人工肾的模型数学建模考试小论文(大学开放性作业)

人体中的数学——人工肾模型

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摘要

本文将从分析人体肾脏的功能出发，模仿人体肾的机理建立理想化的人工肾模型。

本模型主要用到了微分方程模型的建模方法，分析了血液中废物浓度的变化，单位时间内人工肾带走的血液中的废物量，最后得出了人工肾性能指标——清除率的模型。

从本模型可以看出数学是贯穿于其它学科的一门重要工具学科。

关键词：生理学，肾，人工肾，微分方程模型

一、引言

肾脏是机体主要的排泄器官。通过尿的生成和排出，肾脏实现排出机体代谢终产物以及进入机体过剩的物质和异物，调节水和电解质平衡，调节体液渗透压，体液量和电解质浓度，以及调节酸碱平衡等功能。

肾清除率是人体肾脏的重要性能指标之一。肾清除率是指两肾在单位时间(一般指每分钟)内能将多少毫升血浆中所含的某一物质完全清除，这个被完全清除了该物质的血浆的毫升数就称为该物质的清除率。不同物质从血浆中被清除提供了一个定量性衡量肾功能的方法，测定肾清除率可用于肾小球滤过率和肾血浆流量的测定以及对肾小管功能进行评估。

肾清除率的计算方法有：U×V=P×C

C=(U×V)/P

上两式中的符号说明如下：

U：尿中某物质的浓度(mg/100ml)

V：每分钟尿量(ml/min)

P：血浆中某物质的浓度(mg/100ml)

C：清除率

测定清除率的意义有：

测定肾小球滤过率

测定肾血流量

推测肾小管的功能

模仿人体肾的机理可以建立理想化的人工肾模型。

二、模型

（一）问题的化简和假设

为了简化问题，我在建立人工肾时只考虑肾清除率一项性能指标，并设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。

（二）模型的建立

人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通，如图１所示，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾。

图１

设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比，人工肾总长ｌ，建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。 以血液流动方向为正方向建立坐标ｘ，如图2所示：

图2

本模型中的主要符号说明为： 人工肾总长——ｌ

血液中废物浓度——ｕ（ｘ） 人工肾中废物浓度——ｖ（ｘ）

x

x+△

x

人工肾

薄膜

液体流动方向

血液中液体流动的速度——k u

人工肾中液体流动的速度——k v 。

单位时间内人工肾带走的血液中的废物量——Q 人工肾的清除率——I

三、分析

（一）血液中废物浓度的变化

考察(x,x+△x)血液中废物浓度的变化，得

u k u(x)=λ[u(x)-v(x)]dx+u k u(x+dx),于是u

k dx

du =-λ（u-v ），λ>0。

同理，u k dx

dv =-λ（u-v ），边界条件为u （0）=0u ，v （l ）=0，可解得

u(x)= 0

u v

l

u x

v l

u k e k e

k e k -----ααα

v(x)=0u

v

l

u x

u l

u k e

k e

k e

k -----ααα

其中α=λ（

u

k 1-

v

k 1）

将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑：

血液中废物浓度ｕ（0）相当于人体血浆中某物质的浓度P

（二）单位时间内人工肾带走的血液中的废物量

单位时间内人工肾带走的血液中的废物量为：

Q =?-l

v u 0)(λdx

=-u

k dx dx

du l

?

=u k [0u -u(l)] =l

v

u l

u

e

k k e k u αα---

-110

将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑：

单位时间内人工肾带走的血液中的废物量Q 相当于人体尿中某物质的浓度U 与每分钟尿量V 的乘积，即U ×V

（三）人工肾性能指标——清除率

表示人工肾性能的指标——清除率I 定义为 I =

u Q

=

0011u e

k k e k u l

v

u l

u

αα---

-

= l

v

u l

u

e

k k e k αα---

-11

将人工肾模型结合人体肾脏的实际情况考虑：

人工肾的清除率I 相当于人体肾清除率C=(U ×V)/P 把U ×V=Q ， P=0u 代入人体肾清除率的计算公式得： C=

u Q =I

证明这个人工肾的微分方程模型正确。

四、结论

这个模型的建立和求解过程用到了微分方程的建模方法。当我们描述实际对象的某些特性随时间或空间而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。本文建立的人工肾模型，大致就是这个过程。

五、进一步的探讨

肾脏除了肾清除率，还有其它重要的性能指标，比如肾血流量、肾小球滤过率、肾小球

有效滤过压等。为了建立更完善的人工肾模型，可以在建模时把这些因素都考虑在内，可以用微分方程建模思想和层次分析建模思想相结合，建立更复杂实用的数学模型。由于时间有限，在此不再作进一步的探讨。

五、参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型（第三版）》，高等教育出版社，北京，2003.

[2]姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型（第三版）》习题参考解答，高等教育出版社，北京，2003.

[3]姚泰、吴博威，《生理学》，人民卫生出版社，北京，2006