三角形中位线习题

三角形中位线练习题

（一）计算

2．已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=9厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，求△DEF的周长．

3．已知△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，△ABC的周长与△DEF的周长的和等于18厘米，求△DEF的周长．

4．已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F为BC上

5．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米，求BO的长．

6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E，F分别是AB，DB的中点，EF交DC于G，EF∶FG=1∶2，AD=7厘米，求BC的长．

7．已知△ABC中，D为BC上的一点，E，F，H，G分别是AC，CD，DB，AB的中点，EF ＋AD=6厘米，求GH的长．

8．已知△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BD，

9．已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，HF=EG，AC=4厘米，BD=2厘米，求四边形ABCD的面积．

10．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC平分∠DAB，AC⊥BC，AB=8厘米，M，N分别是AC，BD的中点，求MN的长．

11．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=12厘米，E，F分别是AB，DB的中点，延长EF交DC于G，EF=4厘米，FG=10厘米，求梯形ABCD的底角．

12．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长．

（二）证明

13．已知：如图4-108，从△ABC的顶点A向∠B，∠C的平分线引垂线，垂足分别是D，E．求证：DE∥BC．

14．已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD＜BC，E，F，P分别是BD，AC，BC的中点．求证：∠PEF=∠PFE．

15．已知：在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．求证：△DEF≌△HFE．

16．已知：在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．

17．已知：在△ABC中，AB＞AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，EG∥AD交FD

的延长线于G．求证：AB=GF．

18．已知：△ABC中，AB＞AC，CD平分∠ACB，AD⊥DC，F为AC的中点，延长FD交AB 于E点．求证：

19．已知：△ABC中，E为AC上一点，AE=2CE，D为AB的中

20．已知：在△ABC中，中线BE，CF交于O点，G，H分别是OB，OC的中点．求证：FG∥EH．

21．已知：如图4-109，E，F分别是AB，AC的中点，延长EF交∠ACD的平分线于G 点．求证：AG⊥CG．

22．证明：四边形两组对边中点连线互相平分．

23．已知：在矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，E，F分别是OA，OD的中点．求证：四边形EBCF是等腰梯形．

24．求证：等腰梯形的上、下底中点的连线与两腰中点连线互相垂直．

25．已知：在四边形ABCD中，AB=DC，E，F分别是AD，BC的中点，GH⊥EF与AB，DC 分别交于G，H，O为垂足．求证：∠AGH=∠DHG．

26．已知：四边形ABCD中，AC=BD，AC，BD交于O点，E，F分别是AB，CD的中点，连结EF分别与BD，AC交于G，H．求证：△OGH是等腰三角形．

27．已知：如图4-110，P为矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．

28．已知：在四边形ABCD中，CD≥AB，E，F分别是AC，

29．已知：在四边形ABCD中，AD≥BC，E，F分别是AB，

30．已知：△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，H为BE上任一点，作DG∥FH交CB的延长线于G．求证：GB=HE．

31．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点．求证：MP=NQ．

32．已知：如图4-111，△ACN，△ABM为等边三角形，D，E，F分别是BM，BC，CN的中点．求证：DE=EF．

33．已知：如图4-112，△ABC中，F为BC的中点，D，E为△ABC外的两点，∠D=90°，AD=DB，∠E=90°，AE=EC．求证：DF=EF．

34．已知：在四边形ABCD中，G，H分别是AB，AD的中点，连结CG，CH与BD分别交于E，F两点，且BE=EF=FD．求证：四边形ABCD是平行四边形．若HF=3厘米，求CH的长．

35．已知：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，F，G分别是BE，CD 的中点，直线FG与AB，AC分别交于M，N．求证：AM=AN．若∠AMN=62°，求∠A的度数．

36．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=DC，AC，BD交于O点，∠BOC=60°，E，F，G分别是AO，BO，DC的中点．求证：△EFG是等边三角形．

37．如图4-113，已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E，F分别是BC，CA，AB 的中点，AD，EF交于O点．

（1）求证：AD=EF；

（2）若∠DOF=2∠AOF，求证：△ABD是等边三角形．

三角形中位线经典测试题

三角形的中位线 1、如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，OE=1，则AB 的长为______. 2、如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，则BC=____cm. 3、如图，要测量A 、B 两点间的距离，在O 点打桩，取OA 的中点C ，OB 的中点D ，测得CD=30 米，则AB=_____米. 4、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是____________. 5、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点 P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A.线段EF 的长逐渐增大 B.线段EF 的长逐渐减小 C.线段EF 的长不变 D.线段EF 的长与点P 的位置有关 7、已知三角形三边长分别为6、8、10，则它的中位线构成的三角形的面积为_______. 8、如图，△ABC 中，AD=41AB ，AE=41AC ，BC=16.求DE 的长. 9、如图，已知M 、N 、P 、Q 分别为AB 、BD 、CD 、AC 的中点，求证：四边形MNPQ 是平行四边形. 第1题图 第2题图 第3题图 第6题图

10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E、F分别是对角线AC、BD的中点.求证：四 边形ADEF是平行四边形. 11、已知：如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA、EF的延长线交于 点M，CD、EF的延长线交于点N.求证：∠AME=∠DNE. 12、如图，在△ABC中，P是中线AD的中点，连接BP并延长交AC于E，F为BE的中点，求证： AF∥DE. 13、如图，在□ABCD中，M是OB的中点，连接AM并延长至P.使MP=AM，连接DP交AC于N. 求证：（1）MN∥AD；（2）S四边形MPNQ=S△OBC

三角形经典习题(必看)

三角形复习卷 一、选择题 1.一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长是一个奇数，则第三边长为（ ） A 、5cm B 、7cm C 、9cm D 、11cm 2. 1.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B= 2 1 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 3.对于三角形的内角,下列判断中不正确的是( )； A.至少有两个锐角 B.最多有一个直角 C.必有一个角大于600 D.至少有一个角不小600 4. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( ) A 、2对； B 、3对； C 、4对； D 、5对； 5. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条中线交于三角形内一点； B. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 C. 三角形三条高交于三角形内一点； D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( ) A 、115° B、120° C、125° D、130° 7、如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( ) A 、150° B、130° C、120° D、100° 8、7.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 9如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB 为（ ）A. 80° B. 72° C. 48° D. 36° 10．在△ABC 中，∠A=2∠B=4∠C ，则△ABC 为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.都有可能 11.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（ ） A 、125° B 、135° C 、145° D 、150° 12.等腰△ABC 的底边为5cm ，一腰上的中线把周长分为差为3cm 的两部分，则△ABC 的腰长是（ ）cm 。 A B C D E P 第7题 第9题

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

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三角形的中位线练习题三角形中位线定义： . 符号语言：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点, 则：线段DE是△ABC的__ __， 三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。 ②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。 相同点：都是一条线段，都有三条。 三角形中位线定理： . 符号语言表述：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE//21BC 练习 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC中，D、E分别是AB、 AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿， 线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点 （1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm 如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm （2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm． 8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（） A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm 10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位 E D B E D

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专题 三角形的中位线 第 1 页 共 3 页 三角形的中位线 例题精讲 例 1 如图 1， D 、E 、 F 分别是△ ABC 三边的中点． G 是 AE 的中点， BE 与 DF 、 DG 分别交于 P 、 Q 两点 . 求 PQ:BE 的值 . 例 2 如图 2，在△ ABC 中， AC>AB ， M 为 BC 的中点． AD 是∠ BAC 的平分线，若 CF ⊥ AD 交 AD 的延长 1 AC AB . 线于 F.求证： MF 2 例 3 如图 3，在△ ABC 中， AD 是△ BAC 的角平分线， M 是 BC 的中点， ME ⊥ AD 交 AC 的延长线于 E ．且 CE 1 CD .求证：∠ ACB=2∠B. 2 D C E F A B 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 巩固基础练 1. 已知△ ABC 周长为 16， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，则△ ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点， P 是 BC 上任意一点， 那么△ PDE 面积是△ ABC'面积的 ( ) 1 1 1 1 A . B. C. D. 2 3 4 8 3. 如图 4，在四边形 ABCD 中， E 、F 分别为 AC 、 BD 的中点，则 EF 与 AB+CD 的关系是 ( ) A . 2EF AB CD B. 2EF AB CD C. 2EF AB CD D. 不确定 4. 如图 5，AB ∥CD ， E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点，且 AB=a,CD=b ，则 EF 的长为 . 图 6 图 7 图 8 图 9 图 10 5. 如图 6，四边形 ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是 AB 、CD 、AC 的中点， 若∠ DAC= 200，∠ ACB= 600， 则∠ FEG= . 6. ( 呼和浩特市中考题 ) 如图 7，△ ABC 的周长为 1，连接△ ABC 三边的中点构成第二个三角，再连接第二 个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2003 个三角形的周长为 . 7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6 ，三角形的周长是 112cm ，求三条中位线长 . 8. 如图 8，△ ABC 中， AD 是高， BE 是中线，∠ EBC= 300,求证： AD=BE . 9. 如图 9，在△ ABC 中， AB=AC ，延长 AB 到 D ，使 BD=AB ， E 为 AB 中点，连接 CE 、 CD . 求证： CD=2EC . 10.如图 10， AD 是△ ABC 的外角平分线， CD ⊥AD 于 D ， E 是 BC 的中点 . 求证： (1)DE ∥AB; (2) DE 1 AB AC . 2

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

三角形中位线相关练习题(可分三次完成,附答案)

2016年08月17日三角形的中位线 一．选择题（共10小题） 1．（2016?顺义区一模）如图，为测量池塘岸边A、B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点D、E之间的距离是14米，则A、B两点之间的距离是（） A．18 米B．24米C．28米D．30米 2．（2016?南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC 的中点，则DE的长为（） A．1 B．2 C．D．1+ 3．（2016?广西）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（） A．5 B．7 C．8 D．10 4．（2016?桐乡市一模）如图，若DE是△ABC的中位线，则S△ADE：S△ABC=（） A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：4 5．（2016?深圳校级二模）如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD是∠ABC的平分线，E是AB边的中点．则DE的长是（） A．6 B．5 C．4 D．3

6．（2016?湖里区模拟）在△ABC中，若点D为AB中点，点E是AC上一点，则下列条件能判断线段DE一定为△ABC中位线的是（） A．DE⊥AC B．CE=2AE C．=1 D．= 7．（2016?东平县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（） A．12 B．13 C．14 D．15 8．（2016?薛城区模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为DC、AB的中点，G是AC 的中点，则EF与AD+CB的关系是（） A．2EF=AD+BC B．2EF＞AD+BC C．2EF＜AD+BC D．不确定 9．（2016?葫芦岛）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（） A．4 B．8 C．2D．4 10．（2016春?滕州市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（） A．8 B．6 C．4 D．5 二．填空题（共8小题）

三角形经典题50道附答案解析

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：1 2CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C

证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG B A C D F 2 1 E

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形

三角形的中位线经典练习题及其答案

三角形的中位线练习题及其答案 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、 AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m 11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上 从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．

专题--三角形的中位线(含提示答案)

三角形的中位线 例题精讲 例1如图1，D、E、F分别是△ABC三边的中点．G是AE的中点，BE 与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值. 例2如图2，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点．AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：. 例3如图3，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E．且.求证：∠ACB=2∠B. 图1 图2 图3 图4 图5 巩固基础练 1. 已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长 等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么

△PDE面积是△ABC'面积的 ( ) A . B. C. D. 3. 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，则EF 与AB+CD的关系是 ( ) A . B. C. D. 不确定 4. 如图5，AB∥CD，E、F分别是BC、AD的中点，且AB=a,CD=b，则EF 的长为 . 图6 图7 图8 图9 图10 5. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中

点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= . 6.如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角， 再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为 . 7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条 中位线长. 8. 如图8，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE. （过E点向BC作垂线） 9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点， 连接CE、CD. 求证：CD=2EC.（延长AC到F，使AC=CF，则CD=BF） 10.如图10，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点. 求证：(1)DE∥AB; (2).（延长DC交BA的延长线于G） 提高过渡练 1. 如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点， 且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 5 2. 如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中 点，AB=10，则MD的长为 ( ) A. 10 B. 8 C .6 D. 5 3. 如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中 点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP

等腰三角形典型例题练习(含答案)#(精选.)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

三角形的中位线经典习题类型大全

第 1 页 共 2 页 1 三角形的中位线综合练习题 姓名 例1如图1，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F .求证： ()1 2MF AC AB = - . F E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 例2. 如图2，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( ) A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定 例3. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 . 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 5．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 6．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 7．如图4所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从 点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 8．如图5,在△ABC 中， E ，D ， F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 9.顺次连接一个四边形的各边中点，得到一个菱形，这个四边形一定是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C 、矩形 D.对角线相等的四边形 10.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 12．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 13.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 F E D B H G F E D C B A

三角形培优经典题型

《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m， 又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12， 则S△ADF -S△BEF=_____. 14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______° 15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α， ∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)． 16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.

(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得

三角形中位线练习题(基础题)

三角形中位线 1、三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm ，则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为 和 。 2、在Rt △ABC 中,∠C=90°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点,AC=4 cm ，BC=6 cm ，那么四边形CEDF 为___________________，它的边长分别为_________________。 3、三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ，则原三角形的周长为_______。 4、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ） A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm 5、已知D E 是△ABC 的中位线,则△ADE 和△ABC 的面积之比是( ) A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D . 1:4 6、如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ） A. 332 B. 316 C. 310 D. 3 8 7、小明作出了边长为的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。然后分别取△A 1B 1C 1 的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是（ ） A. 91()44 B.101()44 C.91()42 D ． 101()42 ? 8、已知，如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点。 求证：EF=DG 且EF ∥DG 。 9、如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连结EF ． （1）求证：ＥＦ∥ＢＣ； （2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积。 F E D C B A O G F E D C B A

平行四边形和三角形的中位线专题培优

平行四边形和三角形的中位线（二) 1、如图，过□ABCD内一点P作边的平行线EF、GH，若S四边形PHCF ＝5,Ｓ四边形ＰGAE=3，则S△PBD=____＿_＿＿_． 2、如图，□ABCD中,M、N分别是ＡＤ、ＡB上的点,且BM＝ＮD, 其交点为Ｐ，求证：∠ＣPB＝∠ＣPD． ３、已知等腰△EAD和等腰△CAB,EA=ＥＤ，CA=CB，∠AED=∠ACB=α，以线段AC、AＥ为边作平行四边形ＡＣＦＥ,连接BF、DF. (1）如图1，当α＝９0°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数； （2）如图２，当０°<α<９０°,且A、D、C不在一条直线上时,求∠DFB的度数．

４、如图1,在△O ＡB 中，∠OAB=900,∠AOB=300,OB ＝８.以OB 为边，在△OAB 外作等边△ＯBC,D 是ＯB 的中点,连接A Ｄ并延长交O Ｃ于Ｅ. (１）求证：四边形ＡB ＣE 是平行四边形； (２)如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为FG,求ＯG 的长。 5、如图,△ＡＢC 中,∠A ＣB ＝90°，C Ｄ⊥AB 于D ，A Ｅ平分∠BAC ，交C Ｄ于Ｋ，交BC 于E ，F 为BE 上一点且B Ｆ＝CE ，求证:F Ｋ∥ＡＢ. 6、四边形ABCD 中,A Ｄ∥BC,(１)如图1,若Ｅ、F 分别是A Ｂ、ＣD 的中点，求证:EF= 2 1 (AD+BC ） (2）如图,2,若G 、H 分别是A Ｂ、C Ｄ的中点，求证：ＧＨ< 2 1 (A Ｂ+ＣD) (3)如图3，连接AC 、B Ｄ，若M 、Ｎ分别是ＡC 、BD 的中点,求证：MN ＜2 1 (BC —ＡD)

全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数． 2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE ＝CF ，试判断△DEF 的形状． 3、如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，线段BE 、CD 相交于点H ，线段BE 、AC 相交于点G ，线段BE 、CD 相交于点H ．请你解决以下问题： (1) 试说明BE ＝CD 的理由； (2) 试求BE 和CD 的夹角∠FHE 的度数 A A

C B Ex1、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明AG ＝AF 的理由． Ex2、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由． 4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试用两种不同的方法说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A

二．证明全等常用方法（截长发或补短法） 5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请你试说明AB ＋BD ＝AC 的理由． Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ． Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE ＝CD ．（也可用截长法， 自己考虑） 6、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请你试用补短法说明AE ＋CF ＝EF ． B B F C