3,FN=A M=3,所以G1(1+7,3)、G2(1-7,3),因为FN=AM=3,所以F3(4+7,0),F4(4-7,0),存在4个这样的点

F,分别是F

1

(1,0),F

2

(-3,0),F

3

(4+,0),F

4

(4-

7,0).

点评 第(3)小题中,因为四个点能组成平行四边形的情况有多种,需分类讨论,把四个点全部找出来有一定的困难.

2 与矩形形状相结合的存在性问题

如图3,要使平行四边形AB CD成为矩形,根据矩形的判定定理,需满足的条件是(1)有一个角(如∠BAD)等于90°.由勾股定理的逆定理,需满足的数量关系是AB2+AD2=BD2;(2)AC=BD;解题的常见思路是:根据所需的数量关系建立方程模型求解.

图3 图4

例2 (2006年山西)如图4,已知抛物线C

1

与坐标轴的交点依次是(,),B(,),(, )()求抛物线关于原点对称的抛物线的

5

中学数学杂志 2008年第4期 Z H ONGXU ESH U X U EZ H A Z H I 

AC--1.

2P-12P

A-40-20E0 8.1C

1

C

2

4

二次函数与四边形形状相结合的“存在性”试题解题策略

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