整式的乘除知识点归纳

整 式 的 乘 除

知识点归纳:

1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,所有字母指数和叫单项式的次数。

如:bc a 22-的 系数为2-,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。

如:122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1,二次项为2a 、ab 2-,一次项为x ,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。

3、整式:单项式和多项式统称整式。

注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降)幂排列:

如:1223223--+-y xy y x x

按x 的升幂排列:3223221x y x xy y +-+--

按x 的降幂排列:1223223--+-y xy y x x

5、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数)

同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如:532)()()(b a b a b a +=+?+

6、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数)

幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253)3(=-

幂的乘方法则可以逆用:即m n n m m n a a a )()(==

如:23326)4()4(4== 已知:23a =,326b =,求3102a b +的值;

7、积的乘方法则:n

n n b a ab =)((n 是正整数)

积的乘方,等于各因数乘方的积。

如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???-

8、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m

同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷

9、零指数和负指数;

10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。

p

p a a 1=

-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如:81)21(233==- 10、科学记数法:如:0.00000721=7.216

10-?(第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方)

11、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

注意:

①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。

②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。

如:=?-xy z y x 3232

12、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,

即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)

注意:

①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。]

如:)(3)32(2y x y y x x +--

13、多项式与多项式相乘的法则;

多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。 如:)6)(5(2)3)(23(1

-+-+x x b a b a 、、 14、平方差公式:2

2))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项

公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边

是相同项的平方减去相反项的平方。

如:(a+b -1)(a -b+1)= 。计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)

15、完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=±

公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意:

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+

ab b a b a 4)()(22-+=-

222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。

如:⑴、试说明不论x,y 取何值,代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

⑵、已知 2()16,4,a b ab +==求22

3a b +与2()a b -的值.

16、三项式的完全平方公式:

bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

17、单项式的除法法则:

单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式

如:()()

b a m b a 242497÷-

18、多项式除以单项式的法则:

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。

即:c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)( 方法总结:①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式+余式

例如:已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +,余式是28a +,求这

()()()()()

()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=

个多项式。

怎样熟练运用公式:

(一)、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.

(二)、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x +2y -3z )2,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用(a -b )2=a 2-2ab +b 2来解了。

(三)、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.

常见的几种变化是:

1、位置变化 如(3x +5y )(5y -3x )交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了.

2、符号变化 如(-2m -7n )(2m -7n )变为-(2m +7n )(2m -7n )后就可用平方差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)

3、数字变化 如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)

2后就能够用乘法公式加以解答了.

4、系数变化 如(4m +2n )(2m -4n )变为2(2m +4n )(2m -4

n )后即可用平方差公式进行计算了.

5、项数变化 如(x +3y +2z )(x -3y +6z )变为(x +3y +4z -2z )(x -3y +4z +2z )后再适当分组就可以用乘法公式来解了.

(四)、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a 2+1)2·(a 2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后

再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a 2+1)(a 2-1)]2=(a 4-1)2=a 8-2a 4+1.

对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-221

)(1-231)(1-241)…(1-291)(1-2101),若分别算出各因式

的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.

相关推荐
相关主题
热门推荐