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函数解析式求法和值域求法总结及练习题

函数解析式求法和值域求法总结及练习题
函数解析式求法和值域求法总结及练习题

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f .

2 已知221)1(x x x x f +=+

)0(>x ,求 ()f x 的解析式.

3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f .

5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f .

6 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,

求)(x f .

配 套 练 习

求函数的解析式

例1.已知f (x )= 2

2x x -,求f (1x -)的解析式. ( 代入法 / 拼凑法 )

变式1.已知f (x )= 21x -, 求f (2x )的解析式.

变式2.已知f (x +1)=2

23x x ++,求f (x )的解析式.

例2.若f [ f (x )]=4x +3,求一次函数f (x )的解析式. ( 待定系数法 )

变式1.已知f (x )是二次函数,且()()211244f x f x x x ++-=-+,求f (x ).

例3.已知f (x )-2 f (-x )=x ,求函数f (x )的解析式. ( 消去法/ 方程组法 )

变式1.已知2 f (x )- f (-x )=x +1 ,求函数f (x )的解析式.

变式2.已知2 f (x )-f 1x ??

???

=3x ,求函数f (x )的解析式.

例4.设对任意数x ,y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++,

求f (x )的解析式. ( 赋值法 / 特殊值法)

变式1.已知对一切x ,y ∈R ,()()()21f x y f x x y y -=--+都成立,且f (0)=1, 求f (x )的解析式.

6.求下列函数的值域

①31y x =+, x ∈{1,2,3,4,5 }. ②246y x x =-+,x ∈[)1,5

变式1.求下列函数的值域

①2243y x x =-+. ②y x =

求值域经典例题

四、经典例题 例1、求下列函数的值域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为的值域;(ⅱ)转化为sinx(或cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求值域,基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察y2;(ⅱ)转化为分段函数来处理;(ⅲ)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解: (1) ∵ ∴, 即所求函数的值域为. (2)由

∴ ∴ 注意到这里x∈R,, ∴ ∴所求函数的值域为[-1,1]. (3)这里 令sinx+cosx=t 则有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此,所求函数的值域为. (4)注意到这里y>0,且 ∵

∴ 即所求函数的值域为. (5)注意到所给函数为偶函数, 又当 ∴此时 同理,当亦有. ∴所求函数的值域为. (6)令 则易见f(x)为偶函数,且 ∴是f(x)的一个正周期.① 只需求出f(x)在一个周期上的取值范围. 当x∈[0,]时, 又注意到, ∴x=为f(x)图象的一条对称轴②∴只需求出f(x)在[0,]上的最大值. 而在[0,]上,递增.③ 亦递增④∴由③④得f(x)在[0,]上单调递增.

∴ 即⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为. 点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法;解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致. 例2、求下列函数的周期: (1); (2); (3); (4); (5) 分析:与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为+k的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况下,设法转化为分段函数来处理. 解: (1) = = ∴所求最小正周期. (2)

函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号整体的取值围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用,从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件 a≤g(x)≤b的x的取值围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时,g(x)的取值围。 定义域是X的取值围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的围相同。 ():f(x),f[g(x)] 题型一已知的定义域求的定义域 () ():f g x,f(x) ?? ?? 题型二已知的定义域求的定义域 ()[] ():f g x,f h(x) ?? ?? 题型三已知的定义域求的定义域 () []()[])x(h f x f x g f→ →

()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

值域经典题型

值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11, -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。

值域的求法加强练习题 解答题(共10小题) 1.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,求A∩B和(C R A)∩(C R B). 2.已知函数f(x)=x2﹣bx+3,且f(0)=f(4). (1)求函数y=f(x)的零点,写出满足条件f(x)<0的x的集合; (2)求函数y=f(x)在区间(0,3]上的值域. 3.求函数的值域:. 4.求下列函数的值域: (1)y=3x2﹣x+2;(2);(3); (4);(5)(6); 5.求下列函数的值域 (1); (2); (3)x∈[0,3]且x≠1;

(4). 6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|. 7.求下列函数的值域. (1)y=﹣x2+x+2;(2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];(3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2];(4)y=.8.已知函数f(x)=22x+2x+1+3,求f(x)的值域. 9.已知f(x)的值域为,求y=的值域. 10.设的值域为[﹣1,4],求a、b的值.

函数值域方法大全

值域最值专题 一.知识点 1.函数的值域的定义 在函数y=f(x)中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、基本初等函数的值域 1.一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R ,值域为R 2 2.二次函数的定义域为R , f(x) ax bx c(a 0)22(4ac b)(4ac b)当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}。 y|y y|y 4a4ak y (k 0) 3.反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}; xx+ 4.y =a(a>0且a≠1)的值域是R 5.y =logx(a>0且a≠1)的值域是R a 三.当函数y=f(x)用解析式给出时,求函数值域的方法 1.直接法分析:从自变量x 的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;(也可以利用常见函数的值域来求) 222x 0,1,2,3y x 2xx 1 1 xy 练习⑴, ⑵3 x y f(x) 2 4 x ⑶ . 答{ y| y2} ⑷ 答{ y| y R 且y -1/2} 2x 52.图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域; 222xy 2x x 1y 2x 4x 103练习⑴(≤≤) ⑵ xx y 1 x x 31f(x) 1 24 ⑶(≤≤) ⑷ 2f f(x) x 6, 2x 4x 6已知(取二者的大的函数值),则 max 3.利用函数的单调性――利用

高中函数值域求法小结

函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ]

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2

函数定义域、值域经典习题及答案88322

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: 2) y = 1 + (2 x - 1)0+ 4 - x 2 1+ 1 x -1 2、设函数 f (x )的定义域为[0,1],则函数f (x 2)的定义域为_ _ _;函数 f ( x -2) 的定义域为 _______ 3、若函数 f (x +1)的定义域为[-2,3],则函数 f (2x -1)的定义域是 ;函 数 f (1 + 2)的定义域为 。 x 4、 已知函数f (x )的定义域为[-1, 1],且函数F (x )= f (x +m )-f (x -m )的定义域存在, 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴ y = x 2 +2x -3 (x R ) ⑵ y = x 2 +2x -3 x [1,2] ⑶y =3x -1 x + 1 ⑷y = 3x -1 (x 5) x +1 三、求函数的解析式 1、 已知函数 f (x -1) = x - 4x ,求函数 f (x ), f (2x +1) 的解析式。 2、 已知 f (x )是二次函数,且 f (x +1)+ f (x -1)=2x -4x ,求 f (x )的解析式。 ⑴y = x 2 -2x -15 x +3-3 y = 2x - 6 x +2

3、已知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=3x+4,则f(x)= 。 4、设f(x)是R 上的奇函数,且当x[0,+)时,f(x)=x(1+3x),则当x(-,0)时f(x)= ________ _ f(x)在R 上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x R,且x1},f(x) 是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=1,求f(x)与g(x) 的解析表达式 x - 1 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ y= x2+2x+3 ⑵ y = -x2+2x +3 ⑶ y = x2- 6x -1 7、函数f(x)在[0,+)上是单调递减函数,则f(1-x2)的单调递增区间是 8、函数y = 2-x的递减区间是;函数y = 2-x的递减 3x + 6 3x + 6 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴y1=(x+3)(x-5),y2=x-5;⑵y1= x+1 x-1 ,y2= (x+1)(x-1) ; x+3 ⑶f (x) = x,g(x) = x2 ;⑷f (x) = x,g(x)= 3x3 ;⑸f1(x) = ( 2x-5)2 , f (x) = 2x - 5。 A、⑴、⑵ B 、⑵、 ⑶ C 、⑷D、⑶、⑸ 10、若函数f(x)= x - 4的定义域为R ,则实数 m mx2+ 4mx + 3 的取值范围是 ( ) A、(-∞,+∞) 3 B 、(0,3 ] 3 C 、(3,+∞ ) 3 D 、[0, 3 ) 11、若函数f (x) = mx2+mx+1的定义域为R,则实数m的取值范围是( )

函数值域方法

函数值域方法汇总 一.单调性法 例1.求函数x 53x y ---= 的值域 例2.求函数11--+=x x y 的值域 例3.求函数x x y -+-=53的值域 解一: 例4.已知函数.2]2,0[34)(2的值,求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解:(1)当0=a 时,舍去;,2324)2(≠-?=f (2)当↑??- =?上在时,对称轴方程为]2,0[)(02 0x f a x a 舍去,04 3 254)2(?-=?=+=?a a f ; (3)当时, 0?a 02 ?-=a x 对称轴方程为, ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈?-∈?∈-a a a 154 2384)2(-?-=?=--=-?a a a a f ,舍去 ②122-???-a a ↑?上在]2,0[)(x f 4 3-=?a 纵上,4 3 -=a 例5.求|1||3||2|-+-+-=x x x y 的值域 例6.求|2||4||1||3|-+-+-+-=x x x x y 的值域

【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y ???-++-+-= 的最值时,①n 为奇数时, 取得最小值;时,当y x x n 2 1+=②取得最小值。 时,为偶数时,当y x x x n n n ],[1 22 +∈ 例7.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y 例8.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y 【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f ???-++-+-= , ,无最大值; 时,当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i n i x f x f x f x f a =?∑= ; ,时,当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i n i x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ,无最小值。 时,当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1 n i n i x f x f x f x f a =?∑= 例9.已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0, f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 解:0)0()0()0()00(=?+=+f f f f 为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ?-=-?-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x ???+-??-??-?则令 上单调递增在R x f )(? 422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f [-4,2][-2,1])(上的值域为在x f ?

2017最新函数解析式求法和值域求法总结及练习题

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++ 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法. 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f . 解:设b ax x f +=)()0(≠a ,则 ∴???=+=342b ab a , ∴??????=-===3 212b a b a 或 . 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 . 二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式 容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法.但要注意所求函数()f x 的定义域不是原 复合函数的定义域,而是()g x 的值域. 例2 已知221)1 (x x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式.

解:2)1()1(2-+=+x x x x f Θ, 21≥+x x , 2)(2-=∴x x f )2(≥x . 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配 凑法一样,要注意所换元的定义域的变化. 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f . 解:令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t x . Q x x x f 2)1(+=+, ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x , x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x . 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式. 解:设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点. 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ,解得:???-='--='y y x x 64 , Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 , x x y '+'='∴2. 把???-='--='y y x x 64代入得:)4()4(62--+--=-x x y . 整理得672---=x x y , ∴67)(2---=x x x g . 五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造 方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f . 解 Θx x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1,得:x x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组,得:x x x f 323)(--=. 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性” 的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式. 例7 已知:1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立, 求)(x f .

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一) 求值域 一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例3.求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函 数的值域,如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法 求解。例4.求函数2y x = 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数()0>+=k x k x y 的值域(k x <<0时为减函数;k x >时为 增函数))例5.求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)例7.求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ,通过方程有实根,0≥?,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。 周期 一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数; 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案

函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域,掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 (1) 定义:定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 (2) 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时,函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数定义域要使函数有意义,同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据: ①f(x)是整式(无分母),则定义域为 ; ②f(x)是分式,则定义域为 的集合; ③f(x)是偶次根式,则定义域为 的集合; ④对数式中真数 ,当指数式、对数式底中含有变量x 时,底数 ; ⑤零次幂中, ,即x 0中 ; ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数,则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域(难点) (1)已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可 得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 (2)已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

函数定义域、值域求法的总结

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点: 一、函数最大(小)值定义 最大值:一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =. 那么,称M 是函数()y f x =的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数()y f x =的最小值的定义. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在0x I ∈,使得0()f x M =; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x I ∈,都有()(())f x M f x m ≤≥. 二、求函数最大(小)值常用的方法. 案例分析: 例1、画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈-

类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减,无最小值 B、单调递减,有最小值 B、单调递增,无最大值 D、单调递增,有最大值小试牛刀: 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. 2

()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例: 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场: 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域; 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为[3,+∞]。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y >1}) 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4], ∴0≤√(-x2+x+2)≤3/2,函数的值域是[0,3/2]。 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√(15-4x)的值域。(答案:值域为{y∣y≤3}) 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可

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