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2013年北京市高考理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一测试

数

学（理）（北京卷）

本试卷共4页，150分。测试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、

选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =

（A ）{}0

（B ）{}1,0-

（C ）{}0,1

（D ）{}1,0,1-

（2）在复平面内，复数()2

2i -对应的点位于

（A ）第一象限

（B ）第二象限

（C ）第三象限（D ）第四象限

（3）“?π=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）1 （B ）

（C ）1321

（D ）610987

（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲线x y e =关于y 轴对称，则()f x = （A ）1x e + （B ）1x e -

（C ）1x e -+

（D ）1x e --

（6）若双曲线2

221x y a b

-=3 （A ）2y x =±

（B ）2y x =

（C ）1

y x =±

（D ）2

y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于

（A ）

（B ）2

（C ）83

（D 162

开始

i =0，S =1

S S S +=

+ i =i +1

i ≥2 是输出S

结束

否

（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>??

表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足

0022x y -=，求得m 的取值范围是

（A ）4,3?

?-∞ ??

（B ）1,3?

?-∞ ??

（C ）2,3??-∞- ??? （D ）5,3?

?-∞- ??

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在极坐标系中，点2,6π??

???

到直线sin 2ρθ=的距离等于

___________．

（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =____；前n 项和n S =____．

（11）如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ．若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =___________；

AB =___________．

（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________．

（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c =λa +μb （λ，μ∈R ），则

=___________．（14）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为___________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△ABC 中，3a =，26b =2B A ∠=∠．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值．（16）（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

a b

A 1

B 1

D 1

121

158

160

217

160

220

143

空气污染指数2502001501005014日

13日12日11日9日2日1日

日期

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（17）（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．

（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求

BC 的值．（18）（本小题共13分）

设L 为曲线ln :x C y x =在点()1,0处的切线．

（Ⅰ）求L 的方程；

（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方．（19）（本小题共14分）

已知A ，B ，C 是椭圆2

2:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．

（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．（20）（本小题共13分）

已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．设数列前n 项的最大值为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．

（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *，4n n a a +=）

，写出1d 、2d 、3d 、4d 的值；

（Ⅱ）设d 是非负整数．证明：()1,2,3,

n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的

等差数列；

（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,

n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项

为1．

C 1

B 1

A 1

2013年普通高等学校招生全国统一测试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1

（10）2 122n +- （11）9

（12）96 （13）4 （1425

三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为3a =，26b =2B A ∠=∠，所以在△ABC 中由正弦定理得326

sin A =

．

所以

2sin cos 26sin A A A =

故6

cos A = （Ⅱ）由（Ⅰ）知6cos A =23

sin 1cos A A =-=．

又因为2B A ∠=∠，所以21

cos 2cos 13

B A =-=．

所以222

sin 1cos B B =-．在△ABC 中()sin sin C A B =+ sin cos cos sin 53A B A B

=+=

所以sin 5sin a C

c A ==．

（16）（共13分）

解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i=1，2，…，13）．

根据题意，()1

i P A =

，且().i j A A i j =?≠

（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58.

B A A =

所以()()5

.13

P B P A A ==

（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且 ()()

111P X P A A A A ==

()()()()367114,13P A P A P A P A =+++=

C 1

B 1

A 1

()()

132P X P A A A A ==

()()()()1212134,13P A P A P A P A =+++=

()()()51112.13P X P X P X ==-=-==

所以X 的分布列为：

故X 的

期

望

54412012.13131313

EX =?

+?+?= （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为11AAC C 是正方形，所以1AA AC ⊥．因为11ABC AAC C ⊥平面平面，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，

所以1AA ⊥平面ABC ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1AA AC ⊥，1AA ⊥AB ．

由题知AB =3，BC =5，AC =4，所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则 ()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ，()14,0,4C ．

设平面11A BC 的法向量为(),,x y z n ，则

1110,

0.A B A C ??=??

?=??n n 即340,40.y z x -=??=?

令z =3，则x =0，y =4，所以()0,4,3=n ．同理可得平面11BB C 的法向量为()3,4,0=m ．

所以16

cos ,.25

=?n m n m n m 由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BC B --的余弦值为16

.25

（Ⅲ）设点D (),,x y z 是直线BC 1上一点，且1.BD BC λ=

所以()(),3,4,3,4x y z λ-=-．解得4,33,4.x y z λλλ==-=

X 0

513 413 413

z y

所以()4,33,4.AD λλλ=-由10AD A B ?=，即9250λ-=，得925

λ=．

因为

[]9

0,125∈，所以在线段BC 1上存在点D ，使得1AD A B ⊥．此时19

.25

BD BC λ==

（18）（共13分）解：（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln 'x

f x x

-=．所以()'11f =．所以L 的方程为1y x =-．（Ⅱ）令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于 ()()001g x x x ?>≠，＞．()g x 满足()1=0g ，且

()()22

1ln 1=

x x

g x f x x -+''=-．当0＜x ＜1时，210ln 0x x -＜，＜，所以()0g x '＜，故()g x 单调递减；当x ＞1时，210ln 0x x -＞，＞，所以()0g x '＞，故()g x 单调递减．

所以()()()1=001.

g x g x x ?>≠，＞

所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）椭圆22:14x W y +=的右顶点B 的坐标为（2，0）．

因为四边形OABC 为菱形，所以AC 和OB 相互垂直平分．

所以可设A （1，m ），代入椭圆方程得21

m +=，即3m =

所以菱形OABC 的面积是11

22 3.22

OB AC m ?=??=

（Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为

()0,0.y kx m k m =+≠≠由2244,

.y m x y kx =+?+=??

消去y 并整理得

()2

2148440.k x

kmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则

12121222

42142214x x y y x x km m

,k m .k k +++=-=?+=++

所以AC 的中点为2241414km

m M ,.k k ??-

?++??

因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14.k

因为114k k ???-≠- ???

，所以AC 和OB 不垂直．

所以OABC 不是菱形，和假设矛盾．

所以当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 不可能是菱形．

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）121d d ==，343d d ==．（Ⅱ）（充分性）因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d ≥0，所以 12n a a a ≤≤…≤≤….

因此n n A a =，1n n B a +=，()11,2,3,

n n n d a a d n +=-=-=．

（必要性）因为()01,2,3,n d d n =-=≤，所以.n n n n A B d B =+≤

又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，所以+1n n a a .≤于是，=n n A a ，1=.n n B a +

因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列．

（Ⅲ）因为12a =，1n d =，所以11=2A a =，1111B A d =-=．故对任意n ≥1，a n ≥B 1=1．假设{}()2n a n ≥不存在大于2的项．设m 为满足a m ＞2的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1≤k ＜m ，a k ≤2．又因为12a =，所以A m -1=2，且A m =a m ＞2．

于是21=1m m m B A d =--＞，{}1min 2m m m B a ,B .-=≥ 故111220m m m d A B ---=--=≤，和11m d -=矛盾．所以对于任意n ≥1，a n ≤2=a 1，所以A n =2．故21 1.

n n n B A d =-=-=

因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =，即数列{}n a 有无

穷多项为1．