初中数学找规律方法

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则

第 n 个数可以表示为：a+(n-1)b ，其中 a 为数列的第一位数， b 为增幅， (n-1)b为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b 。

例： 4、10、 16、 22、 28??，求第n 位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第 n 位数是： 4+(n-1) ×6＝ 6n－ 2

（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数

列）。如增幅分别为 3、 5、7、 9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1 位到第 n 位的增幅；

2、求出第 1 位到第第n 位的总增幅；

3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第n 位数。

举例说明： 2、 5、10、 17??，求第n 位数。

分析：数列的增幅分别为：3、 5、 7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n 位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：

〔3+（ 2n-1 ）〕× (n-1) ÷ 2＝（ n+1）× (n-1) ＝ n2-1

所以，第n 位数是： 2+ n2-1= n2+1

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方

法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、 4、 8.

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用

解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些

已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以

比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，??。试按此规律写出的第100 个数是。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100 个数。我们把有关的量

放在一起加以比较：

给出的数：0， 3，8， 15， 24，??。

序列号： 1 ， 2，3， 4 ， 5 ，??。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第 n 项是 n2-1 ，第 100

项是 1002-1 。

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、 n3, 或 2n、3n, 或 2n、 3n 有关。

例如： 1， 9， 25，49，（），（），的第 n 为（ 2n-1 ）2 （三）看例题：

A：2 、9、28、65 ..... 增幅是 7、19、37.... ，增幅的增幅是12、18 答案与3 有关且 ............

即： n3+1

B： 2、 4、 8、 16....... 增幅是 2、 4、 8.. ..... 答案与 2 的乘方有关即： 2n

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例： 2、5、 10、 17、 26??，同时减去 2 后得到新数列：

0 、3、 8、 15、 24??，

序列号： 1、 2、 3、4、 5

分析观察可得，新数列的第n 项为： n2-1 ，所以题中数列的第n 项为：（ n2-1 ）+2＝ n2+1

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出

规律，并恢复到原来。

例： 4 ， 16， 36，64，？， 144， 196，?？（第一百个数）

同除以 4 后可得新数列：1、 4、 9、 16?，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为

1、 2、 3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。

2、如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律

3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律

4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题