§3.1.1 两角差的余弦公式导学案

利川市第五中学数学导学案

§3.1.1 两角和与差的余弦、正弦公式

【课程学习目标】：

1. 知识与技能：理解向量法推导两角差的余弦公式，并能初步应用解决问题.

2. 过程与方法：应用)(βα-C 求三角函数值.

3. 情感、态度与价值观：培养探索和创新能力.

【教学重难点】：

1. 重点：两角差的余弦公式的应用.

2. 难点：两角差的余弦公式的推导.

【课时】：2

自主学习过程 一、知识链接，忆旧迎新

1.回顾三角函数的定义

如图，已知任意角α的终边与单位圆交于点),(y x P ，则

若1==r OP ，则=αs i n ，=αcos .反过来P （ ， ）.

若r OP =，则=αsin ，=αcos .反过来P （ ， ）.

2.平面向量数量积的性质：若),(11y x a =，),(22y x b =

则=?b a =

二、读教材，理要点

1.两角差的余弦公式的推导（向量法）

设 βα,的终边分别与单位圆交于点Q P ,. 则=OP ,=OQ .

=?OQ OP .（数量积的坐标运算）①

上课时间： 学生姓名：

又OQ OP ,的夹角=θ （用βα,表示），=OP ,=OQ . 则又可以得到=?OQ OP .（数量积的定义）② 所以，由①②得到

2.两角差的余弦公式

)(βα-C ：=-)cos(βα .其中βα,是 角. 三、疑点探究

问题1：βαβαcos cos )cos(-=-成立一定吗？是否存在βα,，使得它成立？

问题2： 45和 30都是特殊角，那么 15与 45和 30有什么关系？你能求出 15的三角函数值吗？ 75呢

结论：= 15cos ，= 15sin ， = 75cos ，= 75sin .

问题3：试试应用)(βα-C 公式证明我们学过的诱导公式ααπsin )2cos(

=-！

四、典型例题 例1已知54sin =

α，),2(ππα∈，13

5cos -=β，β是第三象限角，求)cos(βα-.

例2.求（1） 45sin 15sin 15cos 45cos + （2） 50cos 20cos 70cos 40cos +

例3.求 140cos 100cos 20cos ++的值

五、拓展提高 例4.（1）已知54)4sin(=+π

α，且4

34παπ<<，求αcos . （2）已知βα,都是锐角，71cos =

α，1435)sin(=+βα，求角β的值.

思想方法：公式中的βα,不仅可以使任意具体的角，也可以使一个团体，注意将所要求的角用已知的角来表示，如4)4(π

π

αα-+=，αβαβ-+=)(，2

2)(βαβαβ--+=等，公式的应用要讲究一个活字，即正用，逆用，变形使用，没有条件创造条件，一定要找到角与角的关系，团体与团体的关系.

例5.已知βα,是锐角，且2

3cos cos =-βα，21sin sin -=-βα，求βα-.

六、小结

1.两角差的余弦公式

)(βα-C ：=-)cos(βα .其中βα,是 角

2.思想方法：注意公式的灵活应用，正用，逆用，变形使用，一定要找到角与角的关系，团体与团体的关系.把未知角用已知角来表示.

七、作业布置