数论试题选讲
1.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n.
2.设n是正整数,且4n2+17n-15表示两个相邻正整数的积,求所有这样的n的值.
3.设p是给定的奇质数,正整数k使得k2-pk 也是一个正整数,求正整数k.
4.在一列数1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,若相邻若干个数之和能被11整
除,则这些数组成一个数组,这样的数组共有_________个.
5.已知a、b、c为正整数,且3a+b
3b+c
是有理数.证明:
a2+b2+c2
a+b+c是整数.
6.证明:不存在正整数n,使得2n2+1,3n2+1,6n2+1全都是完全平方数.
7.将268个数放在一个圆周上,任意连续的20个数的和为75,且放在第17号位置的数
是3,第83号位置的数是4,第144号位置的数是9,则放在第210号位置的数是几.
8.求使(a3+b) (a+b3)= (a+b)4成立的所有整数对(a,b).
【练习】
1.一组相邻的正整数,其中任何一个都不能被大于1的奇数的立方所整除,则这组数最多有_______个.
2.按如下的规则构造数列1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,…,从第五个数字开始,每1个数字是前4个数字的和的末位数字.问
(1)数字2,0,0,4会出现在所构造的数列中吗?
(2)开头的数字1,2,3,4会出现在所构造的数列中吗?
3.求所有多于两位的正整数,使得每一对相邻数字构成一个整数的平方.
4.证明:任意五个相邻的正整数的平方和不是一个正整数的平方.
数论试题选讲
9.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n.
解答:设n=mk,k∈N+.则m(7+3k)=22004×52004.令7+3k=2u×5v,u、v∈N.
因为上式两边模3同余,所以,u、v奇偶性相同,故k可取10032+10022-2个值(不包括(u,
v)=(0,0)或(2,0)).所以(m,n)=
2004
10
(,)
73
mk
k
+
,有10032+10022-2=2010 011个解.
10.设n是正整数,且4n2+17n-15表示两个相邻正整数的积,求所有这样的n的值.
解答设4n2+17n-15=(2n+k)( 2n+k+1)=4n2+2n(2k+1)+k(k+1).∴n=
215 154
k k
k
++
-
;
当k=0时,n=1;当k=1时,n不为整数;当k=2时,n=3;当k=3时,n=9.当k>3时n<0.
当k<0时,由2n+k≥1,知n≥1
2
k
-
,此时15-4k>0,
215
154
k k
k
++
-
≥
1
2
k
-
,
∴2k2+2k+30≥15-19k+4k2.?2k2-21k-15≤0无负整数满足此式.∴只有3个值.
11.设p是给定的奇质数,正整数k使得k2-pk 也是一个正整数,求正整数k.
分析k2-pk 是一个正整数,即k2-pk是一个完全平方数.为了配方,考虑4(k2-pk)是一个完全平方数,从而可以得到勾股方程.
解由题k2-pk 是一个正整数,则k2-pk是一个完全平方数,
设k2-pk=m2,m∈N*,则4(k2-pk)= 4m2,
∴(2k-p) 2=p2+ 4m2,∴(2k-p) 2-4m2 = p2,∴(2k-p-2m)(2k-p+2m)= p2,(2k-p)
∵(2k-p+2m)>0,(2k-p-2m)<(2k-p+2m),且p是给定的奇质数,
∴2k-p-2m=1且2k-p+2m= p2,∴4k-2p=1+ p2,即4k=(1+p)2,
由于k>0,∴2k=1+ p,k= 1+p
2∈N*.
说明本题中,p是已知数,k是未知数,所求的是用p表示出k.借助m=k2-pk列出不定方程,其中不定方程可以转化为未知数的平方差型,于是问题可解.
12.在一列数1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,若相邻若干个数之和能被11整
除,则这些数组成一个数组,这样的数组共有_________个.
分析若干个数的和被11整除,只要考虑这些数模11的剩余的和被11整除即可,为了计算简单,这些剩余的绝对值应该尽量的小.
解答7个.把各项先减去11的倍数,使数字变小易于计算.
由此有如下数列:1,4,-3,-1,5,-3,-1,3,-3,-1.
设其前n项之和为S n,则S1=1,S2=5,S3=2,S4=1,S5=6,S6=3,S7=2,S8=5,S9=2,S10=1.其中相等的有S1=S4=S10=1,S2=S8=5,S3=S7=S9=2,这样有7组差S4―S1,S10―S1,S10―S4,S8―S2,S7―S3,S9―S7,S9―S3为0,即共有7组能被11整除.
13.已知a、b、c为正整数,且3a+b
3b+c
是有理数.证明:
a2+b2+c2
a+b+c是整数.
分析3a+b
3b+c
是有理数,其中隐含着正整数a、b、c的关系,找出a、b、c的关系,进一步推
出a+b+c是a2+b2+c2的约数.
证明因为3为无理数,故, 3b-c≠0,于是
3a+b 3b+c =
(3a+b)(3b-c)
3b2-c2
=
3ab-bc+3(b2-ac)
3b2-c2
,
上式表示有理数,则有b2-ac=0.
从而a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca=(a+b+c)2-2(ab+bc+b2)=(a+b+c) (a-b+c).
故a2+b2+c2
a+b+c= a-b+c∈Z.
说明3a+b
3b+c
是有理数,其分子、分母中的无理数3应该可以约去,注意到a、b、c为正整
数,有a
b =
b
c 即可,也即b
2=ac.
14.证明:不存在正整数n,使得2n2+1,3n2+1,6n2+1全都是完全平方数.
证明若题中结论不真,那么,此三数均为完全平方数,则三个数的积(2n2+1)(3n2+1)(6n2+1)=36n6+36n4+11n2+1是完全平方数.
∴36n2(6n2+1)(4n2+1)(2n2+1)是完全平方数,
即36n2(6n2+1)(4n2+1)(2n2+1)= 36n2 (36n6+36n4+11n2+1)
=36n2 [9n2(2n2+1)2+2n2+1] = (18n2)2(2n2+1)2+36n2(2n2+1)
=(36n4+18n2+1)2-1是完全平方数.
(36n4+18n2+1)2是完全平方数,(36n4+18n2+1)2-1也是完全平方数,两个正整数的平方相差1,这是不可能的.所以题中结论成立.
15. 将268个数放在一个圆周上,任意连续的20个数的和为75,且放在第17号位置的数
是3,第83号位置的数是4,第144号位置的数是9,则放在第210号位置的数是几. 解答:由题,在268以内,20是周期,与210号位同值的号为:230,250;2(270),
由x≡268k+2≡8k+2,(mod20)
则x≡2≡10≡18≡6≡14≡8k+2(mod20)
同理, 由x≡268k+17,(mod20),则x≡17≡5≡13≡1≡9,(mod20)
由x≡268k+83,(mod20),则x≡3≡11≡19≡7≡15,(mod20)
由x≡268k+144,(mod20),则x≡4≡12≡20≡8≡16,(mod20)
于是5(3+4+9+x)=75,所以x =-6.
16. 求使(a 3+b) (a+b 3)= (a+b)4成立的所有整数对(a,b ).
解答 注意到(a 3+b) (a+b 3)= (a+b)4
?a 4+a 3b 3+ab+b 4= a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4?a 3b 3+2a 2b 2+ab=4a 3b+8a 2b 2+4ab 3
?ab(ab+1)=4ab(a+b)2?ab[(ab+1)2﹣4(a+b)2]=0成立.
因此,(a,0)和(0,b )是给定方程的解,a 、b ∈Z.
另外的解必须使得(ab+1)2﹣4(a+b)2=0成立.
因为(ab+1)2﹣4(a+b)2=0即ab+1=±2(a+b),分两种情况讨论.
如果ab+1=2(a+b),则有(a-2)(b-2)=3于是,有
2321a b -=??-=?,或2123a b -=??-=?,或2321a b -=-??-=-?
,或2123a b -=-??-=-?. 分别解得
a=5,b=3;a=3,b=5; a=﹣1,b=1; a=1,b=﹣1.
如果ab+1=﹣2(a+b),则有(a+2)(b+2)=3
类似地,解得 a=1,b=﹣1;a=﹣1,b=1; a=﹣5,b=﹣3; a=﹣3,b=﹣5
【练习】
1.一组相邻的正整数,其中任何一个都不能被大于1的奇数的立方所整除,则这组数最多有_______个.
Ans 26.
2.按如下的规则构造数列1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,…,从第五个数字开始,每1个数字是前4个数字的和的末位数字.问
(1)数字2,0,0,4会出现在所构造的数列中吗?
(2)开头的数字1,2,3,4会出现在所构造的数列中吗?
Ans (1)在数列中用P代表一个偶数字,用N代表一个奇数字.于是,所给的数列相当于N,P,N,P,P,N,P,N,P,P,…,注意到此数列是以5为周期重复的排列.此外,在任何四个依次相连的数字中至少有一个是奇数.而数字2,0,0,4都是偶数,因此,他们不可能出现在所构造的数列中.
(2)因为数列中连续四个数字是情况是有限的(少于10000),所以,数列必然在有限项后按周期排列.显然,数列能从任意连续四个数字向前或向后延伸.因此,数列从后向前也以周期排列.故1,2,3,4必定周期性出现.
3.求所有多于两位的正整数,使得每一对相邻数字构成一个整数的平方.
Ans 易得,正整数的平方是两位的有:16,25,36,49,64,81.
注意到,从给出数字开始至多有1个两位平方,因此,在第一个两位数被选定后,所求数的余下部分被惟一地确定.因为没有以5或9 开始的两位的平方数,所以,所求的数不能以25或49开始.
而由16得164,1 649;
由36得364,3 649;
由64得649;
由81得816,8 164 ,81 649.
因此,满足条件的数为164,1649,364,3649,649,816,8164 ,81649.
4.证明:任意五个相邻的正整数的平方和不是一个正整数的平方.
Ans 记5个相邻正整数分别为n-2,n-1,n,n+1,n+2,它们的平方和等于(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5(n2+2),显然能被5整除.故只有当它能被25整除,即n2+2 能被5整除,它才能是一个正整数的平方.但平方数n2除以5不能得到余数3.
质数合数、约数倍数 知识框架 一、质数与合数 一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,再不能被其他自然数整除,那么它就叫做质数(也叫做素数)。 一个大于1的自然数,如果除了1和它本身,还能被其他自然数整除,那么它就叫做合数。 要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。 质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。 常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个; 除了2其余的质数都是奇数; 除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9. 考点:⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路,需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数),使得q能够整除p,那么p就不是质数,所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这样的计算量很大,对于不太大的p,2K,再列出所有不大于K的质数,用这些质数去除p的平方数p,我们可以先找一个大于且接近如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如:149很接近,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除,所以149是1212?144? 质数. 常用质数整理:101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017. 三、约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数; (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”; (3)最大公约数:公约数中最大的一个就是最大公约数; 被排除在约数与倍数之外(4)0. 求最大公约数的方法1. 分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.?
关于数论函数方程() ()2 S n n ?= 李宋宋 (安徽师范大学 安徽芜湖 241000) 摘要:对于任给的正整数n ,()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数,本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法,对数论方程()()2S n n ?=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。 关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程 On the Arithmetic Functional Equation ()()2S n n ?= Abstract: For any given positive integer n, ()n ? and ()S n are Euler function and Smarandache function respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ?=and finally given the expression and the discriminants of solution. Keywords: Euler function ;Smarandache function ;factorial ;Fermat number ;equations 1 引言 对于任意正整数n ,设()n ?和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ?表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得 |!n m ,即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈. ()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一 个十分引人关注的研究课题[1] .关于这两个 函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研 究的对象[2]-[4] , 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t n S n ?=的相关性质和求解过程,并且在很多学者努力下,此类型方程的求解结果已经很完善;文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ω?=的解.在诸多文章和结果的启发下,本文提出了一类数论方程 ()()2S n n ?=的求解问题,并通过分类讨论的 方法,在现有的五个费马素数的基础上得到 了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面: 定理 对于任给的正整数n ,()n ?和 ()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函 数,若n 为数论方程() ()2 S n n ?=的解,则n 的标准分解式为: 1 2m s n p p =, 1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中 22 1k i i p =+,{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=, m 满足: (1)当1s =时,1121k m p =-+, 1{23,4}k ∈,,或者m 满足不等式组:
六年级第8讲数论综合(一) 【兴趣篇】 4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别 划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24)。已知这些两位数中一个是5的倍数,另一个是6的倍数,还有一个是7的倍数,原来的三位数是多少【分析与解】一个是5的倍数, 各4位数字均不为0,所以三位数中一定有一个是5。能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95,能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。经试得满足条件的三位数 是656。 6.一个自然数N共有9个约数,而N—1共有8个约数。满足条件的自然数中,最小的和 第二小的分别是多少 【分析与解】N要约数为9。N分解质因数指数必定是2与2,N—1要约数为8,N—1分解质因数指数必定是1、1与1,N要最小,所以从2的2次乘3的3次,可是,N—1不符合,经试,只有196才符合,用同样的方法,得到第二小的是256。 10.信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知 道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件: ①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同; ②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数; ③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数. 你能破解此密文吗 【分析与解】由①得,A不能为3、7,B不能为4、8,C不能为2、1,21C÷12,当C 为5时,余数是11,当C为8时,余数是2,当C为9时,余数是3,其它的不符合。 8B4÷12,当B为5时,余数是2,其它的不符合,所B只能是5, C只能是9。B、C是奇数,所以A只能是是偶数,A37÷12,有且只当A是4时,余数是5。 密文:A37|8B4|21C为437 854 219。 【拓展篇】 8.一个合数,其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数. 【分析与解】一个合数,其最大的两个约数之和为1164,这两个数之间可以是两倍、三倍、或11倍的关系,这样1164除去3乘2得第一个合数776,1164除去4乘3得第二个合数873,1164除去12乘11得第三个合数1067。所有满足要求的合数是776、873、1067。
第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们发明了进位制,这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现,比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ,其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ,则此数可以简记为:021a a a A m m (其中01 m a )。 由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A 可以表示成10的1 m 次多项式,即 012211101010a a a a A m m m m ,其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且 01 m a ,像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常 生活中,通常将下标10省略不写,并且连括号也不用,记作021a a a A m m ,以后我们所讲述的数字,若没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用0与1这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性,我们给出正整数A 的p 进制表示: 012211a p a p a p a A m m m m ,其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字,简记为p m m a a a A )(021 。 第二节 整数的性质及其应用(1) 基础知识 整数的性质有很多,这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性,质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1.整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数。 定义:设b a ,是给定的数,0 b ,若存在整数c ,使得bc a 则称b 整除a ,记作a b |,并称b 是a 的一个约数(因子),称a 是b 的一个倍数,如果不存在上述c ,则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义,容易推出以下性质: (1)若c b |且a c |,则a b |(传递性质);
有关数论函数的一些问题 题目:有关数论函数的一些问题研究生:任荣珍 任课教师:杨海 学科专业:应用数学 学号:2014081034 学院:理学院 时间:2015年1月2日
有关数论函数的一些问题 数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”. 数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置. 数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义: 对任意的正整数2n ≥, ()n ?是由满足如下条件的整数数组 12(,,...,)s a a a 所构成的集合: (1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =; (2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =; (3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤. 定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈? 设1 i k a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同 素因子的个数.
数论函数与拓扑 摘要:自然数的诸多性质,由各种各样的数论函数来描述。有些数论函数之间存在着数量关系,可以看作数论研究领域的一种拓扑现象。 关键词:数论函数,拓扑 若干例子 1,不超过N的,孪生素数个数R2(N)与素数个数π(N)之间的关系 R2(N)=c1 N [π(N)]2 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c1是正常数。 2,偶数N表为两个奇素数之和的表法个数r2(N),与不超过N的素数个数π(N)之间的关系 r2(N)=c2 N [π(N)]2 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c2是正常数。 3,不超过偶数N的孪生素数个数R2(N),与表N为两个奇素数之和的表法r2(N)之间的关系 R2(N)=c3[r2(N)] 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c3是正常数。 4,不超过N的,多连生素数组的个数R k(N),与素数个数π(N)之间的关系 R x(N)=c x[π(N)]m 当N=2n t,t≥1取奇常数,n≥1取自然数变量时,式中c x是正常数。 等等。 诸多数论函数之间往往存在着某种数量关系。 耐人寻味,值得研究。
参考资料: 1 初等数论:潘承洞,潘承彪著1997.6 月北京大学出版社 2 组合数学:屈婉玲著1997.9 月北京大学出版社 3 王元论哥德巴赫猜想李文林著1999.9 月山东大学出版社 4 数学与猜想G.玻利维亚2001.7 月科学出版社 5 数论导引哈代著2008.10 月人民邮电出版社 6 华罗庚文集2010.5 月科学出版社 7 代数数论冯克勤著2000.7 月科学出版社
数论综合(三)约数倍数 姓名:日期:成绩: 1.从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个?只有3个约数的数有几个?2.360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少? 3.把自然数A的所有约数两两求和,又得到若干个自然数,在这些数中,最小的是3,最大的是240。A等于多少? 4.所有8个不同约数的自然数中,最小的一个是多少? 5.100以内只有10个不同约数的自然数有哪些? 6.有一个自然数,它有4个不同的质因数,且有32个约数,其中一个质因数是两位数,当这个质因数尽可能大时,这个自然数最小是多少?
7.a、b两均只含有因数3和5,且a有12个约数,b有10个约数,(a、b)=75,那a、b 两数之差是多少? 8.自然数N,它们被5和49整除,并且共有10个约数,求N。 9.有50盏灯排成一排,按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50,每盏灯开始都是亮着的;有50个人,第一个人走过来,凡是1的倍数的灯按一下,接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下,……,一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下,最后不亮的灯分别是哪几盏? 10.有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说:“这个数能被3整除”,以此下去至15号说:“这个数能被15整除”,1号作了一一验证,只有编号连续的两位同学说得不对,其余都对,问:①说得不对的两位同学,它们的编号是哪两个连续的数?②如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出此五位数。③如果告诉你,1号写的数是六位数,请求出最小的六位数。 11.筐里共有96个苹果,如果不一次全拿出,也不一个个地拿;要求每次拿出的个数同样多,拿完时又正好不多不少,有多少种不同的拿法? 12.筐中有120个苹果,将它们全部都取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,有多少种分法?
六年级奥数最详细全面-数论教师版
数论 数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻. 专题回顾 【例 1】一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数. 【分析】现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手. 5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可 能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这
样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989. 【例 2】 已知ABCA 是一个四位数,若两位数AB 是一个质数,BC 是一个完全平方数,CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数是_____________. 【分析】 本题综合利用数论知识,因为AB 是一个质数,所以 B 不能为偶数,且同时B C 是一个完全平方数,则符合条件的数仅为16、36,当1B =时,满足AB 是一个质数的数有11,31,41,61,71,时,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积,只有3163符合; 当3B =,满足AB 是一个质数的数有13,23,43,53, 73,83,此时同时保证CA 是一个质数与一个不为 1的完全平方数之积,只有8368符合. 【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???,若a 、b 、c 、d 都分解质因数 专题精讲
行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 (1)一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。 (2)自然数除0和1外,按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住:0和1不是质数,也不是合数。 (3)最小的质数是2 ,2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数; 最小的合数是4。 (4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(3和5),可能是一个质数和一个合数(3和4),可能是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。 (5)如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 (6)100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97. 注意:两个质数中差为1的只有3-2 ;除2外,任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 (1)概念 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得
第19讲数论综合 知识点精讲 特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征: 2) 能被5整除的数的特征: 3) 能被4 (或25)整除的数的特征: 4) 能被8 (或125)整除的数的特征: 2. 数字求和法: 3. 99的整除特性: 4. 奇偶位求差法: 5. 三位截断法: 特别地:7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题 技巧:1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数,利用竖式解决。 三、质数合数 1. 基本定义 【质数】一一 【合数】一一 注:自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一 【分解质因数】一一 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式:N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数,且