【考研数学精品推荐】2009考研数学二真题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 函数()3
sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C
【解析】由于()3
sin x x f x x
π-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.
故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3
0x x -=的解
1,2,30,1x =±.
320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.
(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则
()A 11,6a b ==-
()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 1
1,6
a b =-= 【答案】A 【解析】 220
00()sin sin lim
lim lim ()ln(1)()
x x x f x x ax x ax g x x bx x bx →→→--==-?- 220023
01cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bx
a ax a
b b ax
a
→→→---==-=-?洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .
另外,201cos lim
3x a ax
bx
→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .
(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0
()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点
()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D
【解析】因dz xdx ydy =+可得
,z z
x y x y
??==??. 2222221,0,1z z z z
A B C x x y y x y
????== === ==??????,
又在()0,0处,
0,0z z
x y
??==??,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则
()()2
2241
1
,,y
x
y
dx f x y dy dy f x y dx -+=?
???
()A ()2411,x
dx f x y dy -?? ()B ()2
41
,x
x
dx f x y dy -?
?
()C ()2
41
1
,y
dy f x y dx -??
()
D ()2
2
1
,y
dy f x y dx ?
? 【答案】C
【解析】
2
222
1
1
(,)(,)x
x
dx f x y dy dy f x y dx +?
???的积分区域为两部分：
{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,
将其写成一块{}
(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为
2
41
1
(,)y
dy f x y dx -?
?
,故答案为C .
(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为2
2
2x y +=,则函数()
f x 在区间()1,2内
()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点
()C 有极值点,有零点
()D 无极值点,无零点 【答案】B
【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率
322
||(1())
y y ρ''=
=
'+而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)
(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .
（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为
()
A ()
B