专题四

专题四 概率与统计

第1讲 排列与组合

一.考题为证

1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲，乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )

.A 12种 .B 10种 .C 9种 .D 8种

2.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )

.A 60种 .B 63种 .C 65种 .D 66种

3.两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )

.A 10种 .B 15种 .C 20种 .D 30种

4.在52

)12(x

x -的二项展开式中，x 的系数为 ( ) .A 10 .B -10 .C 40 .D -40 5.8)21

(x x +的展开式中常数项为 ( )

.A 1635 .B 835 .C 4

35 .D 105 二.核心考点

考点1：两个计数原理

考点2：排列与组合

考点3：二项式定理

热点考向聚焦

考向一：分类、分步计数原理

例1.在神舟九号飞船飞行的过程中，地面上有D C B A ,,,四个科研机构在接收其发回的重要信息，这四个科研机构两两之间互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息.某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有 ( )

.A 16种 .B 17种 .C 34种 .D 48种

变式：若自然数n 使得作加法)2()1(++++n n n 运算不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“给力数”，因为23+24+25产生进位现象，设小于1000的所有“给力数”的各数位上的数字组成集合A ,则用集合A 中的数字可组成无重复数字的四位偶数的个数是__________

考向二 排列与组合

例2：将“你能HOLD 住吗”8个汉字及英文字母填入5 ?4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原话，如图所示为一种填法，则不同的填法有 ( )

.A 32种 .B 36种 .C 35种 .D 38种

变式：某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日(即今年除夕到正月初六)值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲，乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有 ( )

.A 504种 .B 960种 .C 1008种 .D 1056种

考向三 二项式定理

例3：522

)11)(2(-+x

x 的展开式的常数项是 ( ) .A -3 .B -2 .C 2 .D 3

变式：二项式n x x )2

3(-的展开式中，第9项是常数项，则n 的值是( )

.A 4 .B 8 .C 11 .D 12

三.考技特别课堂

1.已知2012201222102012)1()1()1(++?+++++=x a x a x a a x ，2012420a a a a +?+++ 的值为( )

.A 2011 .B 2012 .C 20112 .D 2012

2 2.已知7

722107)21(x a x a x a a x +?+++=-，求:

⑴721a a a +?++

⑵7531a a a a +++

⑶||||||710a a a +?++.

四.命题猜想：

1.有5盆菊花，其中黄菊花2盆，白菊花2盆，红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( )

.A 12 .B 24 .C 36 .D 48

2.设(6622105)12()1(x a x a x a a x x +?+++=+-)，则=2a _________.

第二讲 概率、随机变量及其分布

一.考题为证

1.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )

.A 51 .B 52 .C 53 .D 5

3 2.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE 内部的概率等于 ( )

.A 41 .B 31 .C 21 .D 3

2 3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ,CB 的长，则该矩形面积大于202

cm 的概率为 ( ) .A 61 .B 31 .C 32 .D 5

4 4.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( ) .A 94 .B 31 .C 92 .D 91 5.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________(结果用最简分数表示).

二.核心考点

考点1：古典概型

考点2：几何概型

考点3：利用事件间的关系来研究事件的概率

考点4：随机变量的分布列、期望与方差

三.热点考向聚焦

考向一：古典概型

例1：有两个不透明的袋子，每个袋子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字2,0,1,2，甲从其中一个袋子中摸出1个球，乙从另1个袋子中摸出一个球，谁摸出的球标出的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率.

变式：在一次“知识竞赛”活动中，有C B A A ,,,21四道题，其中21,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题，现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答. ⑴求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；

⑵求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.

考向二：几何概型

例2：如图所示，在边长为1的正方形ABC 0中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )

.A 41 .B 51 .C 61 .D 7

1

变式：已知直线06:=-+y x AB 与抛物线2x y =及x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从AOB Rt ?区域内任取一点),(y x M ，则点M 取自阴影部分的概率为___________.

考向三：相互独立事件的概率

例3：某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为10

1和P . ⑴若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

5049，求P 的值. ⑵求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

变式：为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ 用户推出了多款QQ 应用，如QQ 农场，QQ 音乐，QQ 读书等，市场调查表明，QQ 用户在选择以上三种应用时，选择农场，音乐，读书的概率分别为6

1,31,21，现有甲、乙、丙三位QQ 用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加.

⑴求三人中恰好有两人选择QQ 音乐的概率.

⑵求三人所选择的应用互不相同的概率.

考向四：随机变量的分布列

例4：已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和.

⑴求X 的分布列

⑵求X 的数学期望).(X E

变式：某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3张卡片上的最大数字.

⑴求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

⑵求随机变量X 的分布列及数学期望.

⑶若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率.

四.考技特别课堂

1.某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种树各2棵，若香樟的成活率为54，桂花的成活率为4

3，假设每棵树成活与否是相互独立的. ⑴求两种树各成活一棵的概率.

⑵设X 表示成活的棵数，求X 的分布列及数学期望

2.为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. ⑴求4人恰好选择了同一家公园的概率.

⑵设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及数学期望.

五.命题猜想：

1.随着科技的进步，微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面，某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用，设计了一个实验：在一个棱长为1cm 的正方体的中心放置微量手术专用炸药，而爆炸的威力范围是一个半径为r 的球，则爆炸之后形成的碎片全部落在正方形内部的概率为( )

.A 6π .B 5π .C 4π .D 9

π 2.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

81的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过2

1，且他直到参加第二次考核才合格的概率为329 ⑴求小李第一次参加考核就合格的概率1P

⑵求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望)(X E .