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高数习题5

4.5

A 组

1 (1) 令2

()3120f x x x '=+=得驻点120,4x x ==-，取驻点及区间端点处函数值得出最小值()02f =-，最大值()379f =； (2) 令[]1(),0.01,100f x x x x =+

∈；21()1f x x

'=-得驻点121,1x x ==-，取驻点及区间端点处函数值得出最小值()12f =，最大值()()100011000.01100f f ==； (3) 令()sin 2,,22f x x x x ππ??=-∈-????

；()2cos 21f x x '=-得驻点12,22x x ππ==-，34,33x x π

==-取驻点及区间端点处函数值得出最小值22f ππ??=- ???

，最大值22

f ππ??-= ???； (4) 令[]1

()0,41x f x x x -=∈+；()22

()01f x x '=>+函数单调增加最小值()01f =-，

最大值()345

f =。 2 解由2V r h π=，得2V h r π=，所以罐表面积为222222V S r rh r r

πππ=+=+， 224V S r r π'=-，令2240V S r r

π'=-=

得唯一驻点r =

在于唯一驻点处，即r =

22h r == 3 解设长为x ，则宽为623x -，求采光效果最好即求面积最大

623x S x -=?，求导得2(32)03S x '=-=得极值点为

32x =，故长为32、宽为1时采光效果最好。 4 略

5 解：设售价为x 时销售收入()F x 最多，由题意得

20()1080(350)5F x x x ??=?+- ???，求

导得()248080F x x '=-=，得极值点310x =，答销量为1240时销售收入最多为384400。 6 解由()cos sin F m F ααμ=-得0cos sin 2m F μπααμα??=≤≤ ?+??

， ()

()2sin cos cos sin m F μαμααμα-'=+，驻点为arctan αμ=。

因为F 的最小值一定在(0,)2π内取得，而F 在(0,)2π

内只有一个驻点arctan αμ=，所以arctan αμ=一定也是F 的最小值点. 从而当arctan 0.2514α== 时，力F 最小。

B 组

1 C

2 证明：设 ()(1)1f x x x λλ=+--求导得11()(1)((1)1)0f x x x λλλλλ--'=+-=+->所

以()f x 单调增加，即()(1)10f x f λ≥-=-≥，则不等式(1)1x x λλ+≥+得证。

3 设数据差的平方和为22212()()()()n D x x x x x x x =-+-++-

求导得12()2()2()2()0n D x x x x x x x '=-+-++-= ，得12n x x x x n

+++=

为极小值点，实际问题即为最小值点。

4 解：设漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为

l R ?=?，2R r ?π?=，h =

漏斗的容积为21(02)3V hr π?π==<<

322

V '= 驻点为3?= 由问题的实际意义，V 一定在(0.2)π内取得最大值, 而V 在(0.2)π内只有一个驻点,所以

该驻点一定也是最大值点. 因此当?=时, 漏斗的容积最大。 5 解设吊臂对地面的倾角为?时，屋架能够吊到的最大高度为h 在直角三角形中 15sin ( 1.5)23tan h ??=-++ 因此15sin 3tan 0.5h ??=--215cos 3sec h ??'=-,

令0h '=得唯一驻点

54?=≈ ，实际问题即为所求，此时7.5h ≈。所以把此屋最高能水平地吊至7.5m 高，现只要求水平地吊到6m 处，当然能吊上去。

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是同阶无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高数习题第五章习题黄立宏第4版

习题5-2 1. 求下列各曲线所围图形的面积：（1） y =1 2x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；解：如图D 1=D 2 解方程组?????y =12x 2 x 2+y 2=8 得交点A (2，2) (1) D 1=??02????8-x 2-12x 2d x =π+23 ∴ D 1+D 2=2π+4 3, D 3+D 4=8π-??? ?2π+43=6π-4 3．（2） y =1 x 与直线y =x 及x =2；解： D 1=??12??? ?x -1x d x =????12x 2-ln x 2 1=32-ln2. (2) （3） y =e x ，y =e -x 与直线x =1；解：D =??01()e x -e -x d x =e+1e -2． (3) （4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)；解：D =? ?l n a l n b e y d y =b -a ． (4)

（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；解：解方程组 ? ? ?y=x2 y=-x2+2得交点(1，1)，(-1，1) D=?? -1 1() -x2+2-x2d x=4?? 1() -x2+1d x= 8 3． (5) （6）y=sin x，y=cos x及直线x= π 4，x= 9 4 π；解：D=2 ? ? ? ? π 4 5π 4(sin x-cos x)d x=2[] -cos x-sin x 5π 4 π 4 =42． (6) （7）抛物线y=-x2+4x-3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=-2． ∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y=4x-3 在(3，0)处的切线是y=-2x+6 两切线交点是( 3 2，3)．故所求面积为 (7) ()()()() () 3 3 22 2 3 2 3 3 22 2 3 2 4343d2643d d69d 9 . 4 D x x x x x x x x x x x x x ????=---+-+-+--+- ????=+-+ = ?? ?? （8）摆线x=a(t-sin t)，y=a(1-cos t)的一拱(0≤t≤2π)与x轴，这里a为正常数；解：当t=0时，x=0, 当t=2π时，x=2πa．所以

大一高等数学复习题含答案

复习题一、单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导：得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为（ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的（ B ） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

高数题库

武科院试题一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有（A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在（D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题一、填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

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高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

42 / 9 第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、填空题：在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ．答：( ) 第二节微积分基本公式一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．

43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节定积分的换元法和分部积分法

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

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华中师大学网络教育《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )

A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

第五章定积分第一节定积分的概念与性质答: 第二节微积分基本公式 2. ：(2x 3x2)dx 0(k 0)，则k 答: 三、试解下列各题： 1 .积分中值定理! f (x)dx f( )(b a a), 其中： (A)是a, b上任一点；(B)是a, b上必定存在的某一点 (C)是a, b唯一的某点；(D)是a, b的中点. 2.曲线x y e与该曲线过原点的切线及y轴所围成图形的面积值为： (A) 1 x (e 0 \ ex) dx; (B) e 1 (l ny yl ny)dy； (C) e x (e 1 \ xe x)dx ；(D)1 (l ny yln y)dy . 一、填空题： 1 _________ 1 __________________ 在.1 x3dx与x4dx中值比较大的是 0 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 答: 二、选择题(单选)： b 二、选择题(单选)：若f (x)为可导函数，且已知f(0) 0, (A) 0 ; f (0) f(t)dt (C)2 ; (D)不存在. 一、填空题： 42 / 9

x21,x 1 ， 2 1.设f(x) 1 3 ，求0 f(x)dx . x , x 1 2 43 / 9

44 / 9 (1)F'(x) 2 ; ⑵方程f (x) 0在(a, b)内有且仅有一个根. 第三节定积分的换元法和分部积分法 2.设 f(x) sin x, 0 x 2 ，求(x) f (t)dt 在( )上的表达式. 0, x 0, x 四、设f (x)在［a,b ］上连续，且f(x) 0 , F(x) x dt b 帀 ?证明:

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