函数综合(一次函数、反比例函数、数形结合)

一次函数的表达式：f (x )＝kx ＋b (k ≠0) 当b ＞0时，直线通过一、二象限； 当b ＜0时，直线通过三、四象限。 当k ＞0时，函数的图象经过一，三象限 当k ＜0时，函数的图象经过二，四象限。

f (x )＝kx ＋b (k ≠0) 性质：

当k ＞0时，y 随x 的增大而增大； 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。

当b ＞0时，该函数与y 轴交于正半轴； 当b ＜0时，该函数与y 轴交于负半轴 当x ＝0时，b 为函数在y 轴上的截距。

正比例函数y ＝kx (k ≠0)

当k ＞0时，直线过一、三象限，y 随x 的增大而增大 当k ＜0时，直线过二、四象限，y 随x 的增大而减小

反比例函数k

y x

(k ≠0) 1．当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x 的增大而

减小；

2．当k ＜0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y 随x 的增大而增

大。

【例1】(2009烟台)

如图，直线y ＝kx ＋b 经过点A (-1，-2)和点B (-2，0)，直线y ＝2x 过点A ，则不等式2x ＜kx ＋b ＜0的解集为( ) A ．x ＜-2 B ．-2＜x ＜-1 C ．-2＜x ＜0 D ．-1＜x ＜

【例2】

已知，一次函数y ＝(3－k )x ＋k －2的图像过一、二、三象限，求k 的取值范围。

函数综合

【例3】

已知y ＝kx ＋b (k ≠0)当-2≤x ≤1时，0≤y ≤3，求k ＋b 的值。

【例4】

已知：如图，y ＝kx ＋b 与反比例函数(0)k

y x x

＜的图象相交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，其中A 点的坐标为(-2，4)，点B 的横坐标为-4。 ⑴试确定反比例函数的解析式； ⑵求△AOC 的面积。

在线测试题

请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．如图，已知直线y ax b =+与直线y x c =+的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结：

①0a <； ②0c >；

③对于直线y x c =+上任意两点()A A A x y ，、()B B B x y ，，若A B x x <，则A B y y >；

④1x >是不等式ax b x c +<+的解集。 其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④

D ．③④

2．若一次函数()23y m x m =-+-的图象如图所示，则m 的取值范围为( ) A ．23m << B ．23m -<< C ．32m -<<-

D ．13m <<

3．已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，则kb 的值为( ) A ．6- B ．14

C ．6-或14

D ．14或6

4．如图所示，已知直线12y x =

与双曲线(0)k

y k x

=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4。

⑴求k 的值；

⑵若双曲线(0)k

y k x

=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC ?的面积；

A ．4，9

B ．8，15

C ．8，17

D ．16，

数形结合在函数中的应用汇总

数形结合在函数中的应用 四川省乐至中学唐贤国 教学目标：1、知识目标 1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质． 2）了解数形结合在解决函数问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决． 2、能力目标 1）掌握用初等函数的图象来处理函数问题，培养用函数图象解决问题的意识．掌握运用图象将代数问题转化为几何问题的 技巧． 2）通过运用数形结合解题，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法． 3、情感目标 通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神， 培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到 一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想． 教学重点：利用基本初等函数的图象将函数问题转化为几何问题．（以形助数） 教学难点：利用图象转化函数问题，在代数与几何的结合上去找出解题思路．教学方法：启发式教学． 教学过程 一、新课引入

1）提问：上述四个函数图象分别对应于四个函数y = x 2 , y = 2x , y=0.5x , y= log 2 x 中的哪一个? 2）说明上述四种函数及图象代表了几类基本函数的基本图象． 3）强调：作出简图时要注意到函数的性质在其图象上的体现，比如特殊的点、 线（对称轴、渐进线）。 2．几种常见的图象变换（提问） 平移变换、伸缩变换、对称变换． 3．说明函数图象的作用：它直观地体现了函数的变化状况和函数的各种性 质（奇偶性、单调性和周期性等）．许多函数问题大多可以从函数的图象中得到直观地解释或形象地提示解决问题的方法． 二、 基础训练题组 1．函数 31)1(+=x y 的反函数的图象不经过第______象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 分析：正确作出函数的图象是本题的关键所在．由于它是复合函数， 其图象需要由基本函数的图象作适当的变换得到．（提问学生：如何作出图象？本题有2种变换方法，可启发学生思考．） 方法二：先求出反函数，再作其图象．31)1(+=x y 的反函数为13-=x y 。

一次函数的数形结合思想

一次函数中的数型结合思想 学习目标:1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关几何问题． 2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决几何问题的能力． 3.认识数学在现实生活中的意义,发展运用数学知识解决几何问题的能力． 重 点：一次函数的模型建立及应用 难 点：如何选择合适的模型并应用 一、 自主学习：1.如图,直线AB 与y 轴,x 轴交点分别为A(0,2) B(4,0) 问题1:求直线AB 的解析式及△AOB 的面积. 问题2: 当x 满足什么条件时,y ＞0,y ＝0,y ＜0,0＜y ＜4 二、课堂探究：问题3:在x 轴上是否存在一点P,使 若存在,请求出P 点坐标,若不存在,请说明理由. 问题4:求直线AB 上是否存在一点E,使点E 到x 轴的距离等于1.5,若存在求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由. 问题5:求直线AB 上是否存在一点F,使点F 到y 轴的距离等0.6,若存在求出点F 的坐标,若不存在,请说明理由. 问题6：在AB 上是否存在一点G,使 A O B B O G S S ΛΛ=21 若存在,请求出G 点坐标,若不存在, 请说明理由. 3=ΛPAB S

问题7: 在AB 上是否存在一点H,使 A O B A O H S S ΛΛ=41 若存在,请求出H 点坐标,若不存在,请说 明理由. 三．课后巩固练习：直线: 232-=x y 分别交x 轴,y 轴于A,B 两点,O 为原点. (1)求△AOB 的面积; (2)过AOB 的顶点,能不能画出直线把△AOB 分成面积相等的两部分?写出这样的直线所对应 的函数解析式

利用数形结合求解函数问题

利用"数形结合"求解函数问题 摘要:"数形结合"思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对中学数学中的函数问题，谈谈如 何运用"数形结合"的思想解题。 关键词：数形结合、图形、函数。 著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分离万事休。"有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。下面就函数的几个方面进行研究。 1、利用数形结合求函数的定义域。 面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。 例1：已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域。分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。如图 A∩B 解：∵函数f(x)的定义域为[a,b] ∴a≤x≤b 若使f(x)e有意义，必须有a≤－x≤b，即有－b≤x≤－a ∵a＜0＜b ∴－b＜0＜－a 又∵|a|＞b＞0 ∴.a＜－b ∴函数g(x)的定义域{x|a≤x≤b}∩{x|－b≤x≤－a}={x|－b≤x≤b} 小结：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，要是象上面的求解，画出图形有助于解题。 2、利用数形结合求函数的值域。 对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。 例2．求函数y=|x+3|－|x+1|的值域。 分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围

(完整版)一次函数的解题技巧

一次函数的解题技巧 一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明： 一：数形结合思想 例1 如图，直线y=ax+b经过点A（-1，-2）和B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式0 2≤ +

二：函数思想 通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。 例2 育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：?学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）． （1）分别写出y1，y2的函数表达式； （2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？ （3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由． 解：（1）y1=8x，y2=4x+120． （2）y1=y2，则x=30． （3）当x=50时，y1=400，y2=320， ∴y2

函数和方程、数形结合

高中数学思想—函数和方程、数形结合 知识点：函数与方程，数形结合的数学思想 考点：几种常见题型：构造函数，不等式，最值问题，位置关系 能力：变量间关系的理解和分析；数学语言与直观的图像结合 方法：启发式 教学重难点：变量间关系的理解和分析 第一讲函数与方程思想 1．函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数与方程思想解决的相关问题 （1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； ②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。 （2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式； ②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用； ③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题。 5.导数函数在解题中常用的有关结论（需要熟记）： 1、曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为 000()()()y f x x x f x '=-+。 2、若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 3、对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 4、函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）. 5、函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>） 。 6、 ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或

中考一次函数与不等式数形结合专题讲义(附答案)

中考一次函数与不等式数形结合专题 一次函数与正比列函数的的概念： 1. 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2. 如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数。当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数． 一次函数的图像与性质： 1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条 直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常 取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－b k ，0）就行了． 2.一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）?个单位得到一次 函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同 步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－b k ，0）， 与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S△=1 2 ·│－ b k │·│ b│． 例1 一次函数y=kx+3?的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．答案：k=±? 例2.已知直线L1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）． （1）求直线L1的解析式； （2）若△APB的面积为3，求m的值． 答案：（1）y=x+1；（2）m=1或m=﹣3 例3.如图，直线y=kx+b经过A(-3,0)和B（2，m 式组2x+m-4﹤kx+b≤0的解集为__________

数形结合法求函数值域

数形结合法求函数值域 数形结合法求函数的值域就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。其题型特点是这些函数的解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式或直线的斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然。在实际生活中应用广泛。 例1、求函数12y x x =-++的值域。 分析：函数12y x x =-++可以看成数轴上点()p x 到定点()1A ，()2B -的距离的和。因此，根据其几何意义，可以利用数形结合法来求解。 解：函数12y x x =-++可以看成数轴上点()p x 到定点()1A ，()2B -的距离的和。由下图可知：当点()p x 在线段AB 上时，12y x x =-++=AB =3； 当点()p x 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，12y x x =-++>AB =3 ∴函数12y x x =-++的值域为 [3，+∞）。 例2、求函数102422++++= x x x y 的值域。 分析：函数102422++++= x x x y = ，显然y 可以看成是点(,0)p x 到点(0,2)A 的距离与点(,0)p x 到点(1,3)B -的距离的和。而点)0,(x p 是x 轴上的任意一点，因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围。 解函数102422++++=x x x y = 把y 可以看成是点(,0)p x 到点(0,2)A 的距离与点(,0)p x 到点(1,3)B -的距离的和。而点)0,(x p 是x 轴上的任意一点，从图4可以 看出：当(,0)p x 在x 轴上 AB ≥

数形结合思想在二次函数中应用 小专题

专题二二次函数中的数形结合 一、选择题 1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点 2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（） A．B．C．D． 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2． 其中，正确结论的个数是（） A． 0 B．1 C． 2 D．3 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）， 其中正确结论的个数是（） A．4个B． 3个 C． 2个D． 1个 5．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10， 8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h可能为 ( )

A．1 B．3 C．5 D．7 7．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（） 8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） ．或C或或﹣或9．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： 下列结论： （1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二.填空题 11．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为． 13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： 则当y＜5时，x的取值范围是． 14．如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是．

函数性质及数形结合讲义

函数性质及数形结合 一：学生情况及其分析：上海高三学生，已复习完函数的性质，对于基本题型掌握的很好，那我就横向拓展乐，学生易于沟通（这种性格好的学生人品好啊，因为碰到了我，嘿嘿），成绩在好一点的市重点偏上，思维不是很活跃，但是易于接受。 二：教学目的：本节课的目的在于分析不同类型的函数，如何利用函数的基本性质解题，如何识别并避免问题的陷阱？学习用数形结合这种思想解题时碰到的常见的题型，以此提升学生的数形能力。（能力好重要额） 三：教学设计： 1，教学回顾：如何定义函数的奇偶性，周期性？又如何判断？ 由奇偶性或周期性如何求函数的解析式？（忘了就嘿嘿嘿嘿） 2，教学过程： 易错点的讲解：例1设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时, 2 ()97a f x x x =++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 分析：啊？又是恒成立问题，太老土了，亲，有陷阱呢？你看到了吗？ 例2已知函数 ()122015122015f x x x x x x x =+++++++-+-++-()x ∈R ， 且2(1)(21)f a a f a --=-，则满足条件的所有a 有 分析：该如何分析这个特殊函数的性质？如何解抽象不等式呢？陷阱又在哪里？ 吐槽：到处都是陷阱，数学好黑暗啊，嘿嘿，我很阴险呢 推广： 例3函数1111()=1232015 f x x x x x +++??????+++++的图像的对称中心的坐标为 。 分析：找函数的对称性有哪些常用的方法？本题结合这个特殊的形似能否开辟捷径？

吐槽：果然，数学中有捷径，哈哈，开心 函数的周期性： 例4如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为. （1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度； （2）写出函数的表达式；研究该函数的性质 分析：是否能用实验的方法找函数的解析式？如何分析韩式的性质？如何利用周期性分析函数的性质？ 吐槽：数学也要做实验呢，想象力的攀升也要梯子额 类周期性： 例5：设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都 ?()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f x x =（ ）是“似周期函数”； ③函数2x f x =﹣（）是“似周期函数”； ④如果函数f x cos x ω=（ ）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号） 分析：在处理函数的类周期性时要做到两看，什么是两看？ 狂力吐槽：换个衣服而已，形变神不变呢？老土。 中场休息的时候又到了，，，，，，，，，，，来一个笑话打破我们平静而又严肃的课堂氛围O(∩_∩)O ： 可以随便发挥我们侃大山的本领了，尽情狂欢吧：来一首歌吧，或者来一曲舞蹈，你花前，我月下，要不私奔吧。。。。。 xOy 1PABC PABC x P ()y x P ,()y f x =(),R y f x x =∈m m 0x m ≤≤P l [](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈

函数不等式中的数形结合

函数不等式中的数形结合 【知识要点】 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了． 解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法．函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法． 解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路． 【问题研究】 1． 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示， 则b 的取值范围是（ ）A （A ）)0,(-∞∈b （B ）)1,0(∈b （C ）)2,1(∈b （D ）),2(+∞∈b 2．在直角坐标系中,函数2 23 a x a y += )0(为常数>a 所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( )A 3．设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是（ ）C A.(][)+∞-∞-,11, B.(][)+∞-∞-,01, C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 分析：本题为复合函数，()x g 相当于()f x 中的x 的值， 结合函数的图象，可以求得()x g 的值域． 解：作出函数()f x 的图象如图所示，由图知 当(] [),10,x ∈-∞-+∞时，函数()f x 的值域

一次函数之数形结合(一次函数)

第十三讲：一次函数之数形结合 一、 知识提要 1. 行程问题：用一次函数解决图表类问题，抓住两个关键点： ① 特殊点（两直线交点，与x ，y 轴的交点）的坐标所代表的含义； ② 一次函数的表达式. 2. 动点问题：通过在坐标系里找图形的几何特征，利用几何特征解决问题. 二、专项训练 1. （2011南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的 缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系． （1） 小亮行走的总路程是____________m ，他途中休息了________min ． （2） ①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式； ②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少 > 2. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶 的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： ) （1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少 小时 30 50 1950 3600 80 x /min y /m O A C D > 900

一次函数之数形结合一次函数

第十三讲：一次函数之数形结合 一、 知识提要 1. 行程问题:用一次函数解决图表类问题，抓住两个关键点： ① 特殊点（两直线交点，与x ，y 轴的交点)的坐标所代表的含义; ② 一次函数的表达式. 2. 动点问题：通过在坐标系里找图形的几何特征，利用几何特征解决问题. 二、专项训练 1. （2011南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的 缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车,缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系． （1） 小亮行走的总路程是____________m ，他途中休息了________min ． （2） ①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式； ②当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少？ 2. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发，设慢车行驶的 时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2)请解释图中点B 的实际意义； （3)求慢车和快车的速度； (4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 3. 一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行 30 50 1950 3600 80 x /min y /m O A B C D O y /km 900 12 x/h 4

数形结合思想方法(新课标)

数形结合思想方法 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.2 230 13x x kx k k ++=-若关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围。 分析：2 ()23f x x kx k x =++令，其图象与轴交点的横坐标就是方程 ()0f x =()13y f x =-的解，由的图象可知，要使二根都在，之间， (1)0f ->只需， (3)0f >，()()02b f f k a -=-<同时成立. 10(10)k k -<<∈-解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 20 20202

例析数形结合思想在一次函数中的应用

例析数形结合思想在一次函数中的应用 宁波市曙光中学陈怡颖 数与形，是两个最古老，最基本的研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。数形结合，就是把问题的数量关系转化为图形的性质，把图形性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。它主要有两个方面：以“数”解“形”，以“形”助“数”。 一次函数是初中数学的一个重点，数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。本文结合教学实践，谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。 一、以“数”解“形”——把复杂的过程简单化 函数图象形象地展示了函数的性质，为我们研究数量关系提供了“形”的基础，因此在这类一次函数的问题中，我们应抓住特殊的点，及其所表示的实际意义，从而把复杂的过程简单化，把几何的问题代数化。 例1，如图所示，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是（） A.12.5 B.25 C.12.5a D.25a 分析：此题初看比较复杂，从几何的角度解题，首先想 到的是平移，但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全 等的，无法通过平移转移到同一个三角形中；如果把图中8 条直线15个交点坐标都求出来，计算量太大，不可行。但仔 细分析可以发现，这些梯形的顶点都在一次函数图象上，因此 它们满足函数解析式，而这三个一次函数解析式又是有联系 的，以最右边的阴影部分梯形为例，虽然它与下面的空白部分 梯形并不全等，但它们的上底都是4，下底都是5，可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定，梯形的高为1，因此它们的面积是相等的。其余阴影部分的面积亦同理可得。因此这里阴影部分的面积就是，直线y=ax，y=（a+1）x，x=5所围成的三角形面积。 ? + - = ÷ （，故选A。 S） a ? ∴a 5 2 12 5. ÷ 5 5= 2 5 1 解此题的关键在于，把不规则的图形转化为规则的图形，光从“形”的角度无法从平移实现，那么就要借助“数”，通过一次函数图象上的点满足解析式，以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。 例2，如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（-2，-1），B（1，3）两点，并且交x 轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数解析式； （2）求线段CD的长； （3）求∠AOB的度数。 分析：（1）是基础题，根据两点确定一条直线， 用待定系数法把A，B两点代入即可得函数解析式。（2） 要求CD的长，可根据C，D两点的坐标所表示的几何 意义得到线段OD，OC的长度，通过解直角三角形来解 决。在（3）中，△AOB是个钝角三角形，直接求∠AOB 的度数比较复杂，可以转化为求它的补角。且题中各点的坐标已知，可以用坐标的几何意义

函数中的数形结合思想

函数中的数形结合思想 “数少形时缺直观，形少数时难入微”，它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系；数形结合思想是重要的数学思想，它是分析问题的思路基础. 因此，每年高考一定会重点考查，本文主要谈一下函数中的数形结合思想. 一、函数中的由数到形 由数到形是函数中数形结合的第一步，面对一个函数可以思考到其图形的特征，并能抓住这个特征进行深入分析，只有如此，才可能在函数中应用到数形结合思想. 例1．设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（） 解析：看看函数式，可以发现x→+∞时，y→+∞，再看图形特征，立即排除A、B；再看a

解析：首先由函数的定义域可得ex≠e-x?圯x≠-x?圯x ≠0，看看图形，立即排除C、D.再由y′==-<0，即函数递减，选A. 点评：本题若是想先作出图形，再对照选项选出结论的话，可能永远无法达到目的，由数到形，为我们求解此类问题开辟新的通道. 二、初等函数图形的应用 初等函数是我们接触到最为基础的函数，也是最为重要的函数，高考对其考查也相当频繁，因此，掌握初等函数的图形应用是在函数中应用数形结合思想的重要基础. 例3．当a>1时，函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数（） A．可能是0个、1个或2个 B．只可能是2个 C．只可能是0个 D．可以是3个 解析：假定y=ax与y=x相切于（x0，y0），则切线方程为y-a=a（lna）•（x-x0），因为过原点，得x0=，而x0=y0=a，所以=a，从而a=e，那么： （1）若a>e时，y=ax与y=x没有交点，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为0； （2）若a=e时，y=ax与y=x相切，故函数y=ax与函数

数形结合函数关系

图④图③ 图②图①P N M A C B B C A A C B B C A 教师： 学生： 时间: 2016 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析： 数形结合至函数关系似的列法 1．已知一直角三角形纸片ABC （如图①），∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4。折叠该纸片，使点B 落在边 AC 上，折痕与边BC 交于点M ，与边AB 交于点N 。 （1）若折叠后，点B 与点C 重合，试在图②中画出大致图形，并求点C 与点N 的距离； （2）若折叠后，点B 与点A 重合，试在图③中画出大致图形，并求CM 的长； （2）若折叠后点B 落在边AC 上的点P 处（如图④），设CP ＝x ，CM ＝y ，求出y 关于x 的函数关系式， 并写出定义域。 教育个性化辅导授课案 gggggggggggganggang

2、已知：如图，正比例函数ax y =的图像与反比例函数x k y =的图像交于点A (3,2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像回答：在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值? （3）)(n m M ，是反比例函数图像上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由． 3、小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图1、图2．图1中， 90,30,5cm B A BC ∠=?∠=?=；图2中，90,45,3cm D E DE ∠=?∠=?=．图3是小刘同学所做的一个实验： 他将DEF ?的直角边DE 与ABC ?的斜边AC 重合在一起，并将DEF ?沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）． （1）在DEF ?沿AC 方向移动的过程中，小刘同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐_______； （填“不变”、“变大”或“变小”） （2）小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题： 问题①：当DEF ?移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行? 问题②：当DEF ?移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角 形是直角三角形? 请你分别完成上述两个问题的解答过程． A M B C O D x y A B C F D E A B C F D E

一次函数与几何的结合

一次函数复习(三) ──一次函数与几何的结合 一、以代数为中心的数形结合问题 1、如图，在平面直角坐标系中，直线22y x =+ 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转0 90至点C ， (1)求直线AC 的解析式； (2)若C 、D 两点关于直线AB 对称，求D 点坐标； (3)若AC 交x 轴于M ，点P 5 (,)2 m - 为BC 上一点， 在线段BM 上是否存在点N ，使PN 平分△BCM 的面积？若存在，求N 点的坐标；若不存在，说明理由。 2、(1)如图1，直线AB 的解析式1 1,(0,2)3 y x C =+ ，直线1y kx =-交AB 于G 点，交AC 于N 点，且MN =MG ，求k . (2) 如图2，直线AB 的解析式1 1,(0,2)3 y x C =+ ，直线y kx k =+交AB 于E 点，交AC 于F 点，且PE =PF ，求k .

3、已知，如图1，在平面直角坐标系中，直线1:4l y x =-+ 与坐标轴分别相交于点A 、B ，与直线 21 :3 l y x =相交于点C. (1)求点C 的坐标； (2)如图1，平行于y 轴的直线x a =交直线1l 于点E ，交直线2l 于点D ，交x 轴于M ，若DE =2DM ，求a 的值； (3)如图2，点P 是第四象限内一点，且∠BPO =0 135，连接AP ，探究AP 与BP 之间的位置关系，并证明你的结论。 4、如图，直线4y x =+与坐标轴交于A 、B 两点，BD 平分∠ABO ，交y 轴于D ，OE ⊥BD 于AB 于E 点，点F 在OB 上，且OF =AE ，AF 与OE 相交于M 点. 求证：(1)AE =OD ； (2)DM ⊥AF

函数数形结合典例及练习

函数经典解题方法--数形结合 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式() ()x y -+-=21422代表圆。 一、图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222= +=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数???=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式12>++c x x 的解集为R ，如果P 与Q 有且仅有一个正确，试求c 的范围。

高中数形结合问题总结知识讲解

高中数形结合问题总 结

数形结合思想在高中数学中的应用 灵宝实验高中 王少辉 一、什么是“数形结合思想”？ 数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。 二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？ “数”和“形”是数学研究的两个基本对象。 数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等； 形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。 既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题： ①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题 三、数形结合思想应用举例 （一）在集合中的应用 【知识点】集合的基本运算 在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。 【例1】 (1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤=I I I (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1