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二级等差数列求和公式及推导

二级等差数列求和公式及推导
二级等差数列求和公式及推导

二级等差数列求和公式就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和?

二级等差数列求和公式

就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? a2-a1=k

a3-a2=k+d

a4-a3=k+2d

……

an-a(n-1)=k+(n-2)d

相加

an-a1=(n-1)k+[1+2+……+(n-2)]d=(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2

所以an=a1+(n-1)k+(n-2)(n-1) d/2

二阶等差数列怎样求和

a1=1

an-a(n-1)=2n-1

Sn=?

a1 = 1

a2 - a1 = 2*2 -1

a3 - a2 = 2*3 -1

a4 - a3 = 2*4 -1

……

an - a(n-1) = 2*n - 1

以上等式相加后,得到通项公式

an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1

=2(1+2+3+……+n) - n

=n(n+1) - n

=n^2

检验:

a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1 a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1 a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1 成立

下面求 Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2

(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1

利用上面这个式子有:

2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1

3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1

4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1

5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1

……

(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1

把上述各等式左右分别相

加得到:

(n+1)^3 - 1^3 =

3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*(1+2+3+……+n) + n*1 n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 = 3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*n(n+1)/2 + n

整理

1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Sn = n(n+1)(2n+1)/6

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习) 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式:??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n

二级等差数列求和公式及推导

二级等差数列求和公式就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? 二级等差数列求和公式 就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? a2-a1=k a3-a2=k+d a4-a3=k+2d …… an-a(n-1)=k+(n-2)d 相加

an-a1=(n-1)k+[1+2+……+(n-2)]d=(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2 所以an=a1+(n-1)k+(n-2)(n-1) d/2 二阶等差数列怎样求和 a1=1 an-a(n-1)=2n-1 Sn=? a1 = 1 a2 - a1 = 2*2 -1

a3 - a2 = 2*3 -1 a4 - a3 = 2*4 -1 …… an - a(n-1) = 2*n - 1 以上等式相加后,得到通项公式 an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1 =2(1+2+3+……+n) - n =n(n+1) - n =n^2

检验: a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1 a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1 a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1 成立 下面求 Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 (n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1 利用上面这个式子有:

2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1 …… (n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1

等差数列求和教案

等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题. (1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式; (2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值; (3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题. 教学建议 (1)知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题. (2)重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路. 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重

要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想. 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上. (3)教法建议 ①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点,难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪,多媒体软件,电脑. 教学方法 讲授法.

数列求和公式证明

1)1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2)1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=? 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下! 所以, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×(n+1)=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1) =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念,掌握等差数列通项公式的求解方法,能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导,体会数形结合思想、化归思想、归纳思想,培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效,禾U 用数列知识解决具体问题,感受数列的应用价值 【重点】:等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】:对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识,初步掌握等差数列通项公式的求法 ; 2.完成教材助读设置的问题,然后结 合课本的基础知识和例题,完成预习自测; 3.将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法? 2?数列的项与项数有什么关系? 3函数与数列之间有什么关系? 教材助读 1?一般地,如果一个数列从第 ________ 项起,每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ___________ ,公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列{a n }是公差为d 的等差数列,则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b (a,b 为常数)的数列都是等差数列吗?反之,成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列{, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是( a (n 3)d a 2nd 2n ,则它的公差为( D. 3 ,则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n

等差数列求和公式的

等差数列求和公式的 问题1:著名数学家高斯10岁时,曾解过一道题:1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗? 问题2:1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问:n是偶数还是奇数?教师反问:能否避免奇偶讨论呢?并引导学生从问题1感悟问题的实质:大小搭配,以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ,得= 问题3:等差数列= ? 学生容易从问题2中获得方法(倒序相加法)。但遇到= = =…=呢?利用等差数列的定义容易理解这层等量关系,进一步的推广可得重要结论:m+n=p+q 问题4:还有新的方法吗? (引导学生利用问题2的结论),经过讨论有学生有解法:设等差数列的公差为d,则= +()+()+…+[ ] = = (这里应用了问题2的结论) 1 ————来源网络整理,仅供供参考

问题5:= = ? 学生容易从问题4中得到联想:= = 。显然,这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远,教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内,由于学生的最近发展区是不断变化的,学生解决了问题2,就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平,在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3,学生解决了问题3,他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平,在此基础上教师提出了问题4,这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理,仅供供参考 2

学习等差数列求和公式的四个层次

学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S ,

最新人教版高中数学必修五 等差数列通项公式优质教案

2.2.2 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念,进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式,并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是一个等差数列,使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.在教学过程中,遵循学生的认 知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位,通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识 通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点,通过等差数列的图象的应用,通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想,进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究,主动学习,提高学生学习积极性,也提高了课堂的教学效果 教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教具准备多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 二、过程与方法

1.通过等差数列的图象的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用,讲练相结合,作好探究性学习 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘,激发学生的学习兴趣 教学过程 导入新课 师 同学们,上一节课我们学习了等差数列的定义,等差数列的通项公式,哪位同学能回忆一下什么样的 数列叫等差数列? 生 我回答,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即a n -a n -1=d (n ≥2,n ∈N *),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示 师 对,我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么? 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式:a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数 师 好!刚才两位同学说得很好,由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式:①d =a n -a n -1;② 11--= n a a d n ;③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗? 生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 [合作探究] 探究内容:如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ,使三个数a ,A ,b 成等差数列,那么数A 应满足什么样的条件呢?

高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计

《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标:掌握等差数列前n 项和公式,能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标:培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标:体验从特殊到一般,又到特殊的认识事物的规律,培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点:等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略:用游戏的方法调动学生的积极性教学用具:flash ,ppt课堂系统部分:整节课分为三个阶段: 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1:有10袋金币,在这10袋中有一袋金币是假的,已知,真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问:只给一个电子秤,而且只能秤一次,找出哪一袋金币是假的? S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1:1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示: 由刚刚的计算我们已经知道,从10袋里面拿出 的金币数共55个,如果这10袋都是真币,那么 电子秤显示的数据应该是: (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是:102(两) 可见比全是真币时少了8两 又因为,每个假币比真币轻1两 所以,可知在电子秤上有8个假币 那么,第8袋全是假币。 设计说明:

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式,用一道智力题,激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下,探讨高斯算法. 问题呈现2: 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝 石镶饰而成,共有100层(见左图),奢靡之程度, 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 2:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石? 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明: ?源于历史,富有人文气息. ?图中算数,激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现: 问题3:如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1.准确理解等差数列、等差中项的概念,掌握等差数列通项公式的求解方法,能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题. 2.通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导,体会数形结合思想、化归思想、归纳思想,培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力. 3.激情参与、惜时高效,利用数列知识解决具体问题,感受数列的应用价值. 【重点】:等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用. 【难点】:对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用. 【学法指导】 1. 阅读探究课本上的基础知识,初步掌握等差数列通项公式的求法; 2. 完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测; 3. 将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑”处. 一、知识温故 1.数列有几种表示方法? 2.数列的项与项数有什么关系? 3函数与数列之间有什么关系? 教材助读 1.一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母_______________ 表示。 2. 由三个数a 、A 、b 组成的 数列可以看成最简单的等差数列。这时A 叫做a 与b 的等差数列即 3.如果数列{n a } 是公差为d 的等差数列,则+=12a a ,+=13a a , +=14a a +=15a a +=1a a ,......,n 4.通项公式为n a =an+b (a,b 为常数)的数列都是等差数列吗?反之,成立吗? 【预习自测】 1. 等差数列d a 2-,a ,d a 2+…….的通项公式是( ) A .d n a a n )1(-+= B. d n a a n )3(-+= C .d n a a n )2(2-+= D. nd a a n 2+= 2.已知数列{n a } 的通项公式为n a n 23-=,则它的公差为( ) A .2 B.3 C. -2 D. -3 3.已知231+= a ,2 31 -=b ,则a 与b 的等差中项为

等差数列求和公式教学设计

等差数列求和公式教学 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5,教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一,与实际生活有着紧密的联系,而“等差数列前n项的和”一节,更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算,分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识,因此,本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想,有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的,通过这节课要让学生体会到:(1)数学来源于生活,生活需要数学;(2)数学学习是为专业课学习服务的;并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此,本节课可谓本章教学的关键点之一,有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标: 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标: 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题,增强学生应用知识的能力; 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力; 3、练习题采取由学生讲解的方式完成,锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观: 1、通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法; 2、通过与生活实际相联系的例题及习题,使学生了解数学在生活中的实用性,渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求,培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点:等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点:等差数列的前n项和的公式的推导。

等差数列的概念、等差数列的通项公式 说课稿 教案

等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动观察——分析概括——师生互动,形成概念——启发引导,演绎结论——拓展开放,巩固提高.在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究. 在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质,等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件,投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力; 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子:(课本P41页的4个例子) (1)0,5,10,15,20,25,…; (2)48,53,58,63,…; (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…; (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30,第二个数列的第7项为78,第三个数列的第7项为3,第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下,你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5,依据这个规律性我得到了这个数列的第7

初二数学等差数列求和公式

初二数学等差数列求和公式 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径,大家一定要在平时的练习中不断积累,小编为大家整理了八年级数学等差数列求和公式,希望同学们牢牢掌握,不断取得进步! 公式 Sn=(a1+an)n/2 (首项+末项)X项数2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差) Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) Sn=[2a1+(n-1)d] n/2 和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为:Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2 假设m+n=p+q那么:存在am+an=ap+aq 假设m+n=2p那么:am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)公差

前n项的和Sn=首项+末项项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)(n-1) 项数=(末项-首项)公差+1 数列为奇数项时,前n项的和=中间项项数 数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 末项=首项+(项数-1)公差:a1+(n-1)d 项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1 公差= d=(an-a1)/(n-1) 如:1+3+5+7+99 公差就是3-1 将a1推广到am,那么为: d=(an-am)/(n-m) 性质: 假设 m、n、p、qN ①假设m+n=p+q,那么am+an=ap+aq ②假设m+n=2q,那么am+an=2aq(等差中项) 注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。 本文就是查字典数学网为大家整理的八年级数学等差数列

【精品】等差数列通项公式教案

等差数列通项公式教案 教学目标 1.明确等差数列的定义. 2.掌握等差数列的通项公式,会解决知道中的三个,求另外一个的问题 3.培养学生观察、归纳能力. 教学重点 1.等差数列的概念; 2.等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 启发式数学 教具准备 投影片1张(内容见下面) 教学过程 (I)复习回顾

师:上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面看一些例子。(放投影片) (Ⅱ)讲授新课 师:看这些数列有什么共同的特点? 1,2,3,4,5,6;① 10,8,6,4,2,…;② ③ 生:积极思考,找上述数列共同特点。 对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6) 对于数列②-2n(n≥1) (n≥2) 对于数列③(n≥1) (n≥2) 共同特点:从第2项起,第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 师:也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数。

一、定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与空的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。 如:上述3个数列都是等差数列,它们的公差依次是1,-2,。 二、等差数列的通项公式 师:等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是,公差是d,则据其定义可得:若将这n-1个等式相加,则可得: 即:即:即:…… 由此可得:师:看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项和公差d,便可求得其通项。 如数列①(1≤n≤6) 数列②:(n≥1) 数列③:(n≥1) 由上述关系还可得:即:则:=如:三、例题讲解 例1:(1)求等差数列8,5,2…的第20项

等差数列求和的几种方法

数列求和的几种情形 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法 例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-++--L . 变式练习1:已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-,试求: (1)n a 的通项公式; (2)记n n b a =,求{}n b 的前n 项和n T 二、倒序相加

()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448 L 个 1()n n a a =+ 1()2 n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L 变式练习3(1)已知数列{}n a 的通项.2n n a n =,求其n 项和n S

(2)已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ??=- ??? ,求其n 项和n S 四、裂项相消 例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n (n+1) 变式练习4:(1) 1111132435(2) n n ++++????+L .

(2)求数列 , (1) 1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S }{() ()()()}{1111,,21152. n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中,写出数列的前项; 求数列的通项公式 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。

等差数列求和公式推导方法

等差数列求和公式推导方法 有很多喜欢学习数学的同学,是非常的想知道,等差数列求和公式推导 方法是什幺,小编整理了相关信息,西瓦会对大家有所帮助! 1 等差数列求和公式是怎幺推导的一。从通项公式可以看出,a(n)是n 的一 次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n 项和公式知,S(n)是n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。 二。从等差数列的定义、通项公式,前n 项和公式还可推出:a(1)+a(n) =a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n- k+1)),k∈{1,2,…,n} 三。若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1) =(2n-1)*a(n),S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。 若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) (对3 的证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q)) 其他推论 ①和=(首项+末项)×项数÷2 (证明:s(n)=[n,n ]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导: (1) Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n (a1+an )]/2 (公式一) (2)如果已知等差数列的首项为a1,公差为d ,项数为n ,则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2(公式二) 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140,其中,项数为 奇数的各项的和为125,求其第6项. 解 依题意,得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791++++++101012()-????? 解得a 1=113,d=-22. ∴ 其通项公式为 a n =113+(n -1)·(-22)=-22n +135 ∴a 6=-22×6+135=3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ,

再求其他的.这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=a1+5d,也可以不必求出a n而 直接去求,所列方程组化简后可得 + + 相减即得+, a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提.【例2】在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中,求它们相同项的和. 解由已知,第一个数列的通项为a n=3n-1;第二个数列的通项为b N=5N-3 若a m=b N,则有3n-1=5N-3 即=+ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数,必须有N=3k+1(k为非负整数).又2≤5N-3≤197,即1≤N≤40,所以 N=1,4,7,…,40 n=1,6,11,…,66 ∴两数列相同项的和为 2+17+32+…+197=1393 【例3】选择题:实数a,b,5a,7,3b,…,c组成等差数列,且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为

《等差数列求和公式》教案

等差数列求和公式 一、教材分析: 数列在生产实际中的应用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材,同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。 二、学生分析: 数列在对于我们的学生来说是难点,因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础,所以新课的引入非常重要 三、教学目标: 1.与技能目标:掌握等差数列前n项和公式,能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2.过程与方法目标:培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 3.情感、态度与价值观目标:体验从特殊到一般,又到特殊的认识事物的规律,培养学生勇于创新的科学精神。 四、教学重点与难点: 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 课堂系统部分: 五、教学过程 1.问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见左图), 问题1:你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 问题2:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石? 在知道了高斯算法之后,同学们很容易把本题与高斯 算法联系起来,也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引引导学生去思考,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让 他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.

获得算法: 设计说明: ? 源于历史,富有人文气息. ? 图中算数,激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 2.探究发现: 问题3: 由前面的例子,不难用逆序相加法推出 3.公式应用 例题1: 2008年北京奥运会的体育馆已初步建成,其中有一块地的方砖成扇形铺开,有人数了第一排的方砖个数为10个,最后一排的方砖个数为2008个,而且一共有36排,问这一块地的方砖有多少块? 本例提供了许多数据,学生可以从题目条件发现,只告知了首项、尾项和项数,于是从这一方向出发,可知使用公式1,达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。 通过两种公式的比较,引导学生应该根据信息选择适当的公式,以便于计算。例题2: 2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒,已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列,且已知第一排的病毒数是2个,后面每一排比前一排多3个,一共有78排,问这个人体内的病毒数有多少个? 本例已知首项,公差和项数,引导学生使用公式2。 事实上,根据提供的条件再与公式对比, 便不难知道应选公式。 例题3: 甲从A地出发骑车去B地,前1分钟他骑了了400米,后来每一分钟都比前一分钟多骑5米,当他到达B地时的那一分钟内骑了500米,问A地和B地之间的距离?

等差数列求和公式

等差数列求和公式 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2)(11-+=+=,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2)(2)(111-+=+=+=+-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2n S n -=,那么( ). (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(22+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 )1(21n d n n na S n -=-+=Θ对照系数易知,2-=d 此时由21)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例 2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44 1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 2413 1)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3 1)2455(251)2344(41)2233(31112111d a d a d a d a d a

《等差数列求和公式》教案#(精选.)

等差数列求和公式 教学目标 1.知识目标 (1)掌握等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法; (2)能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 2.能力目标 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3.情感目标 通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 学生已学等差数列的通项公式,对等差数列已有一定的认知。 教学重点、难点 1.等差数列前n 项和公式是重点。 2.获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学过程 复习回顾: 1.等差数列的定义; 2.等差数列的通项公式。 新课引入: 问题一: 介绍德国著名数学家高斯,相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题:1+2+3+…+100=?。结果高斯很快就算出了答案,你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗? 请同学起来回答,如何进行首尾配对求和: 123...100n S =++++=(1100)(299)...(5051)+++++=10011002 +?()=5050. 师:非常好!这位同学和数学家高斯一样聪明!这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师:这里1,2,3,…,100这是一个什么数列?生:等差数列。师:这里123...100++++就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题:7.2.2等差数列求和。 一、数列的前n 项和意义

一般地,设有数列123,,,,,n a a a a …,我们把123n a a a a ++++叫做数列{}n a 的 前n 项和,记作n S .即123n n S a a a a =++++. 问题二: (课件出示印度泰姬陵的图片),介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗? 学生回答:即求2112321S =++++。师:怎么求? 生:仿照上面的方法,首尾配对(1+21)+(2+20)+…+(10+12)。师:这里一共配成了几对呢?生:10对,再加上中间一个数11,得到结果231。师:很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么,有没有更简单一点的配对方法呢? 课件演示,在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案,将两个三角形拼成平行四边形。则 原三角形红宝石图案:2112321S =++++, 后添的三角形蓝宝石图案:212120191S =++++, 平行四边形图案所有宝石数:212(121)21S =+?, 所以,21(121)212312 S +?==。 这种求和方法叫倒序相加法,与高斯的首尾相配法原理如出一辙。 师:上面我们求了10021,S S ,在这两个问题中,最后,这个和都可以写成首项与末项的和乘以项数的一半。那么,是不是所有的等差数列都有1()2n n a a n S += 这个求和公式呢?下面我们来证明这个公式。 二.等差数列的前n 项和公式 设有等差数列{}n a :123,,, ,,n a a a a 公差为d ,前n 项和为n S ,则 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-; ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--. 将两式分别相加,得:12()n n S n a a =+, 由此得到等差数列{}n a 的前n 项和的公式

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