误差理论
（二）
误差的分类
? 系统误差
? 偶然误差（随机误差） ? 粗差（过失误差）
系统误差是由于实验系统的原因，在测量过程中造成的误差。
? 来源：仪器误差、环境误差、方法误差、个人习惯误差。
? 特点：误差的大小和符号总是保持恒定，或按一定规律以可约定的方式变化 。 ? 消除方法：找出原因，在实验前或实验后加以修正。
仪器误差
例如电表的零点误差
? 修正：接入电路前，先调机械零点。
操作者偏视习惯造成的系统误差及其消除方法
偶然误差是由某些偶然的或不确定的因素，在测量过程中造成的误差。
? 来源：环境和实验条件的无规则变化。
? 特点：偶然误差的量值和符号以不可约定的方式变化着，对每次测量值来说，其变
化是无规则的，但对大量测量值，其变化则服从确定的统计分布（正态分布）规律。
偶然误差服从的正态分布特点
? 单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。
? 对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等。 ? 有界性：绝对值非常大的正、负误差出现的概率趋于零。 ? 标准误差的定义：
标准误差的统计意义：系统误差已消除的条件下，在n 足够大的n 次重复测量中，任一次测量偶然误差的绝对值小于σ的概率为68.27%，小于2 σ的概率为95.45%，小于3 σ的概率为99.73%
定量描述偶然误差的可能范围与可信程度！
预估并减小偶然误差的原则
? 偶然误差预估：至少先重复测量3次！
? 重复测量显示值完全一致时，表明偶然误差小于测量仪器的分辨能力；
? 各次重复测量值在仅最小的1～2位数量级上有差别，表明偶然误差大小与测量仪
器的精度匹配正常；
? 减小偶然误差对测量结果影响的原则——增加重复测量次数，一般重复5～10次即
可。测量值波动范围越大，则需重复次数越多。以测量平均值作为测量结果的最佳估计值。以标准偏差代替标准误差来评估偶然误差的范围与可信度。
粗差（过失误差）
测量值明显地偏离正常测量值的异常误差，称为粗差。
? 来源：使用仪器方法不对；粗心大意，记录出错；实验条件突变等。
? 消除方法：按一定的科学标准鉴别和剔除。例如当重复测量次数较多时，若某一次
测量值与测量平均值的偏差绝对值大于3倍标准偏差时，则可以认为该测量值是坏数据而剔除。
一、测量结果的表达方式
? 测量的目的是想获得被测物理量的真值！
? 由于测量误差不可避免，使真值无法确定，也无法确定误差的具体大小。
? 因此只能通过科学的数据处理方法求出实验的最佳估计值及其不确定度，并把测量
结果表达为：
n n
i i ∑
==1
2εσ
X = X 测±Δ（单位）
X = X 测±Δ表达的含义及格式
? 表示真值以一定的概率存在于X 测±Δ范围内；
? 同一项测量结果对应不同的置信概率要求，不确定度Δ的估算值也不同，通常要求
的概率值越高，对应的Δ值越大。
? Δ值通常只保留最大一位非零数，尾数只进不舍，例如计算结果是0.051，保留结果
是0.06。
? X 测保留的末位数与Δ的非零数位同数量级，例：L =3.566 ±0.007(mm)
二、不确定度的基本概念与估算原则
? 产生测量误差的原因通常不是单一的，因此需要估算对应每种误差来源的不确定度
分量。
? 根据估算方法将不确定度分量分为两类： ? 用统计方法估算的分量——A 类， 记为ΔAi ? 用其他方法估算的分量——B 类， 记为ΔBj
? 不确定度Δ是以上两类所有分量的合成，若各ΔAi 、ΔBi 相互独立，并具有相同的
置信概率，则
三 、直接测量的不确定度估算
? （一）单次测量的不确定度
? 当实际情况不满足重复测量要求的条件或不需要多次重复测量时，才采取单次测量
的处理方式。
? 单次测量的主要误差来源是仪器误差时，以仪器误差限Δ仪作为单次测量不确定
度：
? Δ=Δ仪。 ? Δ仪的含义：在正常使用下仪器示值的最大可能误差，置信概率通常为95%～99%。
物理实验常用仪器的误差限Δ仪
∑
∑?+?=?j Bj
i Ai 22
例1
? 数字万用表的Δ仪用（读数×a%+N ）的方式给出，其中a 为准确度等级，N 为显示
末位上的字数，若某数字万用表量程为20k Ω的电阻测量档的a =0.8，N =3，用该档单次测得某电阻示值为5.36 k Ω，其测量结果应如何表示？ ? 解：Δ=Δ仪=5.36×0.8%+0.03=0.073 (k Ω) ? 故测量结果：R=5.36±0.08 （ k Ω ）
（二）重复测量的不确定度估算
1、用测量值的算术平均值作为待测量X 的最佳估计值
设对某一物理量X 进行n 次等精度测量，得一列测量值X1、X2、?Xn ，其测量平均值为
（二）重复测量的不确定度估算 3、两类不确定度分量的合成
? A 类分量ΔA ≈S X ，置信概率95% ； ? B 类分量ΔA = Δ仪，置信概率95% ； ? 则测量结果的不确定度为:
例题2
? 用游标卡尺对某物体长度x 进行等精度测量10次，得测量列如下，仪器误差限为
（1）算平均值
（2）标准偏差
利用科学计算器的统计功能快速算得到上述结果！ （3）取ΔB = Δ仪算合成不确定度
1)()
(2--=≈=?∑
n x x S S n n t i
i x x p A 22
22仪
?+≈?+?=?x B A S
（4）测量结果：X=83.56±0.05 (mm)
四、间接测量量的不确定度估算
设间接测量量N是几个相互独立的直接测量量x，y，z函数，即：
?各直接测量量的测量结果为：
?问：
四、间接测量量的不确定度估算
?每个直接测量量的误差都会传递给N,若各直接测量量完全独立无关，则ΔN对应每
个直接测量误差来源都对应有一个独立分量，分别记为ΔNx，ΔNy，ΔNz。
?其中ΔNx∝Δx，其正比系数就是函数f(x,y,z)对自变量x的偏导数，故ΔNx的估算
式可以由下面的关系导出：
四、间接测量量的不确定度估算
?则ΔN 合成算式：
?
称为误差的传递系数。
)
,
,
(z
y
x
f
N=
z
y
x
z
z
y
y
x
x?
±
=
?
±
=
?
±
=
测
测
测
,
,
?
?,=
?
=
N
N
测
)
,
,
(
测
测
测
测
z
y
x
f
N=
x
Nx x
f
?
?
?
=
?
z
Nz
y
Ny y
f
y
f
?
?
?
=
?
?
?
?
=
?;
同理，
,y
x
N±
=
铜丝电阻～温度关系曲线
误差理论试卷及问题详解
《误差理论与数据处理》试卷一 一．某待测量约为 80m，要求测量误差不超过 3％，现有 1.0 级 0－300m 和 2.0 级 0－100m 的两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求？ （本题 10 分） 二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为： 1＝0.8′， 2＝1.0′， 3＝0.5′。若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少？ （本题 10 分） 三．测某一温度值 15 次，测得值如下：（单位：℃） 20.53, 20.52, 20.50, 20.52, 20.53, 20.53, 20.50, 20.49, 20.49, 20.51, 20.53, 20.52, 20.49, 20.40, 20.50 已知温度计的系统误差为-0.05℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判 断该测量列是否含有粗大误差。要求置信概率 P=99.73%，求温度的测量结 果。（本题 18 分） 四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为： l 1 1 (10.000 0.0004) mm; l 2 2 (1.010 0.0003) mm; l 3 3 (1.001 0.0001) mm 求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ ij 0 ）。（本题 10 分）五．某位移传感器的位移 x与输出电压 y的一组观测值如下：（单位略） x y 1 0.1051 5 0.5262 10 1.0521 15 1.5775 20 2.1031 25 2.6287 设 x无误差，求 y对 x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）（本题 15 分） 六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有： ①仪器示值误差不超过 0.15v，按均匀分布，其相对标准差为 25%； ②电流测量的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 0.05 v; ③仪器分辨率为 0.10v，按均匀分布，其相对标准差为 15% 。
中国计量学院现代科技学院《误差理论与数据处理》考试题型
一、填空题 1、测量误差等于 测得值 与真值之差。 2、误差的来源包括 测量装置误差 、人员误差 、 环境误差 、方法误差。 3、按误差的性质与特点，可将误差分为 系统误差、 随机误差 、 粗大误差 三类。 4、保留三位有效数字时3.1415应为 3.14 ，0.3145应为 0.314 。 5、扩展不确定度U 由合成标准不确定度Uc 乘以 包含因子 k 得到。 6、量块的公称尺寸为10mm ，实际尺寸为10.001mm ，若按公称尺寸使用，始终会存在-0.001 mm 的系统误差。采用修正方法消除，则修正值为 +0.001 mm 。当用此量块作为标准件 测得圆柱体直径为10.002mm ，则此圆柱体的最可信赖值为 10.003 mm 。 7、设校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电阻Ω±Ωμ129000742 .10，测量结果服从正态分布，置信水平为99％,则其标准不确定度u 为 0.00005Ω 。这属于 B 类 评定。 二、选择题 1、 2.5级电压表是指其（ c ）为2.5%。 A ．绝对误差 B ．相对误差 C ．引用误差 D ．误差绝对值 2、 用算术平均值作为被测量的最佳估计值是为了减少（ B ）的影响。 A ．系统误差 B ．随机误差 C ．粗大误差 3、 单位权化的实质是：使任何一个量值乘以（ B ），得到新的量值的权数为1。 A ．P B ．21/σ C D ．1/σ 4、 对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量 结果总标准差的（ c ）。 A ．1/3~1/4 B ．1/3~1/8 C ．1/3~1/10 D ．1/4~1/10 5、 判别粗大误差的3σ准则称为（ c ）。 A ．罗曼诺夫斯基准则 B ．荻克松准则 C ．莱以特准则 6、不确定度用合成标准不确定度c u 表示时，测量结果为Y=100.02147(35)g ，则合成标准不确定度c u 为（ B ）。 A ．3.5 mg B ．0.35mg C ．0.35g D ．35g 7、误差和不确定度都可作为评定测量结果精度的参数，则下列结论正确的是（ C ）。 A ．误差小，则不确定度就小 B ．误差小，则不确定度就大 C ．误差小，则不确定度可能小也可能大。
误差理论与大数据处理作业
第一章绪论 １-1、研究误差的意义就是什么?简述误差理论的主要内容。 答: 研究误差的意义为: (1)正确认识误差的性质,分析误差产生的原因,以消除或减小误差; (2)正确处理测量与实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据; (3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器与测量方法,以便在最经济条件下,得到理想 的结果。 误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2、试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点就是什么？ 答:测量误差就就是测的值与被测量的真值之间的差;按照误差的特点与性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号保持恒定,或遵循一定的规律变化(大小与符号都按一定规律变化); 随机误差的特点就是在所处测量条件下,误差的绝对值与符号以不可预定方式变化; 粗大误差的特点就是可取性。 1-3、试述误差的绝对值与绝对误差有何异同,并举例说明。 答:(1)误差的绝对值都就是正数,只就是说实际尺寸与标准尺寸差别的大小数量,不反映就是“大了”还就是“小了”,只就是差别量; 绝对误差即可能就是正值也可能就是负值,指的就是实际尺寸与标准尺寸的差值。＋多少表明大了多少,－多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者就是指系统的误差未定但标准值确定的,后者就是指系统本身标准值未定。1-6.在万能测长仪上,测量某一被测件的长度为50ｍｍ,已知其最大绝对误差为 1μm,试问该被测件的真实长度为多少? 已知:L=5０,△L=1μm＝0.001mm, 解: 绝对误差=测得值－真值,即: △L=L-L =L-△Ｌ＝50-0.０01=4９、999(mｍ) 测件的真实长度Ｌ １-7、用二等标准活塞压力计测量某压力得100、2Ｐa,该压力用更准确的办法测得为100、５Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解:在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值-实际值, 即: 100.2－100、5＝-０、3( Pa)
误差理论与数据处理答案
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
误差理论与数据处理答案
《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于 真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下， 得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；
粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00 648002066018021802≈=''''''??''=''＝o
误差理论与大数据处理作业
第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数 据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理 想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm， 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L ＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 测件的真实长度Ｌ 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa）
测量误差理论的基本知识习题参考答案
5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差
第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用 第一节误差的来源与分类 一、误差的来源与误差的概念 每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。 测量值与真值之差称为误差。在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。实际上，误差仍然是存在的。 由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。 二、测量误差的分类 在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。 1．系统误差 在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。在正确的测量结果中不应包含系统误差。 2．随机(偶然)误差 随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。误差的大小以及正负误差的出现，完全由概率决定，没有理由认为误差偏向一方比偏向另一方更为可能。因此，误差与测量的次数有关，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零。因此，多次测量结果的算术平均值将更接近于真值。 3．过失误差 过失误差是一种显然与事实不符的误差，它主要由于测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起，例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。此类误差无规则可寻，只要多方注意，细心操作，过失误差就可以避免。包含过失误差的测量结果是不能采用的。 第二节系统误差
测量误差理论的基本知识习题答案.doc
5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。
误差理论与数据处理第5版_费业泰答案
第一章 绪论 1－1 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-4在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1－6 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1-6检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-8用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－9 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L 1=110mm ，其测量误差分别为 m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L 2=150mm 。 其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01%110111±=± =mm m I μ 0.0082%11092±=± =mm m I μ %008.0150123±=± =mm m I μ 123I I I <<第三种方法的测量精度最高 第二章 误差的基本性质与处理 2－4 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， %001.000001.010000 1 .0==%002.00002.05001.0501===m m m cm
误差理论
II 误差理论 1.古典误差理论与现代误差理论的区别 古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误差——研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。 在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。 古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。 2．误差理论的应用 在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。 3.为什么测量结果都带有误差？ 完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。这三方面都可能使测量产生差。所以，任何测量结果都带有误差。
4. 产生误差的原因 （1） 仪器误差； （2） 安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等； （3） 人为误差，如视差，读数过早或过迟等； （4） 方法误差（又称理论误差）。间接测量时，由于间接测 量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差， 这种误差称为间接测量误差； （5） 环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态 改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。 示例： V T H dT dp ??= Clapeyrong equation 2ln RT H dT p d m vap ?= C lausius-Clapeyrong eq. 近似性：V m (g)>>V m (l),气体为理想气体。 ln(p/p ) = -Δvap H m /RT + C 假定Δvap H m 与温度无关。 式中，C 为积分常数。有 Δvap H m = - R ·斜率 事实上，Δvap H m =f (T )，即Δvap H m 是温度的函数，有 Δvap H m /kJ ·mol -1
误差理论及数据处理大作业
《误差理论与数据处理》小作业 姓名： 学号：1120 班级：1208106班 学院：机电工程学院 日期：2016年 3月28 日
《误差理论与数据处理》小作业 姓名： 学号：11 班级：1208106班 学院：机电工程学院 作业目的：使学生充分了解误差的性质，学会数据处理方法。通过对测量精度的分析和计算，解决误差的合理分配问题，达到在最经济的条件下，得到最理想的设计和测量结 果。 作业内容：自拟一个与误差原理相关的选题 要求：1、结合工程实践的实际问题 2、理论联系实际 3、运用基本理论分析和计算 作业要求：1、题目要适当 2、基本格式：封页 标题（黑体小三居中）：字数不超过20字 摘要（黑体五号）：概述论文的核心内容（宋体五号） 作业正文（宋体五号），字数不少于1500字 3、作业统一采用A4纸，单面打印，左侧装订 4、必须独立完成作业，教师审查后评定成绩占课程总成绩的20%
多面棱体测量的极限误差 摘要：多面棱体是一种高精度标准器具，检定光学分度头等圆分度仪器的分度误差，在高精度的机械加工或测量中也可以作为角度的定位基准[1]，其检测条件是：温度20℃；大气压力101.325KPa；水蒸汽压力(湿度)1.333KPa。而在温度、湿度、大气压等条件有偏差时候，给测量也会带来一定的误差，本次通过在温度有一定波动的条件下测量多面棱体的长度，求这种测量方法的极限误差和最终的测量结果。 关键词：多面棱体、极限误差、测量结果、温度 （一）工程案例： 长度等于或小于80mm的多面棱体，测量或使用其长度时，多面棱体的轴线可竖直或水平安装。长度大于80mm的多面棱体，测量或使用其长度时，多面棱体的轴线应水平安装，这时，多面棱体一个较窄的侧面放置在分别距多面棱体两端侧量面各为0.211×L的两个横放的支柱上。测量时恒温条件为t=20±2o。10 次重复测得值（单位μm）为+0.5，+0.7，+0.4，+0.5，+0.3，+0.6，+0.5，+0.6，+1.0，+0.4。试求此测量方法的极限误差，并写出最后结果。 解：按测量顺序，用表格记下测得数据。 1、求算术平均值 2、求各测得值的残余误差（具体数据见上表格）
测量误差理论的基本知识
测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？
误差及数据处理基础理论知识综述
误差及数据处理基础理论知识综述 2009-12-1 13:45:43 误差及数据处理基础理论知识综述 前言 由于各行各业有各自的误差理论及数据处理理论，但基础理论都是一致的，大同小异。现就在检验（测量）领域的误差理论及数据处理基础知识进行理论文字上的综述，尝试作一次理论上的探讨，与各位同仁共同学习和提高，如有不妥及错误之处请各位批评指正。 一、误差基础知识 在各种测量领域，我们经常使用一些术语，例如测量误差、测量准确度和测量不确定度等来表示测量结果质量的好坏。现我们从上述三个术语的定义出发，给出这些术语的基本概念，并指出它们之间的差别，以利于正确使用这些术语。 （一）测量结果 测量结果的定义是“由测量所得到的赋予被测量的值”，因此测量结果是通过测量得到的被测量的最佳估计值。由于任何测量都存在缺陷，因而通常测量结果并不等于真值。完整表述测量结果时，必须给出其测量不确定度，必要时还应说明测量所处条件，或影响量的取值范围。以便使用者可以正确地利用该测量结果。 测量结果可能是单次测量的结果，也可能是由多次测量所得。对于前者，测得值就是测量结果；若为多次测量所得，则测得值的算术平均值才是测量结果。因此在给出测量结果时，通常说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，同时还应表明它是否为几个值的平均。 测得值，有时也称为观测值，是指从一次观测中由测量仪器或量具的显示装置中所得到的单一值。一般地说，它并不是测量结果。测量结果是指对测得值经过恰当的处理（如按一定的规则确定并剔除测得值中的离群值）、修正（指必须加上由各种原因引起的必要的修正值或乘以必要的修正因子）或经过必要的计算而得到的最后提供给用户的量值。因此测得值或观测值是测量中得到的原始数据，是测量过程的一个中间环节。对于间接测量而言，测得值或观测值往往具有和被测量不同的量纲。而测量结果则是整个测量的最
误差理论与精度分析
误差理论与精度分析 预修课程：概率论与数理统计、应用光学、仪器零件 教学目的和要求： 本科程为机电类、仪器仪表类及测试计量技术等专业研究生的专业课。本科程的主要内容共分两部分，第一部分介绍了误差理论与数据处理的基本知识，第二部分给出了精度的基本概念、设计方法及光、机、电等总体精度分析。 通过对本课程的学习，不仅使学生对仪器的精度具有分析和计算的能力，指导仪器总体设计，而且也使学生掌握了科学实验中数据处理的方法。 内容提要： 第一章误差和精度的基本概念 误差的定义及表示法，误差来源，分类及精度的含义。 第二章随机误差 随机误差的特性及等精度、不等精度测量中随机误差的估计。 第三章系统误差 系统误差的分类、发现及减小消除方法。 第四章粗大误差 粗大误差产生原因，粗大误差判别准则。 第五章函数误差及误差合成 函数随机误差和系统误差计算、误差合成。 第六章测量不确定度评定 测量不确定度基本概念、标准不确定度的评定、测量不确定度的合成、误差结果的表示。 第七章最小二乘法 最小二乘原理、线性参数最小二乘估计 第八章仪器精度基本概念 仪器参数及特性、影响仪器精度主要因素、仪器精度设计基本原则第九章仪器精度特性 仪器精度评定方法、仪器动态精度、仪器精度设计
第十章精密机构精度 轴系精度、导轨精度、齿轮机构精度 第十一章光学电气测量系统精度 测量仪器光学系统对准精度、测量仪器电器系统精度第十二章仪器总体精度分析 仪器总体精度分析方法、提高仪器精度的方法 教材： 《误差理论与精度分析》毛英泰国防工业出版社1982 主要参考书： 1．《误差理论与数据处理》费业泰机械工业出版社2004 2．《仪器精度设计》郑文学兵器工业出版社1992 撰写人：王金波长春理工大学2006年7月
误差理论论文
NANCHANG UNIVERSITY 误差理论课程论文 班级： xxxxxxxx 学号： x xx xxxxxx 学生姓名： xxxxxxx
近年误差理论相关研究的主流趋势与热点 【摘要】对近3年以来，网络中以不确定度（误差）为关键词的学术论文进行了研究。分析了以不确定度（误差）为关键词的学术论文及其相关研究主要研究的问题，主要分布的领域，有何成果或者结论。从而总结出当前相关研究的主流趋势、热点。 【关键词】误差理论；不确定度；测量；热点；领域；成果 【Abstract】In the past 3 years, the network with uncertainty (error) were studied for the keywords of academic papers. Analysis on uncertainty (error) is the main research keywords of academic papers and related research problems, main distribution areas, what are the results orconclusions. To summarize the mainstream trend, the current research hot spot. 【Key Words】error theory；trend；hotspot；field；results 引言
众所周知，在自然科学中，人们通过测量得到对事物的认识，没有测量就没有科学。测量是人类认识自然和改造自然的重要手段，在国民经济中起着重要的作用。然而我们对自然界的所有的量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素：测量装置（或测量仪器）、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象自身都不能够做到完美无缺，使得对该量的测量结果与该量的真值之间就存在一个差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。测量误差大小的评估或测量不确定度的评定（即测量误差范围的估计）正是误差理论与数据处理研究的内容.本文通过分析近三年来，中国知网上以不确定度为关键词的论文数目，主要研究的问题，主要分布的领域，有哪些成果或者结论。从而归纳总结出当前相关研究的主流趋势、热点。 1 从学术论文数量与领域分析 本文以中国知网的CNKI 数据库作为数据来源平台。并且，经过查阅发现CNKI 上不仅全面汇集我国出版的学术期刊，期刊论文收录详尽，并且容易收集资料，因此，本文最终选定以CNKI 数据库为数据收集的出发点。指定关键词为不确定度和误差，选定年限2012-2014，共搜出5474篇文献。其中以不确定度为关键词的学术论文有4421篇，以误差为关键词的论文有1627篇。 从以不确定度和误差为关键词的学术论文数量对比，可以看出测量不确定度比测量误差有更广泛的应用。正是因为测量不确定度比经典误差理论更科学、更实用，所以在世界各国的计量领域测量不确定度得到了更广泛的应用。测量不确定度与测量误差之间既有一定的联系又有一定的区别，测量误差是测量不确定度的基础，测量不确定度是经典误差理论不断发展和完善的产物。所以接下来我们从以不确定度为关键词的4421篇学术论文中分析近三年误差理论的主要研究领域。在这4421篇学术论文中主要分布领域为：化学833篇，仪器仪表工业695篇，轻工业手工业454篇，环境科学与资源利用433篇，电力工业334篇，金属
(完整版)误差理论简答题
第二部分：简答题（共30分） 一、在什么情况下适于采取多次测量结果的算数平均值方法处理测量数据？（3分） 对同一量进行多次等精度重复测量而得到的数据 二、残差与误差的区别和联系是什么？（6分） 测量的误差是表示测量结果与被测量的真实值之前的差异，而残差是指测量的结果与测量量的平均值之差，它们从本质上是不同的，但都可以从某种程度上反映被测量的测量结果的布垭确定性。 三、测量误差的数学期望和方差的意义是什么？（6分） 数学期望反映的是误差的平均特性，体现随机误差的抵偿性；方差反映误差的分散特性，方差大，不确定度大，对测量结果的影响大。 四、在实际测量中，如何减小三大误差对测量结果的影响？（8分） 三大误差包括随机误差、系统误差和粗大误差。系统误差分为确定的系统误差和不确定的系统误差，确定的系统误差可以通过修正的方法减小，而不确定的系统误差具体数值不能确切的掌握，则无法通过修正的方法来减小，可以按照统计规律来进行描述；（4分）随机误差具有一定的抵偿性，可以利用其性质取多次测量的平均值来减小误差；（2分）粗大误差在结果中不应该出现，要严格避免。粗大误差可以按照莱以特准则、格罗布斯准则等方法进行剔除。（2分） 五、按t分布确定扩展不确定度与按正态分布确定扩展不确定度有何差别与联系？（7分） 不确定度是表征误差对测量结果的影响程度的参数。当测量数据按照结果有确定的置信概率，可以按照正态分布确定扩展不确定度，当在实践中，取小子样进行实验时，由子样获得的标准差估计量获得的扩展不确定度估计量的置信概率还与该估计量的可信度有关，需要引入t，按照t分布来评定扩展不确定度。 一、合成不确定度时，在何种条件下才可以将某项分量舍弃？(3分） 在合成不确定度时，当舍弃谋一分量不确定度时，对总的不确定度的影响不大时，可以认为改分量对不确定度的合成影响很小，可以舍弃；在实际情况下，通常按照三分之一原则：即当某一不确定度分量小于合成的的总的标准不确定度的三分之一时，认为其在总的合成中，影响是微小的，可以舍弃。考虑经济方面的原因，还应以不影响合成不确定度的有效数字为限，这时可能比三分之一更小。 三、测量误差的数学期望和方差的意义是什么？（6分） 数学期望反映的是误差的平均特性，体现随机误差的抵偿性； 方差反映误差的分散特性，方差大，不确定度大，对测量结果的影响大。 四、在实际测量中，如何减小三大误差对测量结果的影响？（8分） 三大误差包括随机误差、系统误差和粗大误差。 系统误差分为确定的系统误差和不确定的系统误差，确定的系统误差可以通过修正的方法减小，而不确定的系统误差具体数值不能确切的掌握，则无法通过修正的方法来减小，可以按照统计规律来进行描述；（4分） 随机误差具有一定的抵偿性，可以利用其性质取多次测量的平均值来减小误差；（2分）
误差理论及数据处理-复习题及答案
《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，3.1*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。 5g-0.1mg 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和
_________来表示。 标准差 极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 79.830.02 V*2.58 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ 0.75 ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ 0.4 ，则两电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150)(16.0)100150(100)(222212122 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R=264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R