正切函数的定义

北师大版 高一数学必修4 编号（ ） 班级 ： 小组： 姓名： 备课组审核人: 年级组审核人：

定边县实验中学（职教中心） 主备人：李桂翔 知识如烛光，能照亮一个人，也能照亮无数人

第一章 三角函数

课题：正切函数的定义 【学习目标】

1、记住正切函数的定义，能通过定义理解正切函数的定义域；并能根据定义判断正切值在各个象限的正负。

2、会画正切线；能用诱导公式判断正切函数的周期。 【使用说明与学法指导】

1、课前精读课本P35-36一遍，勾画正切函数与正切线的定义；仔细看图1-42，完成导学案。

2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。 【学习过程】

一、自主预习 第一次批阅人： 日期： 批语：

1、引桥知识

2、知识导引

（1）你是怎么理解正切函数的？为什么正切函数的定义域不是R ？可以用自己的语言来描述。

（2）结合正余弦函数的定义，说说正余弦函数与正切函数的关系。

（3）做出终边在四个象限时的正切线？尝试通过正切线总结出正切的周期？

3、预习自测

（1）判断正切函数α在一象限符号为 ，二象限符号为 ，三象限符号为 ，四象限符号为 。 （2）

我的疑惑：

二．合作探究

1已知角α的終边上一点(3,2)P -求sin a ，cos a ， tan a

2．比较大小：

（1）2

tan 5

π 3t a n 5π （2）tan 2 t a n 9

3．试把cos1,sin1,tan1按照由小到大的顺序排列，并说明理由.

三、拓展训练

1．已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是（ ）

A ．第一或第二象限角

B ．第二或第三象限角

C ．第三或第四象限角

D ．第一或第四象限角

2.(2007Ⅰ·年全国理1）角a 是第四象限角，5

tan 12

a =-，则sin a =（ ）

A 15

B 15-

C 513

D 5

13-

3.课本39P ，第2题.

4.若0,2x π??

∈ ???

比较,sin ,tan x x x 的大小.

四、师生总结 第二次批阅人： 日期:

五、 教学反思

正切函数的定义图像与性质

正切函数的定义、图像与性质 一、教学目标 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． 3、理解并掌握正切函数的诱导公式。 二、重点与难点 （一）教学重点：正切函数的图象和性质。 1、用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图像，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=/2 +k，k Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）教学难点：体验正切函数基本性质的应用， 三、教学过程 1、复习引入 （一）复习 练习：画出下列各角的正切线 （二）引入 引出正切函数、正切曲线的概念和正切函数的诱导公式，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质. 2、学习新课： 提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。 （一）复习：如何作出正弦函数的图像？ （二）探究：用正切线作正切函数图像

问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？ 设f(x)=tanx f(x+)=tan(x+)=tanx=f(x) y=tanx是周期函数，是它的一个周期。 我们先来作一个周期内的图像 根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像 （三）研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想） （四）疑点解析

在每一个开区间 内都是增函数 （五）例题讲解及课内巩固练习 例1、比较下列每组数的大小 （1）tan167与tan173 （2）tan （ ）与tan y=tanx 在（，）上是增函数， 又y=tanx 在（0，）上是增函数 说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调递增性解决。 例2、 观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值的范围 例3、求 675 tan )60tan(570tan 315tan --+的值。 四、课堂小结 通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。 五、课后作业

三角函数 正切、余切图象及其性质

正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])

正切函数的定义

北师大版 高一数学必修4 编号（ ） 班级 ： 小组： 姓名： 备课组审核人: 年级组审核人： 定边县实验中学（职教中心） 主备人：李桂翔 知识如烛光，能照亮一个人，也能照亮无数人 第一章 三角函数 课题：正切函数的定义 【学习目标】 1、记住正切函数的定义，能通过定义理解正切函数的定义域；并能根据定义判断正切值在各个象限的正负。 2、会画正切线；能用诱导公式判断正切函数的周期。 【使用说明与学法指导】 1、课前精读课本P35-36一遍，勾画正切函数与正切线的定义；仔细看图1-42，完成导学案。 2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。 【学习过程】 一、自主预习 第一次批阅人： 日期： 批语： 1、引桥知识 2、知识导引 （1）你是怎么理解正切函数的？为什么正切函数的定义域不是R ？可以用自己的语言来描述。 （2）结合正余弦函数的定义，说说正余弦函数与正切函数的关系。 （3）做出终边在四个象限时的正切线？尝试通过正切线总结出正切的周期？ 3、预习自测 （1）判断正切函数α在一象限符号为 ，二象限符号为 ，三象限符号为 ，四象限符号为 。 （2） 我的疑惑： 二．合作探究 1已知角α的終边上一点(3,2)P -求sin a ，cos a ， tan a 2．比较大小： （1）2 tan 5 π 3t a n 5π （2）tan 2 t a n 9 3．试把cos1,sin1,tan1按照由小到大的顺序排列，并说明理由. 三、拓展训练 1．已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 2.(2007Ⅰ·年全国理1）角a 是第四象限角，5 tan 12 a =-，则sin a =（ ） A 15 B 15- C 513 D 5 13- 3.课本39P ，第2题. 4.若0,2x π?? ∈ ??? 比较,sin ,tan x x x 的大小. 四、师生总结 第二次批阅人： 日期: 五、 教学反思

正切三角函数值表

正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的 图像和性质 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： （3）与切函数的图像： 归纳填表格：

例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3 y x π =-+； （2）221tgx y tg x =+ ； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 21tan 2 x y x =-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++； （2）tan()123 x y π=-+-； （3）12log cot y x ?= ?? 例3.求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = （3）y =

例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044 x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34 x a π∈∈时，函数max y =a 的值； 例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π∈≠。 求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。

正切函数图像及性质

第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y

[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间

考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>

正切和余切_1

正切和余切 第一课时一、教学目标1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用、表示直角三角形（其中一个锐角为）中两边的比，了解与成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。二、学法引导1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。2．难点：了解的概念。3．疑点：正切与余切概念的混淆．4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。四、教具准备投影机、投影片（自制）、三角板五、教学步骤（一）明确目标1．什么是锐角的正弦、余弦？（结合下图回答）。2．填表3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦

值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习。（二）整体感知正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。（三）教学过程1．引入正切、余切概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是”。②给出正切、余切概念。如图，在中，把的对边与邻边的比叫做的正切，记作。即并把的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即2．与的关系请学生观察与的表达式，得结论（或，）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与区别开．3．锐角三角

正切函数图象

正切函数 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx

注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个 定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］(k ∈Z).

分别是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

分别就是正弦余弦正切余切正割余割 角θ得所有三角函数 (见:函数图形曲线) 在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点得坐标为(x,y)有 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y (斜边为r,对边为y,邻边为x。) 以及两个不常用,已趋于被淘汰得函数: 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数coversθ =1-sinθ 正弦(sin):角α得对边比上斜边 余弦(cos):角α得邻边比上斜边 正切(tan):角α得对边比上邻边 余切(cot):角α得邻边比上对边 正割(sec):角α得斜边比上邻边 余割(csc):角α得斜边比上对边 [编辑本段] 同角三角函数间得基本关系式: ·平方关系: sin^2α＋cos^2α＝1 1＋tan^2α＝sec^2α 1＋cot^2α＝csc^2α ·积得关系: sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα ·倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商得关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 直角三角形ABC中, 角A得正弦值就等于角A得对边比斜边, 余弦等于角A得邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·[1]三角函数恒等变形公式 ·两角与与差得三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角与得三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan α) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arctan(B/A)),其中 sint=B/(A²+B²)^(1/2) cost=A/(A²+B²)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B ·倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)] ·三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)

分别是正弦余弦正切余切正割余割

分别是正弦余弦正切余切正割余割 角θ的所有三角函数 (见:函数图形曲线) 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数coversθ =1-sinθ 正弦（sin）:角α的对边比上斜边 余弦（cos）:角α的邻边比上斜边 正切（tan）:角α的对边比上邻边 余切（cot）:角α的邻边比上对边 正割（sec）:角α的斜边比上邻边 余割（csc）:角α的斜边比上对边 [编辑本段] 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2α＋cos^2α＝1 1＋tan^2α＝sec^2α 1＋cot^2α＝csc^2α ·积的关系： sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα ·倒数关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·[1]三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan α) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arctan(B/A))，其中 sint=B/(A²+B²)^(1/2) cost=A/(A²+B²)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]

正切、余切函数的图象和性质

正切、余切函数的图象和性质 正切、余切函数的图象和性质张思明教学目的：教学过程择录：一、引题：师：对比上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？生众：P159正弦，余弦函数的定义域：P158正弦，余弦函数的最值：P158正弦，余弦函数的奇偶性P159正弦，余弦函数的单调性P159正弦，余弦函数的应用一-----比大小P158正弦，余弦函数的周期P159正弦，余弦函数的图象P160正弦，余弦函数性质的应用教师在黑板上书写：定义域值域奇偶性单调性比大小求最小正周期作图应用教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，可以想一想，我们要觖决什么问题？生众：不就是上面这几点问题吗？教师：说的不错，我们就是要来解决把“正弦、余弦函数”换成“正切、余切函数”后~后面加一个“是什么？”这样一些问题。请同学们带的这些问题看书5分钟。[评述]：这里是通过作业小结的方式引入问题。学生常常是很肓目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。教师有意识地引导学生作这种观察，既培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。二、学生自己回顾性设问，5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生为相邻的同桌的同学就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学对着大家回答。做完后，问、答的两组学生角色交换。其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正：生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了，k∈Z外的全体实数。生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数生3：.........生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数）生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？邻生答：是，其它学生更正：不是。教师追问理由 (12) 正切函数是一个周期为2的函数吗？邻生回答：准确地说正切函数是最小正周期为的周期函数。生13：余切函数也是一个以2为周期的周期函数，这个说法对吗？邻生：不对，另外的学生答：对，……… 学生即席讨论………。生14：怎样由y=tgx的图象得到y=ctgx的图象？，邻生答：可以先把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度，再向右平移。另一个邻座同学：也可以先把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度，再向右平移。教师插说：我怎么不懂了？为什么把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度和把y=tgx的图象

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结

高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结 三角函数是高中数学教学中一类基本的、重要的函数，下面是小编给大家带来的高中数学必修4正弦余弦正切余切函数图像的性质总结，希望对你有帮助。 高中数学正弦余弦正切余切函数图像的性质高中数学学习方法抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，

当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。 积累考试经验 本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot y x =的函数称为余切函数； 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： - （3）与切函数的图像：

例1.求下列函数的周期： （1）tan(3) 3 y x π =-+； （2）2 21tgx y tg x = +； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 2 1tan 2 x y x = -； （5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++； （2）tan()123 x y π =- + -； （3）12 log cot 3y x ?=- ?? 例3.求下列函数的定义域：

（1）tan 4y x π ?? =- ??? ； （2）y = （3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-+的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)0 4 4 x x π π +--+ -≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1 [0,],[0,]3 4 x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值； 例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π ∈≠。 求证：1212 ()() ( ) 2 2 f x f x x x f ++>。

正切 余切图像的性质 反三角函数

正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图 象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函

数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: 上单减 ，奇函数 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

北师大版(2019)数学必修第二册：1.7.1 正切函数的定义 教案

正切函数的定义 【教学目标】 1．掌握正切函数的定义. 2．会求特殊角的正切值. 【教学重难点】 正切函数的定义域. 【教学过程】 一、基础铺垫 1．正切函数的定义 （1）任意角的正切函数 根据函数的定义，比值sin cos x x 是x 的函数，称为x 的正切函数，记作y ＝tan x ，其中x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z. （2）正切函数与正弦、余弦函数的关系 根据定义知tan x=sin cos x x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z. （3）正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为三角函数． 二、合作探究 【例1】已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． 【解】r ＝ －4a 2＋3a 2＝5|a |， 若a ＞0，则r ＝5a ， 角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35， cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34； 若a ＜0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，

cos α＝45，tan α＝－34. 【教师小结】已知角α终边上任一点的坐标(x ，y )利用定义求tan α时，其值与该点的位置 【活学巧用】已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A ．2π3 B ．11π6 C ．5π6 D ．3π4 解析：点(3，－1)在第四象限，tan α＝－33，∴α的最小正值为11π6. 【例2】求函数y ＝11＋tan x 的定义域． 【错解】∵1＋tan x ≠0，即tan x ≠－1． ∴x ≠k π－π4，k ∈Z. 即y ＝11＋tan x 的定义域为??? x ??????x ≠k π－π4，k ∈Z . 【错因分析】错解忽略了y ＝tan x 本身的定义域． 【正解】由题意得????? 1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 故函数的定义域为??? x ??????x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z . 二、课堂练习 1．tan 300°的值为( ) A ．3 B ．－ 3 C ．33 D ．－33 解析： tan 300°＝tan(180°＋120°)＝tan 120° ＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－3；或tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.

正切和余切(一)

正切和余切（一） 教学目的 一（知识）使学生了解正切、余切的概念，能够正确的用tanA 、cotA 表示直角三角形（其中一个锐角为∠A ）中两边的比，了解tanA 与cotA 成倒数关系，熟记30o、45o、60o角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出各角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系 二（能力）逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力. 三（德育）培养学生独立思考、勇于创新的精神 重点难点 重点是了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值；难点是了解正切和余切的概念. 教学手段 投影仪 教学过程 （一）明确目标 1．什么是锐角∠A 的正弦、余弦？（结合图6-5回答） C B 3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系？ 4．当角度在0o~90o变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？ 5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切. 因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口1．引入正切、余切概念 ①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？（图6-9）

述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切.” ②给出正切、余切概念 如图6-5，在Rt ⊿ABC 中，把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA . 即 tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边 并把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA . 即 cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边 2.tanA 与cotA 的关系 请学生观察tanA 与cotA 的表达式，得结论tanA ×cotA=1(或cotA=1/tanA,tanA=1/cotA). 这个关系式极重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tanA=cot(90o-A)区别开. 3．锐角三角函数 由上图，sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=b a ,cotA=a b ,把锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目. 问：锐角三角函数能否为负数？ 学生回答这个问题很容易. 请同学观察2块三角板可知30o、45o、60o角的正切、余切值. tan30o=30o角的对边/30o角的邻边==31=3 3 tan45o=45o角的对边/45o角的邻边=1 1 =1 tan60o=60o角的对边/60o角的邻边=1 3=3 cot30o=030 tan 1=13=3 cot45o=0 54tan 1=1; cot60o= 006tan 1=31=33 5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系. 结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值. 即 tgA=ctg(90o-A), ctgA=tg(90o-A).