相似三角形顶点共线的特殊规律

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相似三角形顶点共线的特殊规律

作者：穆树亮

来源：《中国科技博览》2015年第02期

[摘要]本文给出了处于点或线特定位置的相似三角形第三顶点共线的几种情形。包括平面点、线情形，平面线、线情形，空间线、线情形。并且探讨了其中存在的一些几何特性。这些规律将在证明数点共线或共线测量中得到实用。

[关键词]相似三角形；第三点；点共线

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）02-0000-01

1 引言

本文记述我在研究中发现的，处于点或线特殊位置的相似三角形第三顶点共线的几种情形。本文所涉及领域应属于几何学。姑且不敢妄称之为定理，暂以规律指代。

2 规律

①平面点线规律：平面上一条直线，与不在直线上的一点。以该点到直线上的任意线段为底，做相似三角形，则所有同向相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。

②平面点线规律推论：直线与脊线角色可相互交换。共可得两条脊线。两条脊线交点处有特殊的相似三角形，两相似三角形全等。

③平面线线规律：平面两直线上两点，若始终沿各自方向连续移动的距离之比不变，则以所有对应两点连线为底，所作同方向相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。

④平面线线规律推论：两条初始直线和脊线角色可相互交换，所有相似三角形中存在一个最小面积的三角形，存在两条脊线。

⑤空间线线规律：空间两直线被一组平行平面所截，在各平面内连接两截点，并以两截点的连线为底做同方向的相似三角形，则所有相似三角形第三顶点共线。可将此线称之为脊线。

3 例举与证明

①例：

图1a中，O点为直线AC外一点，过O点连接直线AC上随机3点A、B、C，并以线段OA、OB、OC为三角形的底边，做同方向的相似三角形。即△OAD∽△OBE∽△OCF。