学生1
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π
V V r = ? 分析: 343)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为_________________
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-
气球的平均膨胀率为________________
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ________________
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
在5.00≤≤t 这段时间里，________________；
在21≤≤t 这段时间里，________________
探究：计算运动员在49
650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像可知，)0()49
65(h h =， 所以)/(0049
65)0()4965(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率
2．若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=?=?)
3． 则平均变化率为=??=??x
f x y ___________________ 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率
=??x f
三．典例分析
例1、已知函数x x x f +=2)(，分别计算)(x f 在区间[]3,1[]2,1[]5.1,1上的平均变化率.
题型二、求平均速度，完成教学目标3
例2 .已知自由落体运动的方程为22
1gt s =. 求(1)下落物体在[]t t t ?+00,这段时间内的平均速度v ；
（2）下落物体在t=10s 到t=10.1s 这段时间内的平均速度.
四．课堂练习
1.求函数23)(2
+=x x f 在区间[]x x x ?+00,上的平均变化率，并求当1.0,20=?=x x 时平均变化率的值.
2.某质点按规律m t t s )22(2+=作直线运动，求：
（1） 该质点在前3s 内的平均速度；
（2） 质点在2s 到3s 内的平均速度.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ?+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ?+-?+-,则
=??x y 4.求2x y =在0x x =附近的平均变化率。