第3章 静定结构的内力分析习题解答
习题3.1 是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时,必须先求出该杆段两端的端弯矩。( )
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制,不适用于剪力图的绘制。( )
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时,必会引起基本部分的内力。( ) (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中,CDE 和EF 部分均为附属部分。( )
习题3.1(4)图
(5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关,还与拱轴线的形状有关。( ) (6) 所谓合理拱轴线,是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 ( ) (7) 改变荷载值的大小,三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 ( ) (8) 利用结点法求解桁架结构时,可从任意结点开始。 ( )
【解】(1)正确;
(2)错误; (3)正确;
(4)正确;EF 为第二层次附属部分,CDE 为第一层次附属部分;
(5)错误。从公式0
H /C F M f 可知,三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关;
(6)错误。荷载发生改变时,合理拱轴线将发生变化; (7)错误。合理拱轴线与荷载大小无关;
(8)错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。
习题3.2 填空
(1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁,其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______;截面B 的弯矩大小为______,____侧受拉。
P
习题3.2(1)图
(2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架,其梁端弯矩M AB =______kN·m ,____侧受拉;左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ,____侧受拉。
习题3.2(2)图
(3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。
习题3.2(3)图
(4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。
习题3.2(4)图
【解】(1)M C = 0;M C = F P l ,上侧受拉。CDE 部分在该荷载作用下自平衡;
(2)M AB =288kN·m ,左侧受拉;M B =32kN·m ,右侧受拉; (3)F P /2;
(4)11(仅竖向杆件中有轴力,其余均为零杆)。
习题3.3 作习题3.3图所示单跨静定梁的M 图和Q F 图。
(a)
(b)
P
(c)
(d)
2
(e) (f )
习题3.3图
【解】
C D
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(a)
2a
F
F P
5M 图 F Q 图
(b)
8
ql 2
2ql ql 5
M 图
F Q 图
(c)
3
P
M 图 F Q 图
(d)
qa 21.5qa 2
2qa
M 图 F Q 图
(e)
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(f )
习题3.4 作习题3.4图所示单跨静定梁的内力图。
(a) (b)
m
(c) (d)
习题3.4图
【解】
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(a)
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(b)
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(c)
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(d)
习题3.5 作习题3.5图所示斜梁的内力图。
习题3.5图
【解】
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN ) F N 图(单位:kN )
习题3.6 作习题3.6图所示多跨梁的内力图。
(a)
(b)
A
(c)
(d) 习题3.6图
【解】
D
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
(a)
21
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:
kN )
(b)
A
M 图(单位:kN·m )
A
F Q 图(单位:kN )
(c)
M 图(单位:kN·m )
F Q 图(单位:kN )
(d)
习题3.7 改正习题3.7图所示刚架的弯矩图中的错误部分。
(a) (b)
(c)
(d) (e) (f
)
习题3.7图
【解】
(a) (b)
(c)
(d) (e) (f )
习题3.8 作习题3.8图所示刚架的内力图。
(a) (b) (c)
q
(d) (e) (f )
习题3.8图
【解】
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN ) F N 图(单位:kN )
(a)
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN )
F N 图(单位:kN )
(b)
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN ) F N 图(单位:kN )
(c)
M 图 F Q 图 F N 图
(d)
3.5
M 图 (单位:kN·m ) F Q 图(单位:kN ) F N 图(单位:kN )
(e)
F P
M 图 F Q 图 F N 图
(f )
习题3.9 作习题3.9图所示刚架的弯矩图。
(a) (b) (c)
(d) (e) (f
)
(g) (h) (i)
习题3.9图
【解】
P
(a) (b) (单位:kN·m ) (c)(单位:kN·m )
l
(d) (e) (f )(单位:kN·m )
a
F P
(g) (单位:kN·m ) (h) (i) (单位:kN·m )
习题3.10 试用结点法求习题3.10图所示桁架杆件的轴力。
P
(a) (b)
习题3.10图
【解】 (1)
提示:根据零杆判别法则有:N13N 430F F ==;根据等力杆判别法则有:N 24N 46F F =。然后分别对结点2、3、5列力平衡方程,即可求解全部杆件的内力。 (2)
提示:根据零杆判别法则有:N18N17N16N 27N 36N 450
F F F F F F ======;根据等力杆判
别法则有:N 12N 23N 34F F F ==;N 78N 76N 65F F F ==。然后取结点4、5列力平衡方程,即可求解全部杆件的内力。
习题3.11判断习题3.11图所示桁架结构的零杆。
P
(a) (b)
(c)
习题3.11图
【解】
P
(a) (b)
(c)
提示:(c)题需先求出支座反力后,截取Ⅰ.Ⅰ截面以右为隔离体,由
3
M=
∑,可得N12
F=,然后再进行零杆判断。
习题3.12用截面法求解习题3.12图所示桁架指定杆件的轴力。
(a)
(b)
(c) (d)
习题3.12图
【解】 (1) N P 32
a F F =-
;N P
12
b F F =
;N P
2
c F F =
提示:截取Ⅰ.Ⅰ截面可得到N b F 、N c F ;根据零杆判断法则,杆26、杆36为零杆,则通过截取Ⅱ.Ⅱ截面可得到N a F 。
(2) N 0a F =;N P b F =;N 0c F =
提示:截取Ⅰ.Ⅰ截面可得到N b F ;由结点1可知N 0a F =;截取Ⅱ.Ⅱ截面,取圆圈以内为脱离体,对2点取矩,则N 0c F =。
Ⅰ
(3) N 12kN a F =-;N 10kN
3
b F =
;
N 28kN 3
c F =
提示:先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体,由0A
M =∑,得N a
F ;由
0B
M
=∑,
得N c F ;再取结点A 为脱离体,由0y F =∑,得N b F 。
=N F N c
(4) N 5.66kN a F =-;N 1.41kN b F =-;N 8kN c
F =-
提示:先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体,将N a F 移动到2点,再分解为x 、y 的分力,由10M =∑,得4kN ya F =-,则N 5.66kN a F =-;
取Ⅱ.Ⅱ截面以左为脱离体,由0y F =∑,得1kN yb F =-,则N 1.41kN b F =-;
取Ⅲ.Ⅲ截面以右为脱离体,注意由结点4可知N 340F =,再由10M =∑,得N 8kN c F =-。
习题3.13 选择适当方法求解习题3.13图所示桁架指定杆件的轴力。
(a) (b)
(c)
(d)
(e) (f
)
(g) (h)
习题3.13图
【解】
(1)
N P
a
F F
=;
N
b
F=;
N
c
F=。
提示:由
4
M=
∑,可得60
y
F=。则根据零杆判别原则,可知
N N
b c
F F
==。根据结点
5和结点2的构造可知,
N23N35
F F
==,再根据结点3的受力可知
N P
a
F F
=。
(2)
N
12.73kN
a
F=;
N
18.97kN
b
F=;
N
18kN
c
F=-。
提示:先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体,由0
A
M=
∑,可得N12.73kN
a
F=;
取B 结点为脱离体,由0y F =∑,得N 12.73k N BD F =-;由0x F =∑,可得N 18kN
c F =-;
取Ⅱ.Ⅱ截面以右为脱离体,由0
C M =∑,可得N 18.97kN b
F =。
N B D
N c
F
(3) N 0a F =;N P
3b F F =
;
N P 3
c F F =-
。
提示:先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体,由0
y F =∑,可得N 0a
F =;由
3
0M
=∑,可得N12/3P F F =;由0
x F =∑,可得N 34/3P F F =-;
取结点3为脱离体,由0x F =∑,可得N b F ;
取结点A 为脱离体,由0x F =∑,可得N c F 。注意N 1N 12A F F =。
N 34
(4) N P
13
a F F -=
;
N P 3
b F F =
;N 0c F =。
提示:先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以上为脱离体,由10M =∑,可得N a F ; 取Ⅱ.Ⅱ截面以右为脱离体,由0y F =∑,可得N b F ;
取Ⅲ.Ⅲ截面以右为脱离体,注意由结点B 可知N 0BC F =,再由30
M =∑,得N c F 。
(5) N P a F F =
;N P b F =。
提示:根据求得的支反力可知结构的受力具有对称性,且结点A 为K 形结点,故可判别零杆如下图所示。再取结点B 为脱离体,由0y F =∑,
可得N N P b BC F F ==; 由0x F =∑,可得N P a F F =。
(6) N 0a F =;N P /2b F F =;N 0ac F =。 提示:原结构可分为以下两种情况的叠加。
对于状态1,由对称性可知,R 0B F =,则根据零杆判别法则可知1
N 0a F =。 取Ⅰ.Ⅰ截面以右为脱离体,由0D M =∑,可得1
N 0b F =; 根据E 、D 结点的构造,根据零杆判别法则,可得1
N 0c F =。
对于状态2,根据零杆判别法则和等力杆判别法则,易得到:2N 0a F =;2N P /2b F F =;2N 0c F =。
将状态1和状态2各杆的力相加,则可得到最终答案。
2
2
2
F P
F P F P
22F P F P 状态1 状态2 (7) N 0a F =;N 0b F =;N 40/3kN c F =-。 提示:先计算支座反力。
取Ⅰ.Ⅰ截面以右为脱离体,将N a F 移动到B 点,再分解为x 、y 的分力,由0A
M =∑,可
得0ya F =,则N 0a F =;
根据结点B 的构造和受力,可得N 0b F =; 取结点C 为脱离体,可得N 40/3kN c F =-。
(8) N 25kN
a F =-;
N 0b F =;N 20kN c F =。
提示:根据整体平衡条件,可得H 0B F =;则该结构可视为对称结构承受对称荷载作用,而结点D 为K 形结点,则可得N 0b F =;根据E 、C 结点进一步可判断零杆如下图所示。取结点F 为脱离体,由0y F =∑,可得N 25kN a F =-;由0
x F =∑,可得N 20kN c
F =。
习题3.14求解习题3.14图所示组合结构链杆的轴力并绘制梁式杆的内力图。
(a)
(b)
(c)
习题3.14图
【解】
(1)提示:首先计算支反力。再沿铰C 和FG 杆将原结构切开,取某部分为脱离体,可计算得到N FG F ,然后取结点F 为脱离体,可计算得到N FB F 和N F A F ,最后取ABC 为脱离体可求
得N AC F 和铰C 传递的剪力。
M 图 (单位:kN·m )
30F Q 图(单位:kN )
F N 图(单位:kN )
(2) 提示:取DEF 为脱离体,由0x F =∑,可得N 0D B F =;由0E M =∑,可得N D A F qa =;由0y F =∑,可得N 2EB F qa =-。
2
M 图 F Q 图 F N 图
(3) 提示:由整体平衡,可得H 0F F =,则原结构可化为以下状态1和状态2的叠加。
对于状态1,利用对称性可知铰结点传递的剪力为0,即Q 0C F =,然后取ABC 为隔离体,由0A
M
=∑,可得N P /2BF F =;取F 结点为隔离体,可得P yF F F =,然后
考虑到对称性并对整体结构列方程0y F =∑,可得0yA yE F F ==。
对于状态2,利用对称性并考虑结点F 的构造和受力,可得N N 0BF DF F F ==;然后取ABC 为隔离体,由0C M =∑,可得P /4()yA F F =↓;则根据对称性,可知P /4()yE F F =↑。 最后将两种状态叠加即可得到最终结果。
状态1 状态2
F P 4F P 2
M 图 F Q 图 F N 图
习题 3.15求习题 3.15图所示三铰拱支反力和指定截面K 的内力。已知轴线方程
2
4()f y x l x l
=
-。
习题3.15图
【解】
H H 16kN A B F F ==;V A 8kN
()F =↑;V 24kN ()B F =↑
15kN m K M =-?;Q 1.9kN K F =;N 17.8kN K F =-
习题3.16求习题3.16(a)图所示三铰拱支反力和(b)图中拉杆内力。
q
(a) (b)
习题3.16图
【解】
(1) V V A B F F qr
==;
H H 0A B F F ==
结构和荷载具有对称性,则V A F 、V B F 等于半个拱荷载的竖向分量: