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数论选讲4

数论选讲4
数论选讲4

数论试题选讲

1.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n.

2.设n是正整数,且4n2+17n-15表示两个相邻正整数的积,求所有这样的n的值.

3.设p是给定的奇质数,正整数k使得k2-pk 也是一个正整数,求正整数k.

4.在一列数1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,若相邻若干个数之和能被11整

除,则这些数组成一个数组,这样的数组共有_________个.

5.已知a、b、c为正整数,且3a+b

3b+c

是有理数.证明:

a2+b2+c2

a+b+c是整数.

6.证明:不存在正整数n,使得2n2+1,3n2+1,6n2+1全都是完全平方数.

7.将268个数放在一个圆周上,任意连续的20个数的和为75,且放在第17号位置的数

是3,第83号位置的数是4,第144号位置的数是9,则放在第210号位置的数是几.

8.求使(a3+b) (a+b3)= (a+b)4成立的所有整数对(a,b).

【练习】

1.一组相邻的正整数,其中任何一个都不能被大于1的奇数的立方所整除,则这组数最多有_______个.

2.按如下的规则构造数列1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,…,从第五个数字开始,每1个数字是前4个数字的和的末位数字.问

(1)数字2,0,0,4会出现在所构造的数列中吗?

(2)开头的数字1,2,3,4会出现在所构造的数列中吗?

3.求所有多于两位的正整数,使得每一对相邻数字构成一个整数的平方.

4.证明:任意五个相邻的正整数的平方和不是一个正整数的平方.

数论试题选讲

9.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n.

解答:设n=mk,k∈N+.则m(7+3k)=22004×52004.令7+3k=2u×5v,u、v∈N.

因为上式两边模3同余,所以,u、v奇偶性相同,故k可取10032+10022-2个值(不包括(u,

v)=(0,0)或(2,0)).所以(m,n)=

2004

10

(,)

73

mk

k

+

,有10032+10022-2=2010 011个解.

10.设n是正整数,且4n2+17n-15表示两个相邻正整数的积,求所有这样的n的值.

解答设4n2+17n-15=(2n+k)( 2n+k+1)=4n2+2n(2k+1)+k(k+1).∴n=

215 154

k k

k

++

-

当k=0时,n=1;当k=1时,n不为整数;当k=2时,n=3;当k=3时,n=9.当k>3时n<0.

当k<0时,由2n+k≥1,知n≥1

2

k

-

,此时15-4k>0,

215

154

k k

k

++

-

1

2

k

-

∴2k2+2k+30≥15-19k+4k2.?2k2-21k-15≤0无负整数满足此式.∴只有3个值.

11.设p是给定的奇质数,正整数k使得k2-pk 也是一个正整数,求正整数k.

分析k2-pk 是一个正整数,即k2-pk是一个完全平方数.为了配方,考虑4(k2-pk)是一个完全平方数,从而可以得到勾股方程.

解由题k2-pk 是一个正整数,则k2-pk是一个完全平方数,

设k2-pk=m2,m∈N*,则4(k2-pk)= 4m2,

∴(2k-p) 2=p2+ 4m2,∴(2k-p) 2-4m2 = p2,∴(2k-p-2m)(2k-p+2m)= p2,(2k-p)

∵(2k-p+2m)>0,(2k-p-2m)<(2k-p+2m),且p是给定的奇质数,

∴2k-p-2m=1且2k-p+2m= p2,∴4k-2p=1+ p2,即4k=(1+p)2,

由于k>0,∴2k=1+ p,k= 1+p

2∈N*.

说明本题中,p是已知数,k是未知数,所求的是用p表示出k.借助m=k2-pk列出不定方程,其中不定方程可以转化为未知数的平方差型,于是问题可解.

12.在一列数1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,若相邻若干个数之和能被11整

除,则这些数组成一个数组,这样的数组共有_________个.

分析若干个数的和被11整除,只要考虑这些数模11的剩余的和被11整除即可,为了计算简单,这些剩余的绝对值应该尽量的小.

解答7个.把各项先减去11的倍数,使数字变小易于计算.

由此有如下数列:1,4,-3,-1,5,-3,-1,3,-3,-1.

设其前n项之和为S n,则S1=1,S2=5,S3=2,S4=1,S5=6,S6=3,S7=2,S8=5,S9=2,S10=1.其中相等的有S1=S4=S10=1,S2=S8=5,S3=S7=S9=2,这样有7组差S4―S1,S10―S1,S10―S4,S8―S2,S7―S3,S9―S7,S9―S3为0,即共有7组能被11整除.

13.已知a、b、c为正整数,且3a+b

3b+c

是有理数.证明:

a2+b2+c2

a+b+c是整数.

分析3a+b

3b+c

是有理数,其中隐含着正整数a、b、c的关系,找出a、b、c的关系,进一步推

出a+b+c是a2+b2+c2的约数.

证明因为3为无理数,故, 3b-c≠0,于是

3a+b 3b+c =

(3a+b)(3b-c)

3b2-c2

=

3ab-bc+3(b2-ac)

3b2-c2

上式表示有理数,则有b2-ac=0.

从而a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca=(a+b+c)2-2(ab+bc+b2)=(a+b+c) (a-b+c).

故a2+b2+c2

a+b+c= a-b+c∈Z.

说明3a+b

3b+c

是有理数,其分子、分母中的无理数3应该可以约去,注意到a、b、c为正整

数,有a

b =

b

c 即可,也即b

2=ac.

14.证明:不存在正整数n,使得2n2+1,3n2+1,6n2+1全都是完全平方数.

证明若题中结论不真,那么,此三数均为完全平方数,则三个数的积(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)=36n6+36n4+11n2+1是完全平方数.

∴36n2(6n2+1)(4n2+1)(2n2+1)是完全平方数,

即36n2(6n2+1)(4n2+1)(2n2+1)= 36n2 (36n6+36n4+11n2+1)

=36n2 [9n2(2n2+1)2+2n2+1] = (18n2)2(2n2+1)2+36n2(2n2+1)

=(36n4+18n2+1)2-1是完全平方数.

(36n4+18n2+1)2是完全平方数,(36n4+18n2+1)2-1也是完全平方数,两个正整数的平方相差1,这是不可能的.所以题中结论成立.

15. 将268个数放在一个圆周上,任意连续的20个数的和为75,且放在第17号位置的数

是3,第83号位置的数是4,第144号位置的数是9,则放在第210号位置的数是几. 解答:由题,在268以内,20是周期,与210号位同值的号为:230,250;2(270),

由x≡268k+2≡8k+2,(mod20)

则x≡2≡10≡18≡6≡14≡8k+2(mod20)

同理, 由x≡268k+17,(mod20),则x≡17≡5≡13≡1≡9,(mod20)

由x≡268k+83,(mod20),则x≡3≡11≡19≡7≡15,(mod20)

由x≡268k+144,(mod20),则x≡4≡12≡20≡8≡16,(mod20)

于是5(3+4+9+x)=75,所以x =-6.

16. 求使(a 3+b) (a+b 3)= (a+b)4成立的所有整数对(a,b ).

解答 注意到(a 3+b) (a+b 3)= (a+b)4

?a 4+a 3b 3+ab+b 4= a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4?a 3b 3+2a 2b 2+ab=4a 3b+8a 2b 2+4ab 3

?ab(ab+1)=4ab(a+b)2?ab[(ab+1)2﹣4(a+b)2]=0成立.

因此,(a,0)和(0,b )是给定方程的解,a 、b ∈Z.

另外的解必须使得(ab+1)2﹣4(a+b)2=0成立.

因为(ab+1)2﹣4(a+b)2=0即ab+1=±2(a+b),分两种情况讨论.

如果ab+1=2(a+b),则有(a-2)(b-2)=3于是,有

2321a b -=??-=?,或2123a b -=??-=?,或2321a b -=-??-=-?

,或2123a b -=-??-=-?. 分别解得

a=5,b=3;a=3,b=5; a=﹣1,b=1; a=1,b=﹣1.

如果ab+1=﹣2(a+b),则有(a+2)(b+2)=3

类似地,解得 a=1,b=﹣1;a=﹣1,b=1; a=﹣5,b=﹣3; a=﹣3,b=﹣5

【练习】

1.一组相邻的正整数,其中任何一个都不能被大于1的奇数的立方所整除,则这组数最多有_______个.

Ans 26.

2.按如下的规则构造数列1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,…,从第五个数字开始,每1个数字是前4个数字的和的末位数字.问

(1)数字2,0,0,4会出现在所构造的数列中吗?

(2)开头的数字1,2,3,4会出现在所构造的数列中吗?

Ans (1)在数列中用P代表一个偶数字,用N代表一个奇数字.于是,所给的数列相当于N,P,N,P,P,N,P,N,P,P,…,注意到此数列是以5为周期重复的排列.此外,在任何四个依次相连的数字中至少有一个是奇数.而数字2,0,0,4都是偶数,因此,他们不可能出现在所构造的数列中.

(2)因为数列中连续四个数字是情况是有限的(少于10000),所以,数列必然在有限项后按周期排列.显然,数列能从任意连续四个数字向前或向后延伸.因此,数列从后向前也以周期排列.故1,2,3,4必定周期性出现.

3.求所有多于两位的正整数,使得每一对相邻数字构成一个整数的平方.

Ans 易得,正整数的平方是两位的有:16,25,36,49,64,81.

注意到,从给出数字开始至多有1个两位平方,因此,在第一个两位数被选定后,所求数的余下部分被惟一地确定.因为没有以5或9 开始的两位的平方数,所以,所求的数不能以25或49开始.

而由16得164,1 649;

由36得364,3 649;

由64得649;

由81得816,8 164 ,81 649.

因此,满足条件的数为164,1649,364,3649,649,816,8164 ,81649.

4.证明:任意五个相邻的正整数的平方和不是一个正整数的平方.

Ans 记5个相邻正整数分别为n-2,n-1,n,n+1,n+2,它们的平方和等于(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5(n2+2),显然能被5整除.故只有当它能被25整除,即n2+2 能被5整除,它才能是一个正整数的平方.但平方数n2除以5不能得到余数3.

六年级奥数数论质数合数约数倍数ABC级学生版

质数合数、约数倍数 知识框架 一、质数与合数 一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,再不能被其他自然数整除,那么它就叫做质数(也叫做素数)。 一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,还能被其他自然数整除,那么它就叫做合数。 要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。 质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。 常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个; 除了2其余的质数都是奇数; 除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9. 考点:⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路,需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数),使得q能够整除p,那么p就不是质数,所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大,对于不太大的p,2K,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除p的平方数p,我们可以先找一个大于且接近如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如:149很接近,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除,所以149是1212?144? 质数. 常用质数整理:101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017. 三、约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数; (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”; (3)最大公约数:公约数中最大的一个就是最大公约数; 被排除在约数与倍数之外(4)0. 求最大公约数的方法1. 分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.?

关于数论函数方程

关于数论函数方程() ()2 S n n ?= 李宋宋 (安徽师范大学 安徽芜湖 241000) 摘要:对于任给的正整数n ,()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数,本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法,对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。 关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程 On the Arithmetic Functional Equation ()()2S n n ?= Abstract: For any given positive integer n, ()n ? and ()S n are Euler function and Smarandache function respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ?=and finally given the expression and the discriminants of solution. Keywords: Euler function ;Smarandache function ;factorial ;Fermat number ;equations 1 引言 对于任意正整数n ,设()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ?表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得 |!n m ,即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈. ()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一 个十分引人关注的研究课题[1] .关于这两个 函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研 究的对象[2]-[4] , 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t n S n ?=的相关性质和求解过程,并且在很多学者努力下,此类型方程的求解结果已经很完善;文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ω?=的解.在诸多文章和结果的启发下,本文提出了一类数论方程 ()()2S n n ?=的求解问题,并通过分类讨论的 方法,在现有的五个费马素数的基础上得到 了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面: 定理 对于任给的正整数n ,()n ?和 ()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函 数,若n 为数论方程() ()2 S n n ?=的解,则n 的标准分解式为: 1 2m s n p p =, 1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中 22 1k i i p =+,{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=, m 满足: (1)当1s =时,1121k m p =-+, 1{23,4}k ∈,,或者m 满足不等式组:

六年级数论综合(20200513200231)

六年级第8讲数论综合(一) 【兴趣篇】 4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别 划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24)。已知这些两位数中一个是5的倍数,另一个是6的倍数,还有一个是7的倍数,原来的三位数是多少【分析与解】一个是5的倍数, 各4位数字均不为0,所以三位数中一定有一个是5。能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95,能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。经试得满足条件的三位数 是656。 6.一个自然数N共有9个约数,而N—1共有8个约数。满足条件的自然数中,最小的和 第二小的分别是多少 【分析与解】N要约数为9。N分解质因数指数必定是2与2,N—1要约数为8,N—1分解质因数指数必定是1、1与1,N要最小,所以从2的2次乘3的3次,可是,N—1不符合,经试,只有196才符合,用同样的方法,得到第二小的是256。 10.信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知 道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件: ①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同; ②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数; ③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数. 你能破解此密文吗 【分析与解】由①得,A不能为3、7,B不能为4、8,C不能为2、1,21C÷12,当C 为5时,余数是11,当C为8时,余数是2,当C为9时,余数是3,其它的不符合。 8B4÷12,当B为5时,余数是2,其它的不符合,所B只能是5, C只能是9。B、C是奇数,所以A只能是是偶数,A37÷12,有且只当A是4时,余数是5。 密文:A37|8B4|21C为437 854 219。 【拓展篇】 8.一个合数,其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数. 【分析与解】一个合数,其最大的两个约数之和为1164,这两个数之间可以是两倍、三倍、或11倍的关系,这样1164除去3乘2得第一个合数776,1164除去4乘3得第二个合数873,1164除去12乘11得第三个合数1067。所有满足要求的合数是776、873、1067。

初等数论知识点汇总

第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们发明了进位制,这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现,比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ,其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ,则此数可以简记为:021a a a A m m (其中01 m a )。 由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A 可以表示成10的1 m 次多项式,即 012211101010a a a a A m m m m ,其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且 01 m a ,像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常 生活中,通常将下标10省略不写,并且连括号也不用,记作021a a a A m m ,以后我们所讲述的数字,若没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用0与1这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性,我们给出正整数A 的p 进制表示: 012211a p a p a p a A m m m m ,其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字,简记为p m m a a a A )(021 。 第二节 整数的性质及其应用(1) 基础知识 整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1.整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。 定义:设b a ,是给定的数,0 b ,若存在整数c ,使得bc a 则称b 整除a ,记作a b |,并称b 是a 的一个约数(因子),称a 是b 的一个倍数,如果不存在上述c ,则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义,容易推出以下性质: (1)若c b |且a c |,则a b |(传递性质);

有关数论函数的一些问题

有关数论函数的一些问题 题目:有关数论函数的一些问题研究生:任荣珍 任课教师:杨海 学科专业:应用数学 学号:2014081034 学院:理学院 时间:2015年1月2日

有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”. 数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置. 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义: 对任意的正整数2n ≥, ()n ?是由满足如下条件的整数数组 12(,,...,)s a a a 所构成的集合: (1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =; (2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =; (3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤. 定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈? 设1 i k a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同 素因子的个数.

数论函数与拓扑

数论函数与拓扑 摘要:自然数的诸多性质,由各种各样的数论函数来描述。有些数论函数之间存在着数量关系,可以看作数论研究领域的一种拓扑现象。 关键词:数论函数,拓扑 若干例子 1,不超过N的,孪生素数个数R2(N)与素数个数π(N)之间的关系 R2(N)=c1 N [π(N)]2 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c1是正常数。 2,偶数N表为两个奇素数之和的表法个数r2(N),与不超过N的素数个数π(N)之间的关系 r2(N)=c2 N [π(N)]2 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c2是正常数。 3,不超过偶数N的孪生素数个数R2(N),与表N为两个奇素数之和的表法r2(N)之间的关系 R2(N)=c3[r2(N)] 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c3是正常数。 4,不超过N的,多连生素数组的个数R k(N),与素数个数π(N)之间的关系 R x(N)=c x[π(N)]m 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c x是正常数。 等等。 诸多数论函数之间往往存在着某种数量关系。 耐人寻味,值得研究。

参考资料: 1 初等数论:潘承洞,潘承彪著1997.6 月北京大学出版社 2 组合数学:屈婉玲著1997.9 月北京大学出版社 3 王元论哥德巴赫猜想李文林著1999.9 月山东大学出版社 4 数学与猜想G.玻利维亚2001.7 月科学出版社 5 数论导引哈代著2008.10 月人民邮电出版社 6 华罗庚文集2010.5 月科学出版社 7 代数数论冯克勤著2000.7 月科学出版社

六年级奥数 数论综合(三)

数论综合(三)约数倍数 姓名:日期:成绩: 1.从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个?只有3个约数的数有几个?2.360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少? 3.把自然数A的所有约数两两求和,又得到若干个自然数,在这些数中,最小的是3,最大的是240。A等于多少? 4.所有8个不同约数的自然数中,最小的一个是多少? 5.100以内只有10个不同约数的自然数有哪些? 6.有一个自然数,它有4个不同的质因数,且有32个约数,其中一个质因数是两位数,当这个质因数尽可能大时,这个自然数最小是多少?

7.a、b两均只含有因数3和5,且a有12个约数,b有10个约数,(a、b)=75,那a、b 两数之差是多少? 8.自然数N,它们被5和49整除,并且共有10个约数,求N。 9.有50盏灯排成一排,按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50,每盏灯开始都是亮着的;有50个人,第一个人走过来,凡是1的倍数的灯按一下,接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下,……,一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下,最后不亮的灯分别是哪几盏? 10.有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说:“这个数能被3整除”,以此下去至15号说:“这个数能被15整除”,1号作了一一验证,只有编号连续的两位同学说得不对,其余都对,问:①说得不对的两位同学,它们的编号是哪两个连续的数?②如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出此五位数。③如果告诉你,1号写的数是六位数,请求出最小的六位数。 11.筐里共有96个苹果,如果不一次全拿出,也不一个个地拿;要求每次拿出的个数同样多,拿完时又正好不多不少,有多少种不同的拿法? 12.筐中有120个苹果,将它们全部都取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,有多少种分法?

六年级奥数最详细全面-数论教师版

六年级奥数最详细全面-数论教师版

数论 数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 专题回顾 【例 1】一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数. 【分析】现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手. 5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可 能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这

样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989. 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数,若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数,CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识,因为AB 是一个质数,所以 B 不能为偶数,且同时B C 是一个完全平方数,则符合条件的数仅为16、36,当1B =时,满足AB 是一个质数的数有11,31,41,61,71,时,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有3163符合; 当3B =,满足AB 是一个质数的数有13,23,43,53, 73,83,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为 1的完全平方数之积,只有8368符合. 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???,若a 、b 、c 、d 都分解质因数 专题精讲

(完整)小学六年级奥数基础知识——数论

行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 (1)一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。 (2)自然数除0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。 (3)最小的质数是2 ,2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数; 最小的合数是4。 (4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5),可能是一个质数和一个合数(3和4),可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。 (5)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 (6)100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97. 注意:两个质数中差为1的只有3-2 ;除2外,任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 (1)概念 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合 知识点精讲 特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征: 2) 能被5整除的数的特征: 3) 能被4 (或25)整除的数的特征: 4) 能被8 (或125)整除的数的特征: 2. 数字求和法: 3. 99的整除特性: 4. 奇偶位求差法: 5. 三位截断法: 特别地:7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题 技巧:1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数,利用竖式解决。 三、质数合数 1. 基本定义 【质数】一一 【合数】一一 注:自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一 【分解质因数】一一 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式:N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数,且

a 1

【互质数】 【偶数】 【奇数】 2. 质数重要性质 1)100以内有25个质数: 2)除了2和5,其余的质数个位数字只能是: 3)1既不是质数,也不是合数 4)在质数中只有2是偶数,其他质数都是奇数 5)最小的质数是2?最小的奇质数是3 6)有无限多个 3. 质数的判断: 1)定义法:判断整除性 2)熟记100以内的质数 3)平方判断法: 例如:对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011,即可叛断出2011为质数.

4. 合数 1)无限多个 2)最小的合数是4 3)每个合数至少有三个约数 5. 互质数 1)什么样的两个数- -定是互质数? 注意:分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成:3 7=21. 6. 偶数和奇数 1) 2) 偶数;个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3) 4) 数是他们乘积的一半 5)?因此,要分解的合数应写在等号左边,如: 0属于偶数 十进制中,个位数字是0,2,4,6,8的数是 除2外所有的正偶数均为合数 相邻偶数的最大公约数为2,最小公倍 奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇

六年级下册数学试题- 数论特殊数博览会(ABC级)(解析版)全国通用

1. 特殊数的尾数特征 2. 位值原理的综合运用 3. 约数倍数之间的关系 特殊数是竞赛中经常遇到的,这些题目中我们要注意认真读题,仔细思考。 【例 1】 下面两个算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字. ?=美妙数学数数妙,美+妙数学=妙数数。=美妙数学___________ 【巩固】 北京有一家餐馆,店号“天然居”,里面有一副著名对联:客上天然居,居然天上客。巧的很, 这副对联恰好能构成一个乘法算式(见右上式)。相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。“天然居”表示成三位数是_______。 ×客 上天然居4 居 然天上客知识框架 重难点 例题精讲 特殊数博览会

【例 2】 如图所示的乘法竖式中,“学而思杯”分别代表0~9 中的一个数字,相同的汉字代表相同的数 字,不同的汉字代表不同的数字,那么“学而思杯”代表的数字分别为________ ?学而思杯学而思杯 【巩固】 如图,不同的汉字代表不同的数字,其中“变”为1,3,5,7,9,11,13这七个数的平均数, 那么“学习改变命运”代表的多位数是 . 1999998 ?学习改变命运 变 【例 3】 右图是一个分数等式:等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8和9,不同的汉字代表 不同的数字,如果“北”和“京”分别代表1和9,请写出“奥运会”所代表的所有三位整数,并且说明理由。=北奥运会京心想事成

【巩固】右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个,每个“偶”字代表0、2、4、6、8中的一个,为使算式成立,求出它们所代表的值。 0偶偶奇 奇 奇 偶 偶 偶偶 偶 偶 偶偶

六年级上数论综合测试题

第一章综合测试题 1:a=2x3^2x5,则a的因素有_________________个。 2:已知两个数的和为128,他们的最大公因数为16,则这两个数分别是_____________。 3:10:若素数a和b满足3a+7b=23,则a+b=________. 4:已知两个自然数的乘积是455,他们的自大公因数是13,那么这两个自然数分别是__________。 5:能被36整除的数一定是下面()的倍数 A:18 B:72 C:16 D:32 6:学校买了18台电脑,不料发票被墨水弄污了,单价只剩下一个数字,变成了()4()()元,甚至总价也不完整,只剩下9()22()元,请你帮助学校把单价和总价计算出来。 7:在100以内的两位素数中,找出所有这样的素数,个位和十位对调后仍然是素数的数有哪些? 8:有四个人,他们的年龄一个比一个小一岁,他们的年龄的成绩等于73440,求着四个人的年龄。 9:三个素数的乘积恰好等于他们的和的23倍,你能求出至少一组这样的素数吗? 10:若质数m,n满足5m+7n=129,求m+n的值。(需要推理过程哦)

第一章测试A卷 1:被3除余数为2,被5除余3,被7除余4的最小正整数是_________。2:一个不等于1的整数,它除967,1000,2001得到相同的余数,那么这个整数是___________。 3:如果两个数被3除都余2,他们的积被3除,余数是_________。4:一个正整数被7除余2,被6除余5,这个正整数的最小值是___________。 5:71427与19的积被7除,余数是___________。 6:除以6所得的商和余数相同的约数是___________。 7:在1992后面补上三个数字,组成一个7位数,使它分别能被2、3、5、11整除,这个七位数最小是________________。 8:要是六位数15ABC6能被36整除,而且所得的商最小,ABC本别是__________. 9:有0、1、4、7、9五个数字,从中选四个数字组成一个四位数(例如1409),其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末尾数字是_________. 10:在五位数中,能被11整出且各位数字之和等于43,这样的数都有哪些?

六年级奥数_数论教师版

数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密, 但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 【例 1】 一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数. 【分析】 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性 质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手. 5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989. 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数,若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数,CA 是一个质数与 一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识,因为AB 是一个质数,所以B 不能为偶数,且同时BC 是一个完全平方 数,则符合条件的数仅为16、36,当1B =时,满足AB 是一个质数的数有11,31,41,61,71,时,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有3163符合; 当3B =,满足AB 是一个质数的数有13,23,43,53,73,83,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有8368符合. 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???,若a 、b 、c 、d 都是质数,则a b c d +++的最小值是 多少 【分析】 遇到等量关系的表述时,先将其转化为数学语言.设这2001个连续自然数中最小的一个是A ,则 最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量,题目中没有时,可以设未知数),则它们的和是: 第 5讲 数论(一)

六年级奥数-第十一讲.数论综合(二).教师版

第十一讲 数论综合(二) 教学目标: 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型; 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题,理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲: 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片,它们上面各写着数字1,2,3,从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排列出来, 可以得到不同的一位数、二位数、三位数,请你将其中的质数都写出来. 【解析】 抽一张卡片,可写出一位数1,2,3;抽两张卡片,可写出两位数12,13,21,23,31,32;抽三 张卡片,可写出三位数123,132,213,231,312,321,其中三位数的数字和均为6,都能被3整除,所以都是合数.这些数中,是质数的有:2,3,13,23,31. 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍,求这三个质数. 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ,满足11abc a b c =++(),则可知a 、b 、c 中必有一个为11,不妨 记为a ,那么11bc b c =++,整理得(1b -)(1c -)12=,又121122634=?=?=?,对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去),所以这三个质数可能是2,11,13或3,7,11. 【例 3】 用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那 么这9个数字最多能组成多少个质数? 【解析】 要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有2、3、5、7均为一位质数,这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用.有1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数 67.所以这9个数字最多可以组成6个质数. 【例 4】 有两个整数,它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数.求这两个整数分别是多少? 【解析】 两位数中,数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个,它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式,例如331322313301617=+=+=+==+ ,共有16种形式,如果把每个数都这样分解,再相乘,看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数,显然太繁琐了.可以从乘积入手,因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每个数都是111的倍数,而111373=?,因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时,必有一个因数是37或37的倍数,但只能是37的2倍(想想为什么?)3倍就不是两位数了. 把九个三位数分解:111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?. 把两个因数相加,只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3,37和18. 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、 商与余数之和为2113,则被除数是多少? 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数+除数=2083,由于被除数是除数 的17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)÷(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968. 【例 6】 已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个? 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目.由题意所求的自然数一定是2008-10即1998 的约数,同时还要满足大于10这个条件.这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数, 319982337=??,共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数,其中1,2,3,6,9是比10小的约数, 所以符合题目条件的自然数共有11个. 【例 7】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数. 【解析】 (法1) 39336-=,1473144-=,(36,144)12=,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小于除

六年级奥数最详细全面_数论教师版

数论 数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 【例 1】 一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数. 【分析】 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性 质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手. 5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989. 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数,若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数,CA 是一个质数与 一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识,因为AB 是一个质数,所以B 不能为偶数,且同时BC 是一个完全平方 数,则符合条件的数仅为16、36,当1B =时,满足AB 是一个质数的数有11,31,41,61,71, 时,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有3163符合; 当3B =,满足AB 是一个质数的数有13,23,43,53,73,83,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有8368符合. 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???,若a 、b 、c 、d 都是质数,则a b c d +++的最小值是多少? 【分析】 遇到等量关系的表述时,先将其转化为数学语言.设这2001个连续自然数中最小的一个是A ,则 最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量,题目中没有时,可以设未知数),则它们的和是:

数论知识点 5-6年级

17 1

17 2 ≠≠0)≠基础知识 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个外行人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论显得格外重要,数论研究的是奇数、偶数、素数、合数,这些最简单的数——整数及其内部关系,但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“郎兰兹纲领”这样的难题,它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究。 小学数学竞赛和奥数学习中的数论问题,常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆。 数的整除在算术中应用广泛,下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特性三方面来介绍。 1、 整除的概念 在整数范围内,两个数相除,余数为零(没有余数)或不为零,两种结果 必定有一种成立。如果余数为零,我们就说被除数能被除数整除。即 整数a 除以整数b (b 0),除得的商正好是整数,我们就说a 能被b 整除 (也可以说b 能整除a ),记为b|a 如15能被3整除,记为3|15。 如果数a 能被数b (b 0)整除,a 就叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数。 由于00,就是说零能被任何非零整数整除。因此,零是任意一 个非零整数的倍数。 (b b ÷=≠1是任意一个整数的约数,也就是说,对于整数a ,都能保证1|a 成立。 同样,由于a÷a=1(a 0),也就保证一个非零整数必能整除它本身,也 就是a|a (a 0)、 ≠2、 整除的性质 性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除,那么它们的和或差也能被c 整 除,即如果c|a ,c|a ,那么c|(a±b )。 性质2 如果数a 能被数b 整除,b 又能被数c 整除,那么a 也能被c 整 除,即如果b|a ,c|b ,那么c|a 。 性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除,那么a 也能被b 或c 整除, 即如果bc|a ,那么b|a ,c|a 。 性质4 如果数a 能被数b 整除,也能被数c 整除,且数b 和数c 互质, 那么a 一定能被b 与c 的乘积整除,即如果b|a ,c|a ,且(b ,c )=1,那么bc|a 。 性质5 如果数a 能被数b 整除,那么am 也能被bm 整除;如果b|a ,那 么bm|am (m 为非0整数)。 性质6 如果数a 能被数b 整除,且数c 能被数d 整除,那么ac 也能被 bd 整除;如果b|a ,且d|c ,那么bd|ac 。 3、 数的整除特征 特征1 能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征” 包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0)。下面“特征”

数论 六年级

1 数论(一) ① 读数: 作零。个零或连续几个零都读不读,其他数位上有一每级末尾不管几个零都“亿”。 加“万”,亿级末尾加法来读,并在万级末尾每级内都按照个级的读先读高级,再读低级; 先读数再读数位; 个级读数:从左到右,.C .B .A ② 写数: 写零。没有,就在哪个数位上哪个数位上一个单位也先写高级,再写低级; ..B A

2 ① 读数: 读出 ,其他数位上的零依次末尾不管几个零都不读依次读出每个数; 小数部分:从左往右,的方法读;整数部分按照整数部分..A B ② 写数:从左到右,依次写出每个数字 三、分数:单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分数单位。

数论(二) 一、数和数字 1. 数字: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,一共有10个数字。 2. 数:由一个或多个数字构成整体成为数。 二、整数的认识 1. 数的分类( )()?? ?????????? ?? 001 .0,01.0,1.0:52,31..11,2,1,0:..,分别就写作千分之一十分之一,百分之一,小数表示。份或者几份都用分数来,这样的个整体平均分成若干份分数:把数。:用来表示物体个数的自然数整数g e g e 2. 自然数的分类 ()()()()()??? ?? ? ?????????412119,7,5,3,15,3,128,6,4,2,04,2,022最小的合数为和本身外还有其他数。合数:因数除了最小的质数为和本身的数。质数:因数只有的数大于个数分解质因数之后,因数奇数的个位数一定为整数的数。奇数:不能被偶数的个位数一定为整除的数。偶数:被整除能不能被 三、小数的认识 1. 小数的分类??? ? ??????????? ??=???? ??=??? ??=????π无限不循环小数:,无限循环小数:无限小数:有限小数:41.371742851.020735.0,1011.0 四、分数的认识 1. 单位“1”:一个整体用自然数1来表示。我们通常把它叫做单位“1” 2. 分数与除法:()?? ? ?? ≠=÷= ÷0b b a b a 除数 被除数除数被除数 3. 分数的分类()()()?? ? ??>=+≥≥<<11:1:带分数带分数。真分数部分带分数:整数部分假分数分母的分数。分子假分数真分数分母的分数。 分子真分数 4. 假分数:??? ????? ?? ??==→??? ??==→41249,21225..248,224..g e g e 带分数。分子不是分母的倍数整数。分子是分母的倍数

六年级数论综合

六年级数论综合 《兴趣篇》 4;一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字;十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47;27;24)。已知这些两位数中一个是5的倍数,另一个是 6的倍数,还有一个是7的倍数,原来的三位数是多少? 《分析与解》一个是5的倍数, 各4位数字均不为0,所以三位数中一定有一个是5。 能被7整除有14;21;28;35;42;49;56;63。被5整除有15;25;35;45;55;65;75;85;95, 能被6整除有12;18;24;36;42;48;54;66。经试得满足条件的三位数是656。 6.一个自然数N共有9个约数,而N—1共有8个约数。满足条件的自然数中,最小的和第二小的分别是多少? 《分析与解》N要约数为9。N分解质因数指数必定是2与2,N—1要约数为8,N—1分解质因数指 数必定是1;1与1,N要最小,所以从2的2次乘3的3次,可是,N—1不符合,经试,只有196才符合,用同样的方法,得到第二小的是256。 10.信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用;有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字;如果知道密码满足如下条件: ①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同; ②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数; ③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数; 你能破解此密文吗? 《分析与解》由①得,A不能为3;7,B不能为4;8,C不能为2;1,21C÷12,当C为5时,余数是11,当C为8时,余数是2,当C为9时,余数是3,其它的不符合。 8B4÷12,当B为5时,余数是2,其它的不符合,所B只能是5, C只能是9。B;C是奇数,所以A只 能是是偶数,A37÷12,有且只当A是4时,余数是5。 密文:A37|8B4|21C为437 854 219。 《拓展篇》 8;一个合数,其最大的两个约数之和为1164;求所有满足要求的合数; 《分析与解》一个合数,其最大的两个约数之和为1164,这两个数之间可以是两倍;三倍; 或11倍的关系,这样1164除去3乘2得第一个合数776,1164除去4乘3得第二个合数873,1164除 去12乘11得第三个合数1067。所有满足要求的合数是776;873;1067。 9;已知a与b是两个正整数,且A>B;请问: ⑴如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况? ⑵如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况? 《分析与解》⑴36分解质因数,a>b,当a=36时,b有8种情况,当a=18时,b有2种情况,当 a=12时,b有1种情况,当a=9时,b有1种情况,所以最小公倍数是36,那么这两个正整数有12种情况。

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