2
10x x x +=. 由拉格朗日中值公式, 得
2
)
())(()()(2
1101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ, 011x x <<ξ, 2)())(()()(1
2202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ, 220x x <<ξ, 两式相加并应用拉格朗日中值公式得
2
)]()([)(2)()(1
212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ 02
))((1
212>--''=x x f ξξξ, 21ξξξ<<, 即
)2
(2)()(2121x
x f x f x f +>+, 所以f (x )在[a , b ]上的图形是凹的.
拐点: 连续曲线y =f (x )上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线y =f (x )的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数y =f (x )的定义域; (2)求出在二阶导数f`'' (x );
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）（3）步有时省略. 例1. 判断曲线y =ln x 的凹凸性. 解: x y 1=', 21x
y -=''.
因为在函数y =ln x 的定义域(0, +∞)内, y ''<0, 所以曲线y =ln x 是凸的.
例2. 判断曲线y =x 3的凹凸性. 解: y '=3x 2, y ''=6x . 由y ''=0, 得x =0.
因为当x <0时, y ''<0, 所以曲线在(-∞, 0]内为凸的; 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在[0, +∞)内为凹的. 例3. 求曲线y =2x 3+3x 2-2x +14的拐点. 解: y =6x 2+6x -12, )21(12612+=+=''x x y .
令y ''=0, 得2
1-=x .
因为当21-x 时, y ''>0, 所以点(21-, 2120)是曲线的拐点.
例4. 求曲线y =3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间.
解: (1)函数y =3x 4-4x 3+1的定义域为(-∞, +∞); (2)231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ;
(3)解方程y ''=0, 得01=x , 3
22=x ;
(4)列表判断:
在区间(-∞, 0]和[2/3, +∞)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点.
例5 问曲线y =x 4是否有拐点？ 解 y '=4x 3, y ''=12x 2.
当x ≠0时, y ''>0, 在区间(-∞, +∞)内曲线是凹的, 因此曲线无拐点. 例6. 求曲线3x y =的拐点. 解 (1)函数的定义域为(-∞, +∞); (2) 32 31x y =
', 32
92x x y -=''; (3)无二阶导数为零的点, 二阶导数不存在的点为x =0;
(4)判断: 当x <0当, y ''>0; 当x >0时, y ''<0. 因此, 点(0, 0)曲线的拐点.
§3. 5 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 极值的定义:
定义 设函数f (x )在区间(a , b )内有定义, x 0∈(a , b ). 如果在x 0的某一去心邻域内有f (x )< f (x 0), 则称f (x 0)是函数 f (x )的一个极大值; 如果在x 0的某一去心邻域内有f (x )>f (x 0), 则称f (x 0)是函数f (x )的一个极小值.
设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 如果在去心邻域U (x 0)内有f (x )f (x 0)), 则称f (x 0)是函数 f (x )的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果f (x 0)是函数f (x )的一个极大值, 那只是就x 0 附近的一个局部范围来说, f (x 0)是f (x )的一个最大值; 如果就f (x )的整个定义域来说, f (x 0)不一定是最大值. 关于极小值也类似.
极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.
定理1 (必要条件)设函数f (x )在点x 0 处可导, 且在x 0 处取得极值, 那么这函数在x 0 处的导数为零, 即f '(x 0)=0.
证 为确定起见, 假定f (x 0)是极大值(极小值的情形可类似地证明). 根据极大值的定义, 在x 0 的某个去心邻域内, 对于任何点x , f (x ) < f (x 0)均成立. 于是 当x < x 0 时
0)
()(0
0>--x x x f x f ,
因此 f '(x 0)0)
()(lim 0
00
≥--=-
→x x x f x f x x ;
当x > x 0 时
0)
()(0
0<--x x x f x f ,
因此 0)
()(lim )(0
000
≤--='+
→x x x f x f x f x x ;
从而得到 f '(x 0) = 0 .
简要证明: 假定f (x 0)是极大值. 根据极大值的定义, 在x 0的某个去心邻域内有f (x )< f (x 0). 于是
0)
()(lim )()(00000≥--='='-→-x x x f x f x f x f x x ,
同时 0)
()(lim )()(0
0000
≤--='='+→+
x x x f x f x f x f x x ,
从而得到f '(x 0) = 0 .
驻点: 使导数为零的点(即方程f '(x ) = 0的实根)叫函数f (x )的驻点. 定理１就是说: 可导函数f (x )的极值点必定是函数的驻点. 但的过来, 函数f (x )的驻点却不一定是极值点. 考察函数f (x )=x 3在x =0处的情况.
定理２(第一种充分条件)设函数f (x )在点x 0的一个邻域内连续, 在x 0的左右邻域内可导. (1) 如果在x 0的某一左邻域内f '(x )>0, 在x 0的某一右邻域内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值;
(2) 如果在x 0的某一左邻域内f '(x )<0, 在x 0的某一右邻域内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值;
(3)如果在x 0的某一邻域内f '(x )不改变符号, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.
定理２' (第一种充分条件)设函数f (x )在含x 0的区间(a , b )内连续, 在(a , x 0)及(x 0, b )内可导. (1)如果在(a , x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, b )内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(a , x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, b )内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(a , x 0)及(x 0, b )内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.
定理2''(第一充分条件)设函数f (x )在x 0连续, 且在x 0的某去心邻域(x 0-δ, x 0)?(x 0, x 0+δ)内可导.
(1)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )>0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )<0, 那么函数f (x )在x 0处取得极大值; (2)如果在(x 0-δ, x 0)内f '(x )<0, 在(x 0, x 0+δ)内f '(x )>0, 那么函数f (x )在x 0处取得极小值; (3)如果在(x 0-δ, x 0)及(x 0, x 0+δ)内 f '(x )的符号相同, 那么函数f (x )在x 0处没有极值.
定理2也可简单地这样说: 当x 在x 0的邻近渐增地经过x 0时, 如果f '(x )的符号由负变正, 那么f (x )在x 0处取得极大值; 如果f '(x )的符号由正变负, 那么f (x )在x 0处取得极小值; 如果f '(x )的符号并不改变, 那么f (x )在x 0处没有极值 (注: 定理的叙述与教材有所不同) . 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数f '(x );
(2)求出f (x )的全部驻点和不可导点;
(3)列表判断(考察f '(x )的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例1求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.
解(1)f (x )在(-∞, +∞)内连续, 除x =-1外处处可导, 且
31
3)
1(5)(+-=
'x x x f ; (2)令f '(x )=0, 得驻点x =1; x =-1为f (x )的不可导点; (3)列表判断
(4)极大值为f (-1)=0, 极小值为343)1(-=f .
定理3 (第二种充分条件) 设函数f (x )在点x 0处具有二阶导数且f '(x 0)=0, f ''(x 0)≠0, 那么
(1)当f ''(x 0)<0时, 函数f (x )在x 0处取得极大值; (1)当f ''(x 0)>0时, 函数f (x )在x 0处取得极小值;
证明 在情形(1), 由于f ''(x 0)<0, 按二阶导数的定义有
0)
()(lim )(0000<-'-'=''→x x x f x f x f x x .
根据函数极限的局部保号性, 当x 在x 0的足够小的去心邻域内时, 0)
()(00<-'-'x x x f x f .
但f '(x 0)=0, 所以上式即
0)
(0
<-'x x x f . 从而知道, 对于这去心邻域内的x 来说, f '(x )与x -x 0符号相反. 因此, 当x -x 0<0即x 0; 当x -x 0>0即x >x 0时, f '(x )<0. 根据定理2, f (x )在点x 0处取得极大值. 类似地可以证明情形(2).
简要证明: 在情形(1), 由于f ''(x 0)<0, f '(x 0)=0, 按二阶导数的定义有
0)
(lim )()(lim )(000000<-'=-'-'=''→→x x x f x x x f x f x f x x x x .
根据函数极限的局部保号性, 在x 0的某一去心邻域内有 0)(0
<-'x x x f .
从而在该邻域内, 当x 0; 当x >x 0时, f '(x )<0. 根据定理2, f (x )在点x 0处取得极大值.
定理3 表明, 如果函数f (x )在驻点x 0处的二导数f ''(x 0) ≠0, 那么该点x 0一定是极值点, 并且可以按二阶导数f ''(x 0)的符来判定f (x 0)是极大值还是极小值. 但如果f ''(x 0)=0, 定理3就不能应用. 讨论: 函数f (x )=-x 4, g (x )=x 3在点x =0是否有极值？
提示: f '(x )=4x 3, f '(0)=0; f ''(x )=12x 2, f ''(0)=0. 但当x <0时f '(x )<0, 当x >0时f '(x )>0, 所以f (0) 为极小值.
g '(x )=3x 2, g '(0)=0; g ''(x )=6x , g ''(0)=0. 但g (0)不是极值．
例2 求函数f (x )=(x 2-1)3+1的极值. 解 (1)f '(x )=6x (x 2-1)2.
(2)令f '(x )=0, 求得驻点x 1=-1, x 2=0, x 3=1. (3)f ''(x )=6(x 2-1)(5x 2-1).
(4)因f ''(0)=6>0, 所以f (x )在x =0处取得极小值, 极小值为f (0)=0.
(5)因f ''(-1)=f ''(1)=0, 用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f '(x )<0, 所以f (x )在-1处
没有极值; 同理, f (x )在1处也没有极值.
二、最大值最小值问题
在工农业生产、工程技术及科学实验中, 常常会遇到这样一类问题: 在一定条件下, 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题, 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题. 极值与最值的关系:
设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间(a , b )内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间[a , b ]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法:
设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ? ? ? , x n , 则比较 f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b )
的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值.
解 ???∈-+-?-∈+-=)
2 ,1( 23]
4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ?
??∈+-?-∈-=')
2 ,1( 32)
4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为2
3=x ; 不可导点为x =1和x =2.
由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最
大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.
例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.
A B
设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ?CD +3k ?DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).
现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(
2-+='x
x k y . 2400x CD +=
解方程y '=0, 得x =15(km).
由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005
1
1500|+
==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.
例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km, A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则
y =5k ?CD +3k ?DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(
2
-+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,2100511500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当
AD =x =15km 时, 总运费为最省.
注意: f (x )在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点x 0 , 并且这个驻点x 0 是函数f (x )的极值点, 那么, 当f (x 0)是极大值时, f (x 0)就是f (x )在该区间上的最大值; 当f (x 0)是极小值时, f (x 0)就是f (x )在该区间上的最小值.
应当指出, 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f (x )确有最大值或最小值, 而
且一定在定义区间内部取得. 这时如果f (x )在定义区间内部只有一个驻点x 0, 那么不必讨论f (x 0)是否是极值, 就可以断定f (x 0)是最大值或最小值.
例6 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁. 问矩形截面的高h 和宽b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W (261bh W =)最大?
解 b 与h 有下面的关系: h 2=d 2-b 2,
因而 )(6
122b d b W -=(0
这样, W 就是自变量b 的函数, b 的变化范围是(0, d )
现在, 问题化为: b 等于多少时目标函数W 取最大值？为此, 求W 对b 的导数: )3(6122b d W -='.
解方程W '=0得驻点d b 3
1=.
由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在(0, d )内部取得; 现在, 函数)(6122b d b W -=在
(0, d )内只有一个驻点, 所以当d b 31=时, W 的值最大. 这时,
2222223231d d d b d h =-=-=,
即 d h 3
2=.
1:2:3::=b h d .
解: 把W 表示成b 的函数: 261bh W =)(6122b d b -=(0
由0)3(6
122=-='b d W , 得驻点d b 13-=. 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 而且在(0, d ) 内部取得; 现在函数W 在(0, d )内只有一个驻点d b 13-=, 所以当d b 13-=时, 抗弯截面模量W 最大, 这时d h 32=.
§3. 8 函数图形的描绘
描绘函数图形的一般步骤:
(1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数;
(2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性;
(5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点; (6)联结这些点画出函数的图形.
例1. 画出函数y =x 3-x 2-x +1的图形. 解: (1)函数的定义域为(-∞, +∞),
(2) f '(x )=3x 2-2x -1=(3x +1)(x -1), f ''(x )=6x -2=2(3x -1). f '(x )=0的根为x = -1/3, 1; f ''(x )=0的根为x = 1/3. (3)
(4)当x
(5)计算特殊点: f (-1/3)=32/27, f (1/3)=16/27, f (1)=0, f (0)=1; f (-1)=0, f (3/2)=5/8. (6)描点联线画出图形:
例2. 作函数22121)(x e x f -=π
的图形. 解: (1) 函数为偶函数, 定义域为(-∞, +∞), 图形关于y 轴对称.
(2)2212)(x e x x f --='π
, 2212)1)(1()(x e x x x f --+=''π.
令f '(x )=0, 得x =0; 令f ''(x )=0, 得x =-1和x =1.
(3)列表
(4) (5)先作出区间(0, +∞)内的图形, 然后利用对称性作出区间(-∞, 0)内的图形. 例3. 作函数2)3(361++=x x y 的图形.
解: (1)函数的定义域为(-∞, -3)?(-3, +∞).
(2)3)3()3(36)(+-='x x x f , 4)3()6(72)(+-=''x x x f . 令f '(x )=0得x =3, 令f ''(x )=0得x =6.
(3)列表分析:
(4) x = -3是曲线的铅直渐近线, y = 1是曲线的水平渐近线. (5)计算特殊点的函数值: f (0)=1, f (-1)=-8, f (-9)=-8, f (-15)=-11/4. (6)作图.
§3. 9 曲 率 一、弧微分
设函数f (x )在区间(a , b )内具有连续导数. 在曲线y =f (x )上取固定点M 0(x 0,
y 0)作为度量弧长的基点, 并规定依x 增大的方向作为曲线的正向. 对曲线上任一点M (x , y ), 规定有向弧段?
M M 0的值s （简称为弧s ）如下: s 的绝对值等于这弧段的长度, 当有向弧段?
M M 0的方向与曲线的正向一
致时s >0, 相反时s <0. 显然, 弧s =?
M M 0是x 的函数: s =s (x ), 而且s (x )是x 的单调增加函数. 下面来求s (x )的导数及微分.
设x , ?x 为(a , b )内两个邻近的点, 它们在曲线y =f (x )上的对应点为M , N , 并设对应于x 的增量?x , 弧s 的增量为?s , 于是
()
2
x s ??2???? ???=?x MN 2||???? ??=?MN MN 22)(||x MN ??2
||???
?
??=?MN MN 222)()()(x y x ??+??
2
||??
?
?
??=?MN MN ??
?
?????? ????+?21x y , x
s ????
?
?????? ????+???
?
?
??±=?22
1||x y MN MN , 因为0lim →?x ||||MN MN ?
=M N →lim |||
|MN MN ?
=1, 又0lim →?x x
y ??=y ',
因此
dx
ds =±21y '+. 由于s =s (x )是单调增加函数, 从而dx ds >0, dx ds =21y '+. 于是ds =21y '+dx . 这就是弧微分公式.
因为当?x →0时, ?s ~?
MN , ?x 又?s 与同号, 所以
2
02200)(1lim ||)()(lim lim x
y x y x x s dx ds x x x ??+=??+?=??=→?→?→?21y '+=.
因此
dx y ds 21'+=, 这就是弧微分公式.
二、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述:
设曲线C 是光滑的, 在曲线C 上选定一点M 0作为度量弧s 的基点. 设曲线上点M 对应于弧s , 在点M 处切线的倾角为α , 曲线上另外一点N 对应于弧s +?s , 在点N 处切线的倾角为
α+?α .
我们用比值|
||
|s ??α, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段?
MN 的平均弯曲程度.
记s K ??=α, 称K 为弧段MN 的平均曲率.
记s K s ??=→?α0lim , 称K 为曲线C 在点M 处的曲率.
在0lim →?s s
??α=ds d α存在的条件下, ds d K α=.
曲率的计算公式:
设曲线的直角坐标方程是y =f (x ), 且f (x )具有二阶导数（这时f '(x )连续, 从而曲线是光滑的）. 因为tan α=y ' , 所以
sec 2α d α=y ''dx ,
dx y y dx y dx y d 2221tan 1sec +'
'=+''=''=α.
又知ds =21y '+dx , 从而得曲率的计算公式
2
32)1(|
|y y ds d K '+''=
=α.
例1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 例2. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 讨论:
1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率.
提示: 设直线方程为y =ax +b , 则y '=a , y ''= 0. 于是K =0.
2. 若曲线的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t )给, 那么曲率如何计算？
提示: 2/322)]()([|
)()()()(|t t t t t t K ψ?ψ?ψ?'+''''-'''=.
3. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 提示: 圆的参数方程为x =R cos t , y =R sin t . 例1. 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率. 解: 由x y 1=, 得
21x y -=', 32x y =''.
因此 y '|x =1=-1, y ''|x =1=2.
曲线xy =1在点(1, 1)处的曲率为
最新微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数 的应用
第三章微分中值定理与导数的应用 本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论； 2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式； 3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式； 4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法； 5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系； 6.知道曲线的凹凸性与拐点的定义； 7.知道弧微分的定义与弧微分公式； 8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9.知道求方程的近似解的基本方法。 （二）领会 1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义； 2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系； 3.领会洛必达法则； 4.领会函数的单调性与一阶导数之间的联系； 5.领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系； 6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系； 7.领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。 （三）运用 1.会用中值定理证明等式和不等式； 2.会用洛必达法则求末定式的极限； 3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值； 4.会用导数求函数的单调区间和极值； 5.会用函数的单调性证明不等式； 6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点； 7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8.会求一些最值应用问题； 9.会求曲率和曲率半径； 10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。 （四）分析综合 1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是
高等数学同济第七版7版下册习题全解
第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (
A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "
9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0
根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条
中值定理与导数的应用(包括题)
第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,<
(2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
微分中值定理与导数应用
第三单元微分中值定理与导数应用 一、填空题 1、 lim xln x x 0 。 2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增 3 、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。 4 、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间 是凸的。 5 、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是 6 、 曲线y xe 3x 的拐点坐标是 。 7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f X 。是f x 在a,b 上的最大值。 & y X 3 2x 1 在 内有 个零点。 1 1 9、 lim cot x( ) 。 sin x x 1 i 10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0 x xta n x 11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。 12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择 1、 函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0) 2,则lim x 0 () (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ; (D) -2 2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)( f(x) x 2 x
2 (A)单调增凹的；(E)单调减凹的； (A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；
(C)单调增凸的; (D)单调减凸的 3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处 ( ) (A)取得极大值； (E)取得极小值； (C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有 拐点。 4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是( ) (A)无实根； (B)有唯一实根； (C) 有两个实根； (D)有三个 实根。 7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx 则在点x 0处f(x)( ) (A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件； (C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。 5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他； g(x) g(a) 6、 方程x 3 3x 1 0在区间(， (B) I 是H 的必要但非充 (D) I 不是H 的充分条件， f (x)g(x) 0，且 f (x)g(x) f(x)g (x), ) (B) f(x)g(x) f (b)g(b)； (D)喪起。 f(x) f(a) )内( )
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(>微分中值定理与导数的应用练习题
题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线
水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim
第三章中值定理与导数的应用答案
(A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x -
计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点
微分中值定理与导数的应用习题
第四章微分中值定理与导数得应用习题 §４、1 微分中值定理 1. 填空题 (1）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立得ξ就是. （2)设,则有３个实根，分别位于区间中. 2.选择题 (1)罗尔定理中得三个条件:在上连续,在内可导,且,就是在内至少存在一点,使成立得（B ). A．必要条件 B.充分条件 C. 充要条件D．既非充分也非必要条件 （2)下列函数在上满足罗尔定理条件得就是( C ）． A、B、C、Ｄ、 (3)若在内可导，且就是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(Ｂ). A. B. 在之间 C. Ｄ. 3.证明恒等式：. 证明: 令，则,所以为一常数. 设，又因为, 故． ４．若函数在内具有二阶导数，且,其中,证明：在内至少有一点，使得. 证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在, 使. 同理存在，使. 又在上 符合罗尔定理得条件,故有,使得． 5. 证明方程有且仅有一个实根. 证明:设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面，假设有,且，使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根. 6. 设函数得导函数在上连续,且,其中就是介于之间得一个实数. 证明: 存在,使成立、 证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点，使得. 同理,存在点,使得．因此在上满足罗尔定理得条件,故存在，使成立． 7、设函数在上连续，在内可导、试证：至少存在一点, 使 证明：只需令,利用柯西中值定理即可证明、 ８．证明下列不等式 (1)当时，. 证明：设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,且, 故, 即 (） 因此, 当时,. (2)当时,. 证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有 因为,所以,又因为，所以，从而 . §4、2 洛毕达法则 １. 填空题 (１) (２)０ （3）= (4)１ 2.选择题
第四章.中值定理与导数的应用
第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ高等数学同济第七版上册课后答案
习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为
0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x ,
