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第2讲 参数方程

第2讲 参数方程
第2讲 参数方程

第2讲 参数方程

1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy 中,曲线C :???x =2cos α+1,y =2sin α+1

(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m .

(1)若m =0时,判断直线l 与曲线C 的位置关系;

(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22,求实数m 的取值范围.

解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2,是一个圆;

直线l 的直角坐标方程为x +y =0,

圆心C 到直线l 的距离为d =

|1+1|12+1

2=2=r , 所以直线l 与圆C 相切.

(2)由已知可得,圆心C 到直线l 的距离为d =|1+1-m |12+12≤32

2,解得-1≤m ≤5. 所以实数m 的取值范围为[-1,5].

2.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为?

??x =4cos θ,y =4sin θ (θ为参数),直线l 经过点P (1,2),倾斜角α=π6.

(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程;

(2)设直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,求|P A |·|PB |的值.

解 (1)由???x =4cos θ,y =4sin θ,

消去θ, 得圆C 的普通方程为x 2+y 2=16.

又直线l 过点P (1,2),且倾斜角α=π6.

所以l 的参数方程为?????x =1+t cos π6,

y =2+t sin π6.

即?????x =1+32t ,

y =2+12t

(t 为参数). (2)把直线l 的参数方程?????x =1+32t ,

y =2+12t

代入x 2+y 2=16, 得?

????1+32t 2+? ????2+12t 2=16,t 2+(3+2)t -11=0, 所以t 1t 2=-11.

由参数方程的几何意义,|P A |·|PB |=|t 1t 2|=11.

3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.

(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;

(2)直线l 的参数方程是?

??x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=10,求l 的斜率.

解 (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).

设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.

于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.

|AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos 2 α-44.

由|AB |=10得cos 2α=38,tan α=±153.

所以l 的斜率为153或-153.

4.以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等

的长度单位.已知直线l 的参数方程为?

??x =1+t cos α,y =t sin α(t 为参数,0<α<π),曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ.

坐标系与参数方程知识点

坐标系与参数方程 知识点 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<

第十二章第二节参数方程

第十二章第二节参数方程 课下练兵场 1.(2018·天津高考)设直线l 1的参数方程为? ??? ?x =1+t ,y =1+3t ,(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4, 那么l 1与l 2间的距离为 ( ) A.10 B.3105 C.210 5 D .310 解析:直线l 1的参数方程????? x =1+t , y =1+3t (t 为参数). 化为一般方程为:x -11=y -1 3,即 3x -y -2=0. 又l 2:3x -y +4=0.由两平行线间距离公式知 d = |c 1-c 2| a 2+ b 2 =|4-(-2)|10=310 5. 答案:B 2.(2018·广东高考)假设直线? ???? x =1-2t , y =2+3t (t 为参数)与直线4x +ky =1垂直,那么常数k =( ) A .25 B .-6 C .6 D .7 解析:直线l 1:3x +2y -7=0,直线l 2:4x +ky -1=0. 由l 1⊥l 2,∴2k +3·4=0,∴k =-6. 答案:B

3.点P (x ,y )在曲线? ???? x =-2+cos θy =sin θ(θ为参数)上,那么y x 的取值范畴为 ( ) A .(- 22,22] B .[-33,33] C .[-1,1] D .[-55,5 5 ] 解析: 曲线? ???? x =-2+cos θy =sin θ(θ为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设y x =k , 求y x 的取值范畴,即求当直线y =kx 与圆有公共点时k 的取值范畴,如图结合圆的几何性质可得- 33≤k ≤33 . 答案:B 4.设直线参数方程为??? x =2+t 2 , y =3+3 2 t (t 为参数),那么它的斜截式方程为 ( ) A .y =3x +(23-3) B .y =3x +(3-23) C .y =3x +(22-3) D .y =3x +(3-22) 解析:设直线的斜率为3,当t =-4时,x =0,y =3-23,故直线的斜截式方程为y = 3x +( 3-23). 答案:B 5.点P (x ,y )是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点,那么x +2y 的最大值为 ( ) A.21 B.22 C.23 D .26 解析:椭圆x 26+y 2 4=1,设点P (6cos θ,2sin θ), 那么x +2y =6cos θ+4sin θ=22sin(θ+φ)≤22. 答案:B

安徽省淮北市高中数学人教版 选修4-4第二讲 参数方程 02 参数方程

安徽省淮北市高中数学人教版选修4-4第二讲参数方程 02 参数方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题;共16分) 1. (2分) (2019高一上·颍上月考) 函数()的值域是() A . B . C . D . 2. (2分)将参数方程(为参数),化为普通方程为() A . y=x-2 B . y=x+2 C . y=x-2 D . y=x+2 3. (2分)(2012·全国卷理) 已知x+3y-1=0,则关于的说法正确的是() A . 有最大值8 B . 有最小值 C . 有最小值8 D . 有最大值

4. (2分) (2018高二上·拉萨月考) 如下图,在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是() A . B . C . D . 5. (2分)已知函数的值域为则其定义域是() A . B . C . (0,1) D . 6. (2分)使 = 成立的α范围() A . {x|2kπ﹣π<α<2kπ,k∈Z}

B . {x|2kπ﹣π≤α≤2kπ,k∈Z} C . {x|2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z} D . 只能是第三或第四象限的角 7. (2分)参数方程(t为参数)表示() A . 一条直线 B . 一条射线 C . 抛物线 D . 两条射线 8. (2分)已知条件p:;条件q:直线与圆相切,则p是q的() A . 充要条件 B . 既不充分也不必要条件 C . 充分不必要条件 D . 必要不充分条件 二、填空题 (共3题;共3分) 9. (1分) (2018高二下·西安期末) 已知椭圆的参数方程为,则该椭圆的普通方程是________. 10. (1分)(2014·湖南理) 在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的最大值是________. 11. (1分) (2018高二上·张家口月考) 动圆经过点,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为________. 三、解答题 (共3题;共30分) 12. (10分)(2018·银川模拟) 选修4-4:极坐标与参数方程

北师大版数学高二选修4-4讲义第二讲参数方程3参数方程化成普通方程习题解答

习题2-3 第42页 A 组 1.解 (1)2x -y -7=0,直线. (2)x 216+y 29=1,椭圆. (3)x 2a 2-y 2 b 2=1,双曲线. (4)原参数方程变形为?????x =1-1t +2,y =2-4t +2, 所以y -2x -1=4. 所以4x -y -2=0,直线. (5)? ?? ??y -122=x +54,抛物线. 2.圆的普通方程为x 2+y 2=25,半径为5. 3.椭圆的普通方程为(x -4)24+(y -1)225 =1,焦距为221. 4.椭圆的普通方程为(x -1)216 +y 29=1,c =7,左焦点(1-7,0). 5.双曲线的普通方程为(x -2)24-(y -1)24 =1,中心坐标(2,1). 6.双曲线的普通方程为(y +2)29-(x -1)23 =1,所以a =3,b =3,渐近线的斜率为±3,两条渐近线的夹角为60°. 7.抛物线的普通方程为x 2=2(y -1),准线方程为y =12. 8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α+cos α=-a 2,sin α·cos α=b 2, 点(a ,b )的轨迹的普通方程是a 2=4(b +1). B 组 1.设动点A (x ,y ),则???x =sin θ+cos θ,y =sin θ-cos θ, 即x 2+y 2=2. 2.解 设动点M (x ,y ),则? ????x =3cos φ-4sin φ-1,y =125cos φ+95sin φ+2.

所以?????x +1=3cos φ-4sin φ,53 (y -2)=4cos φ+3sin φ.两式平方相加,得(x +1)2+25(y -2)29=25. 即(x +1)225+(y -2)29 =1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x -3cos θ)2=4(y -2sin θ), 顶点为(3cos θ,2sin θ),焦点(3cos θ,2sin θ-1). 所以焦点的轨迹方程为x 29-(y -1)24 =1. 4.(1)普通方程为y =3x -2g v 20 x 2,射程为3v 202g , (2)证明略.

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结知识讲解

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点 (,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 (,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(,)2r π ,半径为r 的 圆 2sin (0)r ρθθπ=≤< 圆心为(,)2r π ,半径为r 的 圆 2sin (0)r ρθθπ=≤<

步步高理科数学第二讲参数方程

第二讲 参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上__________的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x =f t ,y =g t , 并且对于t 的每一个允许值,由方程组所确定的点M (x ,y )都在 ____________,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称______.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________. 2.几种常见曲线的参数方程 (1)直线:经过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数). (2)圆:以O ′(a ,b )为圆心,r 为半径的圆的参数方程是____________,其中α是参数. 当圆心在(0,0)时,方程??? ?? x =r cos α,y =r sin α. (3)椭圆:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况: 椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的参数方程是____________,其中φ是参数. 椭圆x 2b 2+y 2 a 2=1(a >b >0)的参数方程是____________,其中φ是参数. (4)抛物线:抛物线y 2 =2px (p >0)的参数方程是??? ?? x =2pt 2 , y =2pt . (t 为参数). 1.(课本习题改编)若直线的参数方程为??? ?? x =1+2t , y =2-3t (t 为参数),则直线的斜率为 ________. 2.椭圆? ?? ?? x =2cos θ, y =5sin θ(θ为参数)的离心率为________. 3.已知点P (3,m )在以点F 为焦点的抛物线? ?? ?? x =4t 2 , y =4t (t 为参数)上,则|PF |=________.

2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 参数方程 理

选修4-4 第二节 参数方程 1.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆? ?? ?? x =5cos φ, y =3sin φ(φ为参 数)的右焦点,且与直线? ?? ?? x =4-2t , y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程. 解:由题设知,椭圆的长半轴长a =5,短半轴长b =3,从而c =a 2 -b 2 =4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x -2y +2=0. 故所求直线的斜率为12,因此其方程为y =1 2(x -4), 即x -2y -4=0. 2.在椭圆x 29+y 2 4=1上求一点M ,使点M 到直线x +2y -10=0的距离最小,并求出最小 距离. 解:因为椭圆的参数方程为??? ?? x =3cos φ, y =2sin φ (φ为参数), 所以可设点M 的坐标为(3cos φ,2sin φ). 由点到直线的距离公式,得到点M 到直线的距离为 d = |3cos φ+4sin φ-10|5 =|5cos φ·35+sin φ·4 5 -10| 5 = 1 5 |5cos(φ-φ0)-10|, 其中φ0满足cos φ0=35,sin φ0=4 5. 由三角函数的性质知, 当φ-φ0=0时,d 取最小值 5. 此时,3cos φ=3cos φ0=9 5, 2sin φ=2sin φ0=8 5. 因此,当点M 位于(95,8 5 )时, 点M 到直线x +2y -10=0的距离取最小值 5.

3.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ,直线l 的参数方程是 ????? x =-3 5t +2,y =45t (t 为参数). (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求|MN |的最大值. 解:(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2 =2ρsin θ, 又x 2 +y 2 =ρ2 ,x =ρcos θ,y =ρsin θ, 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2 +y 2 -2y =0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程, 得y =-4 3(x -2), 令y =0得x =2, 即M 点的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆,且圆心坐标为(0,1),半径r =1, 则|MC |= 5. 所以|MN |≤|MC |+r =5+1. 即|MN |的最大值为5+1. 4.已知圆M :??? ? ? x =1+cos θ,y =sin θ (θ为参数)的圆心F 是抛物线E :??? ? ? x =2pt 2 ,y =2pt 的 焦点,过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,求AF ·FB 的取值范围. 解:圆M :? ?? ?? x =1+cos θ, y =sin θ的普通方程是(x -1)2+y 2 =1, 所以F (1,0). 抛物线E :??? ?? x =2pt 2 , y =2pt 的普通方程是y 2 =2px , 所以p 2 =1,p =2,抛物线的方程为y 2 =4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为??? ?? x =1+t cos θ y =t sin θ ,(t 为参数), 代入y 2 =4x ,得 t 2sin 2θ-4t cos θ-4=0. 所以AF ·FB =|t 1t 2|=4 sin 2θ .

选修4-4-第二讲-参数方程(圆锥曲线的参数方程)-教案

焦点在y 轴上的椭圆的参数方程: 22 22y 1,b a x += 练习:已知椭圆4 92 2y x +=1,点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点,且∠xOM =60°。(1)求点M 的坐标;(2)如何表示椭圆在第一象限的弧? 错解:由已知可得a =3,b =2,θ=600, ∴x =acos θ=3cos60°=2 3,y =bsin θ=2sin60°=3。 从而,点M 的坐标为)3,2 3(。 正解:设点M 的坐标为(x,y),则由已知可得y =3x,与4 92 2y x +=1联立, 解得x =31316, y =9331 6。 所以点M 的坐标为(31316,9331 6)。 另解:∵∠xOM=60°,∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°,|OM|sin60°)。 代入椭圆方程解出|OM|,进而得到点M 的坐标(略)。 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解:如图,设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是 A )sin cos (ααb a ,)2 0(π α< <,矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=, 当且仅当4 a π = 时,22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==,,cos y a sin x b ? ? =?? =?

5 3 arcsin 23-π= α时,距离d 有最大值2。 例4 θ取一切实数时,连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动,点B (0,9)、点M 在线段AB 上,且2 1MB AM =, 试求动点M 的轨迹方程。 解:由题意知B (0,9),设A (ααsin 6cos 12,),并且设M (x ,y )。 则,α=+?+α=++ = cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921 sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=, 动点M 的轨迹的参数方程是? ? ?+α=α =3sin 4y cos 8x (α是参数), 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 例6 椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+与x 轴的正向相交于点A ,O 为坐标原 点,若这个椭圆上存在点P ,使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。 解:设椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+上的点P 的坐标是(ααsin b cos a ,)(α≠0且α≠π),A

最新选修4-4坐标系与参数方程-知识点总结

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点(,) P x y 对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标 系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐

选修4-4《第二讲参数方程》高考真题

第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化. 解析 由???x =ρcos θy =ρsin θ 得,cos θ=x ρ,sin θ=y ρ,ρ2=x 2+y 2,代入ρ=2sin θ+4cos θ得,ρ=2y ρ+4x ρ?ρ2=2y +4x ?x 2+y 2-4x -2y =0. 答案 x 2+y 2-4x -2y =0 2.已知两曲线参数方程分别为?????x =5cos θ,y =sin θ(0≤θ<π)和???x =54 t 2,y =t (t ∈R ),它们的交点坐标为________. [命题意图]本题考查参数方程问题,主要考查转化与化归思想.将参数方程转化为直角坐标方程的关键在于消去参数,但也要注意所给参数的取值范围. 解析 由???x =5cos θ,y =sin θ(0≤θ<π),得x 25+y 2=1(y ≥0,x ≠-5),

由?????x =54t 2,y =t (t ∈R ),得x =54y 2,联立方程可得?????x 25+y 2=1,x =54y 2, 则5y 4+16y 2-16=0,解得y 2 =45或y 2=-4(舍去),则x =54y 2=1,又y ≥0,所以其交点坐标为? ????1,255. 答案 ? ????1,255 3.在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆? ????x =5cos φ,y =3sin φ(φ为参数)的右焦点,且与直线? ????x =4-2t ,y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________. [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力. 解析 由题设知,椭圆的长半轴长a =5,短半轴长b =3,从而c =a 2-b 2=4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普 通方程:x -2y +2=0.故所求直线的斜率为12,因此其方程为y =12(x -4),即x -2y -4=0. 答案 x -2y -4=0 4.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为? ????x =cos α,y =1+sin α(α为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 2的方程为ρ(cos θ

第二节参数方程-高考状元之路

第二节 参数方程 预习设计 基础备考 知识梳理 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上 的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数:???==). (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x ,y)都在 ,那么方程叫做这条曲线的参数方程,t 叫做参变数,简称 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做 2.直线的参数方程 过定点),(000y x p 且倾斜角为α的直线的参数方程为 (t 为参数),则参数t 的几何意义是 3.圆的参数方程 圆心为(a ,b),半径为r ,以圆心为顶点且与x 轴同向的射线,按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为 ).2,0[πα∈ 4.椭圆的参数方程 以椭圆的离心角θ为参数,椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的参数方程为 ).2,0[πθ∈ 典题热身 1.已知直线l 的参数方程为??? ????+=--=t y t x 222,221(t 为参数),则直线l 的斜率为( ) 1.A 1.-B 2 2. c 22.-D 答案:B 2.过点M(2,1)作曲线θθ θ,sin 4cos 4:?? ?==y x c 为参数)的弦,使M 为弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( ) )2(2 11--=-?x y A )2(21--=-?x y B )1(2 12--=-?x y C )1(22--=-?x y D 答案:B

3.圆),0()(222>=+-r r y r x 点M 在圆上,O 为原点,以?=∠MOx 为参数,那么圆的参数方程为 ( ) ???==??sin ,cos .r y r x A ???=+=??sin ),cos 1(.r y r x B ???+==)sin 1(,cos .??r y r x c ? ??=+=??2sin ),2cos 1(.r y r x D 答案:D 4.直线t t y t x (531,541??? ????-=+=为参数)被曲线)4(2πθρ+∞=s 所截的弦长为 答案:5 7 课堂设计 方法备考 题型一 直线的参数方程及应用 【例1】已知直线l 经过点A(l ,2),倾斜角为 ?3 π (1)求直线l 的参数方程; (2)求直线l 和圆922=+y x 的两个交点到点A 的距离之积. 题型二 圆的参数方程及应用 【例2】已知P(x ,y)是圆022 2=-+y y x 上的动点. (1)求y x +2的取值范围. (2)若0≥++c y x 恒成立,求实数C 的取值范围. 题型三 椭圆的参数方程及应用 【例3】如图所示,已知点M 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上在第一象限的点,A(a ,O)和B(O ,b)是椭圆的两个顶点,O 为原点,求四边形MAOB 的面积的最大值. 题型四 参数方程与极坐标的综合问题 【例4】(2011.课标全国卷)在直角坐标系xOy 中,曲线1c 的参数方程为?? ???+==.sin 22(,cos 2αααy x 为参数)M 是C ,上的动点,P 点满足P OM OP ,2=点的轨迹为曲线?2c

2021高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4

四 渐开线与摆线 一、基础达标 1.已知圆的渐开线的参数方程是???? ?x =cos θ+θsin θ,y =sin θ-θcos θ (θ为参数),则此渐开线对应的 基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3π D.4π 解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,所以基圆的周长为2π,故选B. 答案 B 2.已知一个圆的参数方程为? ????x =3cos θ, y =3sin θ(θ为参数),那么圆的摆线方程中与参数φ= π2对应的点A 与点B ? ????3π2,2之间的距离为( ) A.π 2 -1 B. 2 C.10 D. 3π2 -1 解析 根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为 ?????x =3(φ-sin φ),y =3(1-cos φ)(φ为参数),把φ=π 2代入参数方程中可得?? ? ??x =3? ????π 2-1,y =3, 即A ? ?? ? ?3π2-3,3,∴|AB |= ? ?? ??3π2-3-3π22 +(3-2)2=10. 答案 C 3.摆线? ????x =2(t -sin t ),y =2(1-cos t )(t 为参数,0≤t <2π)与直线 y =2的交点的直角坐标是 ( ) A.(π-2,2),(3π+2,2) B.(π-3,2),(3π+3,2) C.(π,2),(-π,2) D.(2π-2,2),(2π+2,2) 解析 由2=2(1-cos t )得cos t =0.∵t ∈[0,2π),∴t 1=π2,t 2=3π 2.代入参数方程 得到对应的交点的坐标为(π-2,2),(3π+2,2).

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)

选修4-4 教案 教案1 平面直角坐标系(1 课时) 教案2 平面直角坐标系中的伸缩变换(1 课时)教案3 极坐标系的的概念(1 课时) 教案4 极坐标与直角坐标的互化(1 课时) 教案5 圆的极坐标方程(2 课时) 教案6 直线的极坐标方程(2 课时) 教案7 球坐标系与柱坐标系(2 课时) 教案8 参数方程的概念(1 课时) 教案9 圆的参数方程及应(2 课时) 教案10 圆锥曲线的参数方程(1 课时) 教案11圆锥曲线参数方程的应用(1 课时)教案12 直线的参数方程(2 课时) 教案13 参数方程与普通方程互化(2 课时)教案14 圆的渐开线与摆线(1 课时)

课题:1、平面直角坐标系教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识教学重点:体会直角坐标系的作用教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型:新授课 1 2 坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查 1 平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空 中的位置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确 的背景图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足:任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 word.

2012-2013高中数学《第二讲 参数方程》真题考点 新人教A版选修4-4

第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1.(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化. 解析 由??? ? ?x =ρcos θy =ρsin θ 得,cos θ=x ρ,sin θ=y ρ ,ρ2=x 2+y 2 ,代入ρ=2sin θ+4cos θ得,ρ=2y ρ+4x ρ?ρ2=2y +4x ?x 2+y 2-4x -2y =0. 答案 x 2 +y 2 -4x -2y =0 2.(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为???x =5cos θ, y =sin θ(0≤θ<π)和?????x =54t 2,y =t (t ∈R ),它们的 交点坐标为________. [命题意图]本题考查参数方程问题,主要考查转化与化归思想.将参数方程 转化为直角坐标方程的关键在于消去参数,但也要注意所给参数的取值范围. 解析 由???x =5cos θ,y =sin θ (0≤θ<π),得x 25+y 2 =1(y ≥0, x ≠-5),由?????x =54t 2,y =t (t ∈R ),得x =54y 2,联立方程可得?????x 2 5+y 2 =1,x =54 y 2 , 则5y 4 +16y 2-16=0,解得y 2=45或y 2 =-4(舍去),则x =54 y 2=1,又y ≥0,所以 其交点坐标为? ???? 1,255. 答案 ? ???? 1,255 3.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆??? ? ?x =5cos φ,y =3sin φ (φ为参数)的右焦点,且与直线 ? ????x =4-2t , y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________. [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识,考查转化问

安徽省安庆市高中数学人教版 选修4-4第二讲 参数方程 02 参数方程

安徽省安庆市高中数学人教版选修4-4第二讲参数方程 02 参数方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题;共16分) 1. (2分)函数的值域是() A . [0,2] B . [0,] C . [-1,2] D . [-1,] 2. (2分)与参数方程(t为参数)等价的普通方程为() A . B . C . D . 3. (2分)直线(为参数)的倾斜角是() A . B . C . D . 4. (2分) (2017高一下·张家口期末) 如果ac<0,bc<0,那么直线ax+by+c=0不通过()

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 5. (2分) (2019高一上·颍上月考) 函数()的值域是() A . B . C . D . 6. (2分)(2019·和平模拟) 若函数的图象关于对称,则函数在上的最小值是() A . B . C . D . 7. (2分)设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x+y+1=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为()

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 8. (2分)圆:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是() A . 2 B . 1+ C . 1+ D . 1+2 二、填空题 (共3题;共3分) 9. (1分) (2019高二下·上海月考) 将参数方程(q 为参数)化为普通方程,所得方程是________; 10. (1分)(2017·奉贤模拟) 参数方程,θ∈[0,2π)表示的曲线的普通方程是________. 11. (1分) (2016高二上·友谊开学考) 以点(2,﹣1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________. 三、解答题 (共3题;共30分) 12. (10分) (2015高三上·上海期中) 已知,且. (1)求cos2θ与的值; (2)若,求?的值. 13. (10分) (2020高二下·乌拉特前旗月考) 在平面直角坐标系中,已知曲线(

人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-4【综合检测】第二讲 参数方程

(时间:120分钟,满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.参数方程? ??? ? x =3t 2+2y =3t 2-1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A .线段 B .双曲线的一支 C .圆弧 D .射线 答案:A 2.圆的参数方程为? ???? x =4cos θy =4sin θ(θ为参数,0≤θ<2π),若Q (-2,23)是圆上一点,则 参数θ的值是( ) A.π3 B.2π 3 C.4π3 D.5π3 答案:B 3.直线y =2x +1的参数方程是( ) A.? ???? x =t 2y =2t 2+1(t 为参数) B.????? x =2t -1y =4t +1(t 为参数) C.????? x =t -1y =2t -1(t 为参数) D.? ???? x =sin θy =2sin θ+1(θ为参数) 答案:C 4.参数方程??? x =2+t y =3-4-t 2 (t 为参数)表示的曲线为( ) A .半圆 B .圆 C .双曲线 D .椭圆 答案:A

5.参数方程? ???? x =2+sin 2θ y =-1+cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A .2x -y +4=0 B .2x +y -4=0 C .2x -y +4=0 x ∈[2,3] D .2x +y -4=0 x ∈[2,3] 答案:D 6.已知集合A ={(x ,y )|(x -1)2+y 2=1},B ={(x ,y )|y x ·y x -2 =-1},C ={(ρ,θ)|ρ=2cos θ,θ≠k π 4,k ∈Z },D ={(x ,y )|? ???? x =1+cos θy =sin θ,θ≠k π,k ∈Z },下列等式成立的是( ) A .A = B B .B =D C .A =C D .B =C 答案:B 7.设圆? ???? x =3+r cos θy =-5+r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线-4x +3y +2=0的距离等于 1,则r 的取值范围是( ) A .4

(新)高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程导学案新人教A版选修4-41

一 曲线的参数方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即? ??==)(),(t g y t f x (*).并且对于t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方程来说,以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程,叫做曲线的普通方程. 在求曲线的方程时,一般需要建立曲线上动点P (x ,y )的坐标x,y 之间满足的等量关系F (x ,y )=0,这样得到的方程F (x ,y )=0就是曲线的普通方程;而有时要想得到联系x,y 的方程F (x ,y )=0是比较困难的,于是可以通过引入某个中间变量t ,使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来,此时可得到方程组???==) (),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t 的变化进行描述.若对t 的每一个值,由方程组确定的点(x ,y )都在曲线C 上;反之,对 于曲线C 上的每一个点(x ,y ),其中x,y 都是t 的函数,则把方程组? ??==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程,其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义. 疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要,也可以选两个或两个以上的参数,然后再设法消去其中的参数得到普通方程,或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦,因此参数的选取一般应尽量少.一般说来,选择参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与x 、y 的相互关系比较明显,容易列出方程. 深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法,因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量. 二、圆的参数方程 1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程:???==θ θsin ,cos r y r x (θ为参数). 2.圆心为O 1(a,b),半径为r 的圆的参数方程:?? ?+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数). 参数θ的几何意义是:以x 轴正半轴为始边,以OP 为终边的角(其中O 为坐标原点,P 为圆上一动点). 圆的参数方程还可以表示为x=???+=+=θ θcos ,sin r b y r a x (θ为参数).

坐标系与参数方程-知识点总结

坐标系与参数方程 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

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