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大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案

高等数学I (大一第一学期期末考试题及答案)

1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是

无穷小. (A) ()()x x βα+

(B)

()()x x 22βα+ (C)

[])()(1ln x x βα?+

(D) )()

(2x x βα

2. 极限

a

x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1

(B ) e

(C ) a

e

cot (D ) a

e

tan

3.

???

??=≠-+=001

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1

(B ) 0

(C ) e (D ) 1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么=

--+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f '

(C) )(a f ' (D ) )

(31

a f '

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)

5. 极限)

0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由

x x y e y

x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x

xe ye x y

x xy

xy

ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直

线l 的方程为 13

121

1--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) .

三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)

9. 计算极限10(1)lim

x

x x e

x →+-.

解:1

1

ln(1)120

00(1)1

ln(1)lim

lim lim

2x x

x

x x x x e e x x e

e e x x

x +-→→→+--+-===-

10. 设)(x f 在[a ,b ]上连续,且

]

,[)()()(b a x dt

t f t x x F x

a

∈-=?,试求出)(x F ''。

解:

??-=x

a

x

a

dt

t tf dt t f x x F )()()(

??=-+='x

a

x

a

dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F =''

11. 求

3

cos .sin x

x

dx x ?

2

3cos 1sin sin 2x x

dx xd x x -=-??2221111

sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C

---=-+=--+?

四、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)

12. 求

?

-2

3

2

21

x x dx .

令 

1x t =

?

--=21

2

322)1

(11

11dt t t t

原式

=-?dt

t 121

2

3

2

=arcsin t

12

3

2=

π

6

13. 求函数

212x x y +=

的极值与拐点. 解:函数的定义域(-∞,+∞)

22)1()1)(1(2x x x y ++-='

3

22)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1

0)1(<''y x 1 = 1是极大值点,0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点

极大值1)1(=y ,极小值1)1(-=-y

0=''y 33故拐点(-3,-23),(0,0)(3,23

14. 求由曲线43x y =与2

3x x y -=所围成的平面图形的面积.

解 :,,

x x x x x x 3232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123

S x x x dx x x x dx

=-++---??()()3260

2

3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340

21632332316

=+=4521347

1

3 15. 设抛物线2

4x y -=上有两点(1,3)A -,(3,5)B -,在弧 A B 上,求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大.

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程: 点到的距离 的面积

+-==+-=-++-≤≤2104521

5

235

132()

?

S x x x x x ()()=

??-++=-++12452352232

2

当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为,y =313()

另解:由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求,使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()

,(),,(,)

002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题(本大题4分)

16. 设0x >,试证x x e x +<-1)1(2.

证明:设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x

,x xe x f 24)(-='',0)(,0≤''>x f x ,因此)(x f '在(0,+∞)内递减。在(0,+∞)内,)(,0)0()(x f f x f ='<'在(0,+∞)内递减,在(0,+∞)内,),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x 亦即当 x >0时,x x e x +<-1)1(2 试证x x e x +<-1)1(2.

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