《高等数学》单元自测题
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第七章 空间解析几何自测题
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1. 已知a
与b
垂直，且a
=5，b
=12，则=+b a
，b a
-= 。 2．若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k = 。 3．若直线
531123-=++=-z k y k x 与2
2
531-+=
+=-k z y x 垂直，则k= 。 4．已知)1,3,2(A ，)1,4,5(-B ，)3,2,6(-C ，)1,2,5(-D ，则通过点A 且垂直于B 、C 、D
所确定的平面的直线方程是 。
5．母线平行于oz 轴且通过曲线?????+==++2
222
221
4z
y x z y x 的柱面方程是 。 二、选择题：
1．下列命题，正确的是 。
（A ）、k j i
++是单位向量。 （B ）、j -非单位向量
（C ）
、2
a = （D ）、
b a b a a
?=?2
)(
1．设},,{},,{z y x z y x b b b a a a ==。则b a ⊥的充分必要条件是 。 （A ）、z z y y x x b a b a b a ===,, （B ）、0=++z z y y x x b a b a b a （C ）、z
z y
y x
x b a b a b a == （D ）、z y x z y x b b b a a a ++=++
2．设三向量,,的模分别为3，6，7；且满足?+?+?=++则,0
= 。
（Ａ）、45 （Ｂ）、－47 （Ｃ）、42 （Ｄ）、－43
3．设平面方程为Ｂx + Cz +D = 0,且ＢＣＤ≠０，则平面 。 （Ａ）、平行于ＯＸ轴 （Ｂ）、平行于ＯＹ轴 （Ｃ）、经过ＯＹ轴 （Ｄ）、垂直于ＯＹ轴 4．曲线??
???===θθθb z a y a x sin cos 在ＸＯＹ面上的投影曲线是 。
（Ａ）
{
2
2
2
a y x z =+=（Ｂ）
{
cos 0
b
z a x z ==（Ｃ）
{
cos
b
z a y z ==（Ｄ）
{
cos
sin b z a x b
z
a y ==
三、设单位向量c b a ,,满足0=++，试证：
2
3-=?+?+?a c c b b a
。
四、设 b a b a 573-⊥+，b a b a 274-⊥-，求向量a 与b 的夹角。
五、求点)4,2,1(-A 的关于
1) 平面023=--z y x 的对称点； 2) 关于直线z y
x ==2
的对称点。
六、设直线3
9
31211:
-=
-=-z y x L ，平面0253:=--+z y x π，求 1） 直线与平面的交点坐标；
2） 直线与平面的夹角；
3） 直线在平面上的投影直线方程。
七、设平面方程π：
1=++c
z
b y a x ，证明： .若d 为原点到π的距离，则 22221
111c
b a d ++=。
八、求半径为3，且与平面0322=+++z y x 相切点)3,1,1(-A 的球面方程。
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第八章 多元函数微分学
专业 班级 姓名 学号
一、 填空题：
1.设 xy
z 3
=, 则
=??x
z
____________. 2.设 2
21
),(y x y x f +=
,则
'y f (1,3)=__________________.
3.方程式 1=++zx yz xy 确定z 是y x ,的函数,则
=??x
z
_________________. 4.设 x
e y z sin =,则
=???y
x z
2__________________. 5.设 )1ln(2
1
22y x z ++=
,则 =)1,1(dz ______________. 6.设函数 ),(y x f z =的全微分 dy y ax dx xy dz 2
2
3
2+=,则常数 =a _________________. 7.函数 3
4
3y xy x z ++=在点A(1,2)处沿从点A 到B(2,1)方向的方向导数等于____________.
8.函数 zx yz xy u ++=在点（1,2,3）处的梯度 =?)3,2,1(u _________________.
二．选择题：
1.设 ,0,0,
0,),(2
22
222
=+≠+?????+=y x y x y x xy y x f 则 ).(y x f 在点(0,0)处( ). (A) 连续，但偏导数不存在; （B ）不连续，但偏导数存在; (C ）连续，且偏导数存在; (D ）不连续，且偏导数不存在.
2.设 =z ln ),2(y
x
e e -则=??)
0,0(2
2x
z
（ ）.
(A) 1; (B) -1; (C ) 2; (D) -2. 3.设方程 0),,(=---x z z y y x F 确定z 是y x ,的函数，则
=??x
z
( ). (A) ;'3'
2'2'1F F F F -- (B ;'3'2'
1'2F F F F -- (C) ;'3'2'3'1F F F F -- (D) ;'
3
'2'1'3F F F F --
4.函数 y
x y
x z -+=
的全微分 =dz ( )． （A ）
2)()(2y x ydy xdx --； （B ）2)()
(2y x xdx ydy --；
（C ）
2)()(2y x xdy ydx --； （D ）2
)
()
(2y x ydx xdy -- 5．函数 2
3
3xy xy x z +-=在点 M(1,2) 处沿}3,11{=l
方向的方向导数（ ）． （A ）最大； （B ）最小； （C ）等于１； （D ）等于０． 6．在曲线 3
2
,,t z t y t x === 的所有切线中与平面 02=++z y x 平行的切线( ). (A)只有一条; (B)只有两条; (C)至少有三条; (D)不存在. 7.函数 2
3
2
42),(y y xy x y x f +--= 有( )个驻点.
(A) 1; (B) 2; (C) 3 ; (D) 4. 8.对于函数 22
y x z -=，原点（0，0）（ ）.
(A)是驻点但不是极值点; (B)不是驻点;
(C)是极大值点; (D)是极小值点.
三．计算题：
1.设 )ln(22y x x z ++=,求
x z ??,y
z ??.
2.求 x
y
z arctan = 的二阶偏导数.
3.设方程 042
2
2
=-++z z y x 确定z 是y x ,的函数, 求 2
2x
z
??. 4.设 222z y x r ++=
,证明当 0≠r 时
r z
r y r x r 2
22222
2=??+??+??.
5.设 ),(x y xy f z =,f 具有连续的二阶偏导数,求 x z ??,y
x z
???2.
6.求函数 x y x y x y x f 933),(2
233-++-= 的极值.
7.求球面 142
2
2
=++z y x 在点 (1,2 ) 处的切平面和法线方程.
8.要做一个容积为3
Vm 的无盖长方体水箱，问怎样选取长,宽,高，才能使得用料最省
《高等数学》单元自测题
第九章 重积分
专业 班级 姓名 学号
一、填空题
1.已知积分区域b y a x D ≤≤≤≤0,0:，则二重积分
=+??D
d y x σ)(__________________.
2.若积分区域D 是由四条直线1=+y x ，2=+y x ，0=x 及1=x 围成的闭区域，则二重积分
??D
dxdy y x f ),(化为二次积分为 _________________________.
3.交换二次积分的积分次序
=?
?
y y dx y x f dy 220
2
),(__________________________.
4.已知积分区域)0(:2
2
2
2
b a b y x a D <<≤+≤，则将二重积分??D
dxdy y x f ),(化为极坐
标形式的二次积分为___________________________. 5.将积分
dx y x dy y a a ?
?
-+220
220
)0(>a 化为极坐标形式的二次积分为
_____________________.
6.已知区域10,10,10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，则三重积分=++???Ω
dv z y x )32(
___________________. 7.已知区域Ω由)0(,0,0,22>===-=
a a z z y x x y 围成，则将三重积分
???Ω
dv z y x f ),,(化为累次积分为________________________.
8.由曲面22y x z +=与222y x z --=_______________.
二、选择题
1.已知积分区域D 是由直线1=+y x 与x 轴、y 轴围成的闭区域，则二重积分=??D
dxdy
( ).
(A)
41; （B ）2
1
; (C ）1; (D ）2. 2. 已知积分区域D 是由1,==x x y 和x 轴围成，则=??D
d y x f σ),(（ ）.
(A)
??
10
10
),(dy y x f dx ; (B) ??1
10
),(x
dy y x f dx ;
(C ) ??
x
dy y x f dx 0
10
),(; (D)
??
y
dx y x f dy 0
10
),(.
3.交换二次积分次序=?
?
x e dy y x f dx ln 0
1
),( ( ).
(A) ??y e dx y x f dy ln 01),(； (B)
?
?
y e e dx y x f dy 0
1
),(
(C)
?
?
e e y
dx y x f dy ),(10
(D)
?
?
e y
dx y x f dy ln 10
),(
4.已知??
+=D
d y x f I σ)(22，其中1:22≤+y x D ，则=I ( )．
（A ）dr r rf ?102)(； （B ）dr r rf ?1
2)(2π；
（C ）
dr r f ?
10
2)(； （D ）dr r f ?1
2)(2π.
5．已知区域4:2
2
≤+y x D ，则=??+D
y x d e
σ2
2（ ）
． （A ）
)1(2
4-e π
； （B ）)1(24-e π；
（C ）)1(4
-e π； （D ）4
e π．
6．已知积分区域Ω由曲面2
2
2y x z +=及2
2x z -=围成，则将三重积分???Ω
dv z y x f ),,(化
为累次积分为( ). (A)
dz z y x f dy dx x y x x ?
?
?-+--222222101
1),,(; (B) dz z y x f dy dx y x x x ?
?
?+---222
222101
1),,(; (C)
dz z y x f dy dx x y x x x ???
-+----22
222
22111
1
),,(; (D) dz z y x f dy dx y x x x x ?
?
?+-----2
222
2
2
2111
1
),,(.
7. 已知积分区域Ω由az y x =+2
2及222y x a z +-=围成，则将三重积分
???
Ω
dv z x
y
f ),(化为柱坐标系下的累次积分为( ). (A)
dz z f rdr d r
a a
r a ???-20
20
2
),(tan θθπ; (B) dz z f dr d r
a a
r a ???
-20
20
2
),(tan θθπ;
(C)
dz z f rdr d a r r
a a
?
??
-220
20
),(tan θθπ; (D) dz z f dr d a r r
a a
?
??
-220
20
),(tan θθπ.
8. 已知积分区域Ω：412
2
2
≤++≤z y x ，则将三重积分???Ω
++dv z y x
f )(222
化为球坐
标系下的累次积分为( ). (A) dr r f d d ?
??21
2
20)(ππ?θ; (B)
dr r f d d ???
2
1
20
20)(sin ππ??θ;
(C)
dr r r f d d ???
21
20
20
)(sin π
π??θ; (D) dr r r f d d 22
1
20
20
)(sin ???
ππ??θ
1.计算σd y x D
??32，其中积分区域D 是由曲线x y x y ==,1
与直线4=x 围成的闭区域. 2.计算 dxdy y x y x D
??
++2
222)
sin(π，其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.
3. 计算 dxdy e D
y ??2
，其中积分区域D 是由直线x y =，1=y 及y 轴所围成的闭区域。
1.计算三重积分???
Ω
dxdydz
x2,
e所围成的闭区域.
2.
,
2
2y
x
z+
=与平面4
=
z所围成的闭区域.
五、求由平面1
,0
,0=
+
=
=y
x
y
x所围成的柱体被平面0
=
z及抛物面2
2
6y
x
z-
-
=所截得的立体的体积
《高等数学》单元自测题
第十章 曲线积分、曲面积分
专业 班级 姓名 学号
一、计算下列曲线积分： 1. 设L 为单位圆周的上半部分,求?+L
y x ds e
2
2.
2. 计算?L
xyds ,其中L 为由x 轴,单位圆,y 轴围成第一象限扇形的整个边界.
3. 计算ds z y x ?Γ++2
221,其中Γ为曲线t
t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上相应于0变到1这段弧.
4. 计算
dy x y dx y x L
)()(-++?,其中L 为
(1)抛物线x y =2
上从点)1,1(到点)2,4(的一段弧; (2)从点)1,1(到点)2,4(的直线段;
(3)先沿直线从)1,1(到)2,1(再沿直线到)2,4(的折线.
5. 利用格林公式计算dy y x dx x xy L
)()2(22++-?
,其中L 是由曲线2x y =及x y =2所围
成的正向的边界.
6. 求dy e x dx ye L x
x
?+++)()1(,其中L 为沿着椭圆122
22=+b
y a x 的上半周由)0,(a A 到
)0,(a B -.
7. 证明曲线积分
dy y x dx y x L
)()(-++?在整个xoy 平面上与路经无关,并计算
dy y x dx y x )()()
3,2()
1,1(-++?
的值.
二、计算下列曲面积分
1. 计算
dS y x ??
∑
+)(2
2，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面.
2. 计算
dS zx yz xy ??
∑
++)(,其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 22
2=+所截得的有限部分.
3. 计算
yzdzdx xydydz xzdxdy ??∑
++,其中∑是由平面1=++z y x ,,0.0==y x 及
0=z 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
4. 利用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x 333??∑
++,其中∑为球面2222
a z y x
=++的外
侧.
5. 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整
个边界的外侧,求??∑
++zdxdy ydzdx xdydz .
《高等数学》单元自测题
第十一章 无穷级数
专业 班级 姓名 学号
一、选择题：
1、若极限lim 0n n u →∞
≠， 则级数
1
n
n u
∞
=∑ ( )
A 、 收敛；
B 、 发散；
C 、条件收敛；
D 、绝对收敛。
2、 下列级数发散的是 （ ）
A 、
n n n 1)
1(1
1
∑∞
=--； B 、)111()1(11++-∑∞=-n n n n ； C 、n n n 1)1(1∑∞=-；D 、)1(1
n n ∑∞
=-。 3、 下列级数绝对收敛的是（ ）
A 、
∑∞
=-2
)1(n n
n
n
； B 、
n
n n 1
)
1(21
∑∞
=--； C 、 ∑∞
=-1
ln )1(n n
n ； D 、 ∑
∞
=--2
3
2
1
)1(n n n
。
4、下列级数收敛的是（ ）
A 、
∑∞
=+1)1
l n (1
n n ； B 、 ∑∞
=+-1)
1ln()1(n n
n ； C 、 ∑∞
=+-1
12)1(n n
n n
； D 、 ∑∞
=+1
12n n n
。
5、下列级数中条件收敛的是（ ）
A 、
∑∞=??? ??-132)1(n n
n ；B 、∑∞
=--1
1
)1(n n n ； C 、
∑∞
=-+-1
1
12)
1(n n n n ；D 、∑∞
=--131
51)1(n n n
。
6、如果级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则下列结论不成立的是（ ）
A 、 l i m
0n n u →∞
= ； B 、 1
n
n u
∞
=∑ 收敛；
C 、
1
(n
n k u
k ∞
=∑为常数）收敛； D 、2121
()n n n u u ∞
-=+∑ 收敛。
7
、交错级数
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑（ ）
A 、 绝对收敛；
B 、发散；
C 、条件收敛；
D 、敛散性不能判定。
8、设幂级数
1
n
n n a x
∞
=∑在2x =处收敛，则在1x =-处（ ）
A 、 绝对收敛；
B 、发散；
C 、条件收敛；
D 、敛散性不能判定。
9、函数2
2()x f x x e =在(,)-∞+∞内展成x 的幂级数是（ ）
A 、 21
1
(1)
(21)!n n n x n -∞
=--∑； B 、 2
1
!n n x n +∞=∑； C 、 2(1)1!n n x n +∞
=∑ ； D 、21!n
n x n ∞
=∑。 二、 填空题：
1、函数2
1
1x
+的幂级数展开式是____ ____。 2、幂级数
1
1
(1)
n
n n x n
∞
-=-∑在(1,1]-上的和函数是_______ ____。 3、幂级数1
(3)3n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为___ ________。 4、函数()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为
0()(0),0x f x k k
x ππ
-≤
≤
______ _____。
三、 判断以下正项级数收敛或发散：（要写出详细的判断过程） 1．∑
∞
=+121
n n
n 2．()
∑∞
=++133
2n n n n
3．n
n n n ∑∞
=??? ?
?+113
4．()∑∞
=-+1
21n n
n
n
四、 判断以下任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛：（要写
出详细的判断过程） 1．()
∑∞
=---11
1
2
1n n n n
2． ++-+++-1
4413312221222
五、 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 1. ∑
∞
=1
3n n n x n
2．()∑∞
=-1
1n n n
n
n x ；
3．∑∞
=1!n n x n ；
六、 将函数()x x f 2-=，()ππ≤≤-x 在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数。
七、 将函数()???
????
≤≤-≤≤=l
x l x l l x x x f 2,2
0,分别展开成正弦级数和余弦级数。