第2节圆与方程
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2018·全国名校第四次大联考)若方程4x2+4y2-8x+4y-3=0表示圆,则其圆心为( D )
(A)(-1,-) (B)(1,)
(C)(-1,) (D)(1,-)
解析:圆的一般方程为x2+y2-2x+y-=0,
据此可得,其圆心坐标为(-,-),即(1,-).
故选D.
2.(2018·七台河市高三期末)已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,则下列点在圆C内的是( D )
(A)(4,1) (B)(5,0) (C)(3,4) (D)(2,3)
解析:圆C化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,
将选项一一代入,可得(2,3)在圆C内,
故选D.
3.(2018·青岛二模)已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为( D )
(A)3 (B) (C)5 (D)4
解析:圆的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圆心坐标为(-a,0),再根据它的圆心坐标为(5,0),可得a=-5,故它的半径为==4,故选D.
4.(2018·兰州市一模)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0), B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是( D )
(A)(0,2] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[1,3]
解析:圆C:(x-)2+(y-1)2=1的圆心C(,1),半径为1,因为圆心C到O(0,0)的距离为2,
所以圆C上的点到点O的距离的最大值为3,最小值为1,再由∠APB= 90°,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO=AB=t,故有1≤t≤3,故选D.
5.(2018·淄博调研)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A )
(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4
(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1
解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得
因为点Q在圆x2+y2=4上,
所以+=4,
即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.
6.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
解析:法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),
所以解得
所以圆的方程为x2+y2-2x=0.
法二画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
答案:x2+y2-2x=0
7.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为.
解析:设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,
得(a+1)2+12=(a-1)2+32,解得a=2.
半径r=|CA|==.
故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
由题意知(m-2)2+()2<10,
解得0 答案:(0,4) 8.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为 . 解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4, 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y), 由题设知·=0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. 答案:(x-1)2+(y-3)2=2 能力提升(时间:15分钟) 9.(2018·吴忠模拟)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( C ) (A)(x+1)2+(y+1)2=2 (B)(x+1)2+(y+1)2=4 (C)(x-1)2+(y+1)2=2 (D)(x-1)2+(y+1)2=4 解析:由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为, 所以过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0, 所求的圆的圆心在此直线上,排除A,B, 因为圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求的圆的半径为, 故选C. 10.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为( D ) (A)1 (B)5 (C)4 (D)3+2 解析:由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上, 所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1, 所以+=(+)(a+b)=3++ ≥3+2=3+2, 当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立. 所以+的最小值为3+2.故选D. 11.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为( C ) (A) (B) (C)2 (D)3 解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得A(,0),B(0,),则|AB|==≥=2.当且仅当x0=y0时,等号成立. 12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为. 解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+ 2.+为圆上任一点到原点距离的平方,所以(+)max=(5+1)2=36,所以d max=2×36+2=74. 答案:74 13.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4. (1)求直线CD的方程; (2)求圆P的方程. 解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2). 所以直线CD的方程为y-2=-(x-1), 即x+y-3=0. (2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.① 又直径|CD|=4, 所以|PA|=2. 所以(a+1)2+b2=40.② 由①②解得或 所以圆心P(-3,6)或P(5,-2), 所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40. 14.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点. (1)求m+2n的最大值; (2)求的最大值和最小值. 解:(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程, 因为该直线与圆有公共点, 所以圆心到直线的距离d=≤2, 解上式得16-2≤t≤16+2, 所以所求的最大值为16+2. (2)记点Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k, 所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0. 由直线MQ与圆C有公共点, 得≤2. 可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-. -- 圆方程与直线与圆、圆与圆关系 一、圆的标准方程 1.圆的定义 (1)条件:平面内到定点的距离等于定长的点的__集合___. (2)结论:定点是_圆心____,定长是___半径__. 2.圆的标准方程 (1)圆心为A (a,b ),半径长为r 的圆的标准方程为 . (2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为 2.点与圆的位置关系 圆C :(x -a )2 +(y-b)2=r2(r >0),其圆心为(a ,b ),半径为r ,点P (x 0,y 0),设d =|PC |=错误!. 位置关系 d 与r 的大小 图示 点P 的坐标的特点 点在圆外 d__>__r (x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2 点在圆上 d __=__r (x 0-a)2+(y0-b )2=r 2 点在圆内 d __<__r (x 0-a )2+(y 0-b )2 <r2 题型一:圆的标准方程 例1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点C (3,4)处,半径是5; (3)经过点P (5,1),圆心在点C (8,-3)处 题型二:点与圆的位置关系的判断 例2. 已知两点P1(3,8)和P 2(5,4),求以线段P 1P 2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3),N (3, 4),P(3,5)是在此圆上,在圆内,还是在圆外? 变式:若原点在圆(x -1)2+(y +2)2=m 的内部,则实数m 的取值范围是( ) A .m >5 B.m <5 C .-2<m<2 D.0<m <2 题型三:圆标准方程的求解 例3.求下列条件所决定的圆的方程: (1)已知圆 C 过两点 A (5,1),B (1,3),圆心在 x 轴上; (x -a )2+(y -b )2=r 2 x 2+y 2=r 2 ? 第四章 圆与方程 知识点与习题 ★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 设 M (x,y )为⊙A 上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | |MA| = r } ★2(1 点 M (x 0 , y 0 ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系: 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ,点在圆外; 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ,点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ,点在圆内; (2( D 2 + E 2 - 4F > 0 ) 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为?- D ,- E ? ,半径为 r = ? 2 2 ? 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时,表示一个点; 当 D 2 + E 2 - 4 F < 0 时,方程不表示任何图形。 (3) 求圆的方程的方法: ①待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出 D ,E ,F ; ②直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。 ★3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1) 设直线l : Ax + By + C = 0 ,圆C : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ,圆心C (a , b )到 l 的距离为 ,则有 d > r ? l 与C 相离; d = r ? l 与C 相切; d < r ? l 与C 相交 (2) 过圆外一点的切线 k , ②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线 (此 时,该直线一定为另一条切线) 方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆上一点为(x 0,y 0) (数学2必修)第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A .22(2)5x y -+= B .22(2)5x y +-= C .22(2)(2)5x y +++= D .22(2)5x y ++= 2.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ 4.将直线20x y λ-+=,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( ) A .37-或 B .2-或8 C .0或10 D .1或11 5.在坐标平面,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A .023=-+y x B .043=-+y x C .043=+-y x D .023=+-y x 二、填空题 1.若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,切点分别为0 ,,60A B APB ∠=,则动点P 的轨迹方程为 。 3.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 4.已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 第四章 圆与方程 一、选择题 1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交 B .外切 C .内切 D .相离 2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 - C .(x -1)2+(y +2)2=1 D .(x +1)2+(y -2)2=1 4.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0 D .2x -y ±5=0 5.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2 B .2 C .22 D .42 6.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ). A .x 2+y 2+4y -6=0 B .x 2+y 2+4x -6=0 ! C .x 2+y 2-2y =0 D .x 2+y 2+4y +6=0 7.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是 ( ). A .30 B .18 C .62 D .52 8.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2 D .(a +b )2=2r 2 9.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2 +y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6 B .12或-8 C .8或-12 D .6或-14 ' 10.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A .4 53 B . 2 53 C . 2 53 D .213 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法: 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程: 四、参数方程: 五、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC) 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线l 与圆C 相切意味着什么? 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点... i )点在圆外 如定点()00,P x y ,圆:()()222x a y b r -+-=,[()()22 200x a y b r -+->] 第一步:设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步:通过d r =k ?,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对k 存在有效,当k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线,求切线方程. 答案:3410x y -+=和1x = ii )点在圆上 1) 若点()00x y ,在圆222x y r +=上,则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点()00x y ,在圆()()22 2x a y b r -+-=上,则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形,222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理....及勾股定理——常用 第四章圆与方程 本章教材分析 上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力. 通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题. 本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考): §4.1 圆的方程 §4.1.1 圆的标准方程一、教材分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题. 二、教学目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法求圆的标准方程. 2.过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3.情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣. 三、教学重点与难点 教学重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 四、课时安排 标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ,圆心 (a , b ),半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节:圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。二、圆的方程 (1) ; 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系: 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ,点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ,点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ,点在圆内 (2) 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为?- D E ? ,半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时,表示一个点; 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时,方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 (3) 求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出 D ,E ,F ; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . (1) 此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由; (2) 若方程表示的图形是是一个圆,当 m 变化时,它的圆心和半径有什么规律?请说明理由. 答案:(1)方程表示的图形是一个圆;(2)圆心在直线 y =2x +5 上,半径为 2. 练习: 1.方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是( ) A.以(1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 B.以(1,2) 为圆心, 为半径的圆 C.以(-1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 D.以(-1,2) 为圆心, 为半径的圆 2.过点 A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线 x +y -2=0 上的圆的方程是( ). A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4 3.点(1,1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) A. -1 < a < 1 B. 0 < a < 1 C. a < -1 或 a > 1 D. a = ±1 4.若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆,则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M (5,-7),则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y =x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 7. 以点 C (-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 1 D 2 + E 2 - 4F 必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程,则 2222 0004040 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数:往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系:圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系:相切时,利用到圆心与切点的连线垂直直线;相交时,利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3.以1122(,),(,)A x y B x y 为直径两端点的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?< 圆的方程 ()() 2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材119P 例2 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 ()222 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()2 2 2 2 2 20x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材122P 例r 4 2.2 2 40D E F +->常可用来求相关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值高一数学必修2圆方程与直线与圆、圆与圆关系
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