降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式

(cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2

(tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下

直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2

co s2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式

例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数??

?

???∈2,0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2+-=x x 2sin 2

1

22cos 13+-?

-= 232cos 232sin 21-

+=

x x 2

3

)32sin(-+=πx （I ）ππ==22T （II ）∴2

0π

≤

≤x ∴

343

23

ππ

π

≤

+

≤x ∴ 1)3

2sin(23≤+≤-π

x 所以)(x f 的值域为：??

????--232,

3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

例11、（2008广东六校联考）已知向量a ＝(cos 23x ，sin 2

3

x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2

π]．

（1）求b a

+

（2）设函数b a x f +=)(+b a

?，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

解：（错误！未找到引用源。）由已知条件： 2

0π

≤

≤x ， 得：

33(cos cos ,sin sin )2222

x x x x a b +=+-

2 x x s i n 22c o s 22=-= （2）2

sin 23sin 2cos 23cos

sin 2)(x

x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 23)21(s i n 21s i n

2s i n 222

+--=++-=x x x ，因为：2

0π≤≤x ，所以：1sin 0≤≤x 所以，只有当： 21=x 时， 2

3

)(max =x f ，0=x ，或1=x 时，1)(min =x f

点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等

知识。

例12、（2008北京文、理）已知函数2

()sin sin()(0)2

f x x x x π

ωωωω=++ 的最小

正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，

23π

]上的取值范围.

解：（Ⅰ）1cos 2()222

x f x x ωω-=+

11cos 222

x x ωω-+ =1

sin(2).62

x πω-+

因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22π

πω

= 解得ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62

f x x π

=-+ 因为0≤x ≤23

π， 所以1

2

-

≤26x π-≤

7.6π 所以1

2

-≤(2)6x π-≤1.

因此0≤1sin(2)62x π-+≤3

2

，即f (x )的取值范围为[0，32]

点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。

辅助角公式与三角函数的图像变换

例9、（2008深圳福田等）已知向量s i n ,c o s ),(c o s ,c o s )

a x x

b x x ==

,函数()21

f x a b =?- (1)求()f x 的最小正周期; (2)当[

, ]62

x π

π

∈时, 若()1,f x =求x 的值．

解：(1) 2()cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x +2sin(2)6

x π

=+.

所以，T ＝π.

(2) 由()1,f x =得1sin 262

x π??

+= ??

?， ∵[

,

]62x ππ

∈，∴72[,]626x π

ππ+

∈ ∴5266

x ππ

+= ∴ 3x π=

点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

例10、（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ；

（2）若5

2

CB CA ?= ，且9a b +=，求c ．

解：（1）sin tan cos C C C

=∴=

又22

sin cos 1C C += 解得1cos 8C =±

．

tan 0C > ，C ∴是锐角． 1

cos 8

C ∴=． （2）由52CB CA ?= ， 5

cos 2

ab C ∴=， 20ab ∴=．

又9a b +=

22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．

2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．

点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。

例11、（2007湖北）将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??

=-- ???

，

a 平移，则平移后所得图象

的解析式为（ ） Ａ．π2cos 234x y ??

=+- ???

Ｂ．π2cos 234x y ??

=-+ ???

Ｃ．π2cos 2312x y ??

=-- ???

Ｄ．π2cos 2312x y ??

=++ ???

解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()

'''

,P x y ，(),P x y ，则

π24??=-- ???

，a (

)'''

,PP x x y y ==--

'',24

x x y y π

?=+

=+，代入到已知解析式中可得选Ａ

点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移4

π

个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ

例12、（2008广东六校联考）已知向量a

＝(cos 23x ，sin 2

3

x )，b ＝(2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，

2

π

]．

（1）求b a

+

（2）设函数b a x f +=)(+b a

?，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

解：（错误！未找到引用源。）由已知条件： 2

0π

≤

≤x ， 得：

22)2

sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos x x x x x x x x b a -++=-+=+

x x s i n 22c o s 22=-=

（2）2

sin 23sin 2cos 23cos

sin 2)(x

x x x x x f -+=x x 2cos sin 2+= 2

3)21(s i n 21s i n

2s i n 222

+--=++-=x x x 因为：2

0π

≤

≤x ，所以：1sin 0≤≤x

所以，只有当： 21=

x 时， 2

3

)(max =x f 0=x ，或1=x 时，1)(min =x f

点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx 的取值范围，否则容易搞错。

降幂公式、辅助角公式题库

1.（2010浙江理）（11）函数2()sin(2)4

f x x x π

=--的最小正周期是

__________________ . 解析：()242sin 22-???

?

?+=πx x f 故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题

2.（2010浙江文）（12）函数2

()sin (2)4

f x x π

=-的最小正周期是 。

答案

2

π 1.（2010湖南文）16. （本小题满分12分） 已知函数2

()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

5.（2010北京文）（15）（本小题共13分） 已知函数2()2cos2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3

f π

的值；

（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 解：（Ⅰ）22()2cos

sin 3

33f π

ππ=+=31

144

-+=- （Ⅱ）22()2(2cos 1)(1cos )f x x x =-+- 2

3cos 1,x x R =-∈

因为[]cos 1,1x ∈-,所以，当cos 1x =±时()f x 取最大值2；当cos 0x =时，()f x 去最小值-1。

6.（2010北京理）（15）（本小题共13分） 已知函数(x)f 2

2cos 2sin 4cos x x x =+-。 （Ⅰ）求()3

f π

=的值；

（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值。

解：（I ）2239()2cos

sin 4cos 13

33344

f π

πππ=+-=-+=- （II ）2

2

()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+-- =2

3cos 4cos 1x x -- =2

27

3(cos )3

3

x --,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，

所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73

- 9.（2010湖北文）16.（本小题满分12分）

已经函数22cos sin 11

(),()sin 2.224

x x f x g x x -=

=- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出？

（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值，并求使用()h x 取得最小值的x 的集合。

10.（2010湖南理）16．（本小题满分12分）

已知函数2()22sin f x x x -． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合。

1.(2009年广东卷文)函数1)4

(cos 22

--

=π

x y 是

A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2

π的奇函数 D. 最小正周期为2π

的偶函数

答案 A

解析 因为2

2cos ()1cos 2sin 242y x x x π

π?

?=--=-= ???

为奇函数,22T ππ==, 所以选A.

8.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63

k k k Z ππππ++∈

答案 C

解析 ()2sin()6

f x x π

ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-≤+

≤+

得，,3

6

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈，故选C

9..（2009安徽卷文）设函数，其中，则导数

的取值范围是 A. B. C. D.

答案 D

解析 21

(1)sin x f x x

θθ='=??sin 2sin()3

π

θθθ==+

5

0,sin(),1(1)21232f πθπθ???

?'∈∴+∈∴∈????????

，选D

10.（2009江西卷文）函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2

π

答案：A

解析 由()(1)cos cos 2sin()6

f x x x x x x π

=+=+=+可得最小正周期为2π,故选

A.

11.（2009江西卷理）若函数()(1)cos f x x x =，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为

A ．1

B ．2

C 1

D 2 答案：B

解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x =2cos()3

x π

-

当3

x π

=

是，函数取得最大值为2. 故选B

24.（2009年上海卷理）函数2

2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .

答案 1

解析 ()cos 2sin 21)14

f x x x x π

=++=

++，所以最小值为：127.（2009上海卷文）函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。

答案 1

解析 ()cos 2sin 21)14

f x x x x π

=++=

++，所以最小值为：130.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ??

-

????

上的最大值和最小值. 解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．

解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==， ∴函数()f x 的最小正周期为π.

（Ⅱ）由26

2

3

x x π

π

π

π-

≤≤

?-

≤≤，∴sin 212

x -

≤≤，

∴()f x 在区间,62ππ??

-

????

上的最大值为1，最小值为2-33.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f (x )=cos(2x +3

π)+sin 2

x . (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2)

设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =

31，1

()24

c f =-，且C 为锐角，求sin A .

解: （1）f(x)=cos(2x+

3π)+sin 2

x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin 23322x x x x ππ--+

=

所以函数f(x)最小正周期π.

（2）()2c f =

12C =－41, 所以sin C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,

又因为在?ABC 中, cosB=

31, 所以 sin B =

所以

11

sin sin()sin cos cos sin 2326

A B C B C B C =+=+=

+?=

. 34.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2

cos sin 2

π???

<<-+x x x 在π=x 处取最小值.

（1）

求?.的值;

（2）

在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1=

=b a 2

3

)(=

A f ,求角C.. 解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2

f x x x x ?

?+=?

+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+

因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为0?π<<,所以2

π

?=

.所以()sin()cos 2

f x x x π

=+

=

（2）因为23)(=

A f ,所以cos A =因为角A 为?ABC 的内角,所以6A π=.又因为

,2,1==b a 所以由正弦定理,得

sin sin a b A B =,也就是sin 1sin 22

b A B a ===, 因为b a >,所以4π

=

B 或4

3π=

B .

当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412

C πππ

π=--

=. 44.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数2

2

()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为

23

π

． （Ⅰ）求ω的最小正周期．

（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2

π

个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间． 解：（Ⅰ）

2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++

sin 2cos 22)24

x x x π

ωωω=++=++

依题意得2223ππω=，故ω的最小正周期为32

.

（Ⅱ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ?

?=-++=-+???

?

由5232()242k x k k Z π

ππ

ππ-

-

+∈≤≤

解得227()34312

k x k k Z ππ

ππ++

∈≤≤\ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312

k k k Z ππ

ππ++

∈ 3、（2008广东）已知函数2

()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）

A 、最小正周期为π的奇函数

B 、最小正周期为2π

的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2

π

的偶函数

答案：D

解析 2

2

2

211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224

x f x x x x x x -=+==

= 4.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

32

D. －2，

32

解析 ∵()2

21312sin 2sin 2sin 22f x x x x ?

?=-+=--+ ??

?

∴当1sin 2x =时，()max 3

2

f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ； 答案：C

6.（2007广东）若函数2

1

()sin ()2

f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为

π

2

的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数

D ．最小正周期为π的偶函数

答案D

9.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4

π

=x 处

取得最小值，则函数)4

3(

x f y -=π

是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 答案 D

11.（2005全国卷Ⅰ）（6）当20π

<

x

x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为

A.2

B.32

C.4

D.34

答案 C

13.（广东理科卷）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 答案：π

解析 2

1cos 21()sin sin cos sin 222x f x x x x x -=-=-,所以函数的最小正周期22

T π

π==。

(完整版)必修4之《辅助角公式》

?知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下: ----------- sin 来确定。通常称式子(*)为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数冋 题，最终化为y=Asin( x )+k 的形式。 二.训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 (4) -sin .3 cos ； (2) ? ，3 sin cos 2 2 高一数学期末复习 必修 4之《辅助角公式》 y=as in x+bcosx 押a 2 b 2 (sin x ? cosx ? a ------------- =cos . a 2 b 2 0, 0,则y ,a 2 b 2(sin xcos cosxs in )Va b 2 sin(x ) 由此我们得到结论: 2 2 asinx+bcosx= . a b sin(x ),(*)其中0由 cos (3) sin cos sin(- ) ^6 cos(- 6 3 6 3 (5) 5sin 12cos (6) asinx bcosx -------------=si n a

3 2 2 的两个相邻交点的距离等于 ，则f (x)的单调递增区间是 ( ) A . [k ,k A ，k Z B. [k 11 ],k Z 12 12 12 12 C . [k , k ],k Z D. [k ,k 2 ],k Z 3 6 6 3 5. 如 果函 数 y=s in 2x+acos2x 的 图象关 于直 线x=- —对称，那么 a= () (A ) 2 (B ) ,2 (C ) 1 (D ) -1 n 6.函数 y = cos x + cos x +三 的最大值是 ___________ 3 7.已知向量 a (cos(x ),1), b 3 c (sin(x ),0),求函数 h(x)=a 2的最大值及相应的x 的值. 2 . 函 数 y = n 2s in 3 x — cos ( ) A.— 3 B .—2 C 3.若函数 f(x) (1 、_3ta nx)cosx , 0 x ( ) A. 1 B .2 C 4.( 2009安徽卷理)已知函数f(x) 3sin x cos x( n ~6 + x (x € R)的最小值等于 1 D 5 -，则f(x)的最大值为 2 .,3 1 D . ,3 2 0), y f(x)的图像与直线y 2 (cos(x -),-),

辅助角公式_教案

辅助角公式 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。

3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思

三角函数辅助角公式化简

精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；

精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。

降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式、辅助角公式应用 降幂公式 (cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2 (tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下 直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2 co s2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式 例10、（2008惠州三模）已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2 +-= （I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）求函数?? ? ???∈2, 0)(πx x f 在的值域. 解：x x x x f cos sin sin 3)(2 +-=x x 2sin 2 1 22cos 13+-? -= 232cos 232sin 21-+= x x 23)32sin(-+=πx （I ）ππ ==2 2T （II ）∴2 0π ≤ ≤x ∴ 3 43 23 π π π ≤ + ≤x ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx 所以)(x f 的值域为：?? ? ???--232,3 点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。 例11、（2008广东六校联考）已知向量a ρ＝(cos 23x ，sin 23 x )，b ?＝(2 sin 2cos x x ， -)，且x ∈[0， 2 π ]． （1）求b a ? ?+ （2）设函数b a x f ??+=)(+b a ? ??，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。 解：（I ）由已知条件： 2 0π ≤≤x ， 得：33(cos cos ,sin sin )2222x x x x a b +=+-r r

必修4之《辅助角公式》

高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问 题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +

2．函数 y ＝2sin ? ???? π 3－x －cos ? ?? ?? π 6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ????x ＋π3的最大值是________． 7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1 (cos(),)32 b x π=+-r , (sin(),0)3 c x π =+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）

辅助角公式及其应用

辅助角公式及应用微课教案 单位：封开县江口中学 授课教师： 吴英欢 （授课内容属人教A 版必修4第3.2辅助角公式） 一、教学目标 （1）了解辅助角公式推导 （2）能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。 二、重点难点 （1）重点：能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。 （2）难点：辅助角公式推导 三、教学内容 1.学前测评 ________ )sin()1(=+βα ________ )sin()2(=-βα ________ )6sin()3(=+πx ________)65sin()4(=+ πx ________)6 5sin()5(=-πx ________)6sin()6(=-π x 2. 思考： 通过前面四个题目我们发现，是不是任何一个同角的异名函数可以转换成一个角的三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。 3.探究新知 例1：将 asinx+bcosx 化为一个角的三角函数形式 解：①若a=0或b=0时，asinx+bcosx 已经是一个角的三角函数形式 ，无需化简，故有ab ≠0. ②从三角函数的定义出发进行推导 在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b) 所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P(a,b). 设OP=r,r= ,由三角函数的定义知 sin b r ? ==cos a r ?== 所以sin cos a x b x + sin cos x x ??=+ ?

)x ?=+ 例4：求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大和最小值。 2)3(12222=+=+b a 分析： 解析：x x y cos 3sin += )23sin 21(2cox x + = )3sin sin 3(cos 2cox x π π += )3sin(2π +=x ， 所以函数周期为π2，最大值为2，最小值为-2. 4.课堂小结 （1）辅助角公式：sin cos a x b x + )x ?=+ （2）两个应用：利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题 5. 达标测评 （1）.把下列各式化为一个角的三角函数形式 x x cos 2 1sin 23+ x x cos sin -- x x cos sin +- )6cos(3)6sin(3ππ+-+ -x x (2).R x x x ∈+=,cos sin 3y 已知函数 （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y ＝sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

辅助角公式专题练习

精品文档 辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 sin cos ) ) a x b x x x x ?+=+ =+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ?? = ?? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin 2αα+； （2cos αα+； （3）sin cos αα- （4sin()cos()6363 ππ αα-+-． 2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域

精品文档 4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ =+∈-的值域 5、求5sin 12cos αα+ 的最值 6．求函数y ＝cos x ＋cos ? ???? x ＋π3的最大值 7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω= +>，()y f x =的图像与直线2y =的 两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程 ( ) A.5[,],12 12k k k Z π π ππ-+ ∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈ （果 过程

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参考答案 1.（6） sin cos ) ) a x b x x x x ?+==+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ??= ? ? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 2.[答案] C [解析] y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π 6＋x ＝2cos ????π6＋x －cos ??? ?π 6＋x ＝cos ??? ?x ＋π 6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π 6∈R ，∴y min ＝－1. 3.答案：B 解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3 x π - 当3 x π = 是，函数取得最大值为2. 故选B

辅助角公式

辅助角公式Revised on November 25, 2020

推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形 ，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则 ，因此 就是所求辅助角公式。 又因为 ，且-π/2<φ<π/2，所以 ，于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况） ，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则 ，因此 同理， ，上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。 其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。 例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者

，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。 继之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。[1] 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)2]sin(θ+α)=√5k 平方得k2=sin2(θ+α)/[5-4sin2(θ+α)] 令t=sin2(θ+α) t∈[0,1]则k2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =13(5/13*sina-12/13*cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中，cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值

三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .

《辅助角公式应用》专题(简单题)

《辅助角公式应用》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。 化下列代数式为一个角的三角函数 1sin 22 αα+； cos αα+； a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ??+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。 2.求函数y x x x =+ -+24432cos()cos()sin ππ 的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 【求值】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最大值。 2.函数y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.2)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。 4.已知)4x y πθ+= +，)4x y π θ-=-，求证：221x y +=

【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的单调递增区间。 （2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63 k k k Z ππππ++∈ 已知函数()3f x x x =-，求： （1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围. （2）求函数()f x 的单调区间、对称中心. （3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？

关于辅助角公式的一个定理及其应用--(2019高考)数学考点分类解析

关于辅助角公式的一个定理及其应用 定理1 设函数)0(cos sin )(2 2 ≠++=b a x b x a x f ，则 (1)当且仅当??? ?? ?? += +=2222cos sin b a b x b a a x 时，2 2max )(b a x f +=； (2)当且仅当??? ? ? ?? +- =+-=2222cos sin b a b x b a a x 时，22min )(b a x f +-=． 证法1 因为12 222 2 2=??? ? ??++???? ??+b a b b a a ，所以可设??sin , cos 2 2 2 2 =+=+b a b b a a ，得 )(sin cos sin cos sin )(22222 222?++=??? ? ??++++=+=x b a x b a b x b a a b a x b x a x f (1) (1)当且仅当∈+=+k k x (22π π?Z )即??? ?? ?? += =+==2222sin cos cos sin b a b x b a a x ??时， 22max )(b a x f +=． (2)当且仅当∈-=+k k x (22π π?Z )即??? ?? ??+- =-=+-=-=2222sin cos cos sin b a b x b a a x ??时， 22min )(b a x f +-=． 证法2 因为函数)0(cos sin )(2 2 ≠++=b a x b x a x f 可化成 )(sin )(22?++=x b a x f 的形式，所以 0x 是)(x f 的最值点0x ?是)(x f 的极值点000cos sin 0)(x a x b x f =?='?

化一公式,辅助角公式教案

化一公式（第一课时） 一、教材分析 化一公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。 二、教学重点 对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。知道要从系数中提出22b a +. 三、教学难点 对22b a +的探究，理解为什么要提这个出来。 四、教学过程 （一）、知识回顾引入 前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于： αββαβαcos sin cos sin )sin(+=+ 那我们看一下 ?? ? ??+απ3sin =απαπsin 3cos cos 3sin +ααsin 21cos 23+= 则那么请同学看下面两个题应该等于多少 例一：化简下面式子 （1）=+ααcos 2 2sin 22 （2）=+ααcos 2 3sin 21 解释：第一个式子中的2 2可以看成4cos ,4sin ππ,变式后利用两角和正弦的逆应用课进行化简。第二个式子中的21和2 3可以看成3sin ,3cos ππ。 （二）、新授知识 那么现在我们来看下一个题： 例二：化简下面式子 （1）=+ααcos 2sin 2 （2）ααcos 3sin += （提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去）

解答：（1）??? ??+=??? ? ??+4sin 2cos 22sin 222πααα （2）??? ??+=??? ? ??+3sin 2cos 23sin 212πααα 为什么要提2出来呢？ 因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的 那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？ 例三：化简下面式子 =+x b x a cos sin （让学生思考并讨论） 学生讨论后指出这里应该提出22b a +，因为里面剩下的 2222,b a b b a a ++刚好 可以构一个角的正弦与余弦。 所以)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a ，我们把这种把两三角函数变为一个三角函数的公式称为化一公式。 由此我们就可以处理任何类似的式子了 例三：化简下面式子 =+x x cos 53sin 153 解答：先观察，把153与53的公因式53先提出来，变为x x cos sin 3+，再利用公式，提出21322=+，可以变为??? ??+=??? ? ??+6sin 56cos 21sin 2356πx x x 练习：化简下面式子： （1）x x sin 23cos 23- （2）x x cos sin 3+ （3）x x cos 4 6sin 42+ （让学生上来做并讲解） （三）总结 同学们你们来说说这节课你收获到了什么？ 1，化一公式 2，逆向思维 3，化归的思想 （四）作业 练习册

(完整版)辅助角公式专题训练

辅 助 角 公 式 专 项 训 练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数1()sin cos 44f x x x = -。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0, 4π??????上的最值。 3.已知函数()2cos sin()32 f x x x π =+-。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？

5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=++∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ =-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。 7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324 f x x x g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2()sin()cos 1468f x x x πππ =--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3 x ??∈????时，()y g x =的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。 （1）求()3 f π 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。

角函数中辅助角公式的应用

辅助角公式在高考三角题中得应用 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。 上式中的 a a b 2 2 +与 b a b 2 2 +的平方和为1，故可记a a b 2 2 +=cos θ， b a b 2 2 +=sin θ，则 。 )x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2 2 22θ++=θ+θ+= 由此我们得到结论：asinx+bcosx= a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由 a a b b a b 2 2 2 2 +=+=cos , sin θθ来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多 个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期 例1 求函数y x x x =+ -+244 32cos()cos()sin π π 的最小正周期。 解： ) 6 x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x 2sin 3)2 x 2sin(x 2sin 3)4x sin()4x cos(2y π +=+=+π +=+π +π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。 评注：将三角式化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 二. 求最值 例2. 已知函数f(x)=cos 4 x-2sinxcosx-sin 4 x 。若x ∈[, ]02 π ，求f(x)的最大值和最小值。

辅助角公式的解说

辅助角公式的解说-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

高中数学疑难分析解说： 关于辅助角公式的解说 对于辅助角公式，大家都很熟悉。公式如下：)sin(cos sin 2 2?ααα++= +b a b a 其中：a b =?tan 。 但是在实际运用中，最让大家感到头疼的是关于辅助角?的大小确定。下面就此公式的实际运用作如下解说。 一、 辅助角使用的准备 （1） 顺序：要使正弦在前，余弦在后； （2） 系数：分析好a 、b ，正弦系数为a 、余弦系数为b 。 二、 象限的确定 （1） 当a 、b 都是正数时，?在第一象限！ （2） 当a 、b 都是负数时，?在第三象限！ （3） 当a 是正数，b 是负数时，?在第四象限！ （4） 当a 是负数，b 是正数时，?在第二象限！ （5） 规律：x y a b == ?tan ，利用x 、y 的正负确定象限。 三、 b a 22+的确定（系数，相当于辅助直角三角形中的斜边长） （1） b a 22+的大小不管a 、b 符号如何，b a 22+始终是正数。 （2） b a 22 +的大小与a 、b 顺序无关。 （3） 1||||==b a 时， 222=+b a （4） 2||||==b a 时，2222 =+b a （5） 2||1||==b a ，时，52 2=+b a （6） 23||21||==b a ，时，122=+b a （7） 36||33||==b a ，时，122=+b a （8） 3||1||==b a ，时，222=+b a 三、?角的大小确定

（1） 1=a b ，4π?=或45π?=（4 ππ+k ） （2）1-=a b ，43π?=或4π?-=（4ππ-k ） （3）33=a b ，6π?=或67π?=（6 ππ+k ） （4） 33-=a b ，65π?=或6π?-=（6ππ-k ） （5）3=a b ，3π?=或34π?=（3 ππ+k ） （6）3-=a b ，32π?=或3π?-=（3 ππ-k ） 四、例说辅助角的运用 （一）?+?75sin 15sin （2015年四川高考题）来分析： 分析：先由诱导公式化为：?+?=?+?cos15sin1575sin 15sin ，然后直接利用辅助角公式得： 2 6232sin602)45sin(152cos15sin1575sin 15sin =?=??=?+?=?+?=?+? （二）公式的灵活运用 （1）直接运用辅助角公式 ?=?+?=?+?sin502)45sin(52cos5sin5 （2）化系数，利用两角和的三角函数变换 ?=?+?=??+??=?+?=?+?sin502)45sin(525cos 45sin sin5(cos452)cos52 2sin522(2cos5sin5）（3）化系数，利用两角和的三角函数变换 ?=?-?=??+??=?+?=?+?cos402)5cos(4525sin 45sin cos5(cos452)sin52 2cos522(2cos5sin5）（三）拓展分析 ?-?5sin cos5的思考： （1）利用辅助角公式 ?=?--=?-?-=?-?-=?-?sin40240sin(2)455sin(2)5cos 5(sin 5sin cos5） （2）利用辅助角公式 ?=?=?+?=?+?-=?-?sin402140sin(2)1355sin(25cos 5sin 5sin cos5） （3）利用两角和计算 ?=?=??-??=?-?=?-?sin40250cos 2)5sin 45sin 5cos 45(cos 2)5sin 2 25cos 22(25sin cos5（4）利用两角和计算

三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -???? 上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -??? ?上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -???? 上的值域. 6．已知函数( )2 1 cos cos 2 f x x x x =-- . (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数( )() sin ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数( )2cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， bc =b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；

辅助角公式_教案

辅助角公式 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ +=_________________________________ ()sin αβ -=_________________________________ 利用公式展开s in 4πα?? + ?? ?=_____________________ 反之,in o s 2 2 αα + 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是 in o s 2 2 αα + =_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为) sin(βα +A ()0A >的形式 （11in c o s 2 2αα + （2）s in o s α α - 2、例题 例１、试将以下各式化为) sin(βα +A ()0A >的形式. （11in c o s 2 2 αα - （2）α αcos sin + （3in o s αα + （4）α αcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）in c o s αα- 例3、若s in (50)c o s (20)x x +++= 360 x ≤< ，求角x 的值。 例42in ()c o s ()12 12 3 x x π π + ++ = ，且 2 x π - <<，求sin cos x x -的值。 4、思考 （1）公式()sin co s a b α ααβ += +中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？