数系的扩充与复数的引入知 识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念

１．复数的概念

(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.

(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：，那么：，特别地:

.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互

为共轭复数.

即：

２．复数的几何意义

（１）数

（

）可用点

表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，

轴叫做实轴，

轴叫做虚轴.

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数

复平面内的点

每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

（２）复数的几何意义

坐标表示:在复平面内以点

表示复数

（

）；

向量表示:以原点

为起点，点

为终点的向量

表示复数

. 向量

的长度叫做复数

的模，记作

.即

.

３．复数的运算

（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设则

（２）几个重要的结论

若为虚数,则

（３）运算律

（４）关于虚数单位i的一些固定结论：

注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小　（２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用

二．同步检测

１．复数ａ＋ｂ与ｃ＋ｄ的积是实数的充要条件是

　Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０

　Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ

２．复数的共轭复数是

　Ａ．＋２ Ｂ．－２ Ｃ．－２－ Ｄ．２－

３．当时，复数ｍ（３＋）－（２＋）在复平面内对应的点位于

　Ａ．第一象限　Ｂ．第二象限　Ｃ．第三象限　Ｄ．第四象限４．复数＝

５．已知复数ｚ与都是纯虚数，求ｚ

６．已知，求ｚ及

７．已知＝５＋１０，＝３－４，，求ｚ

８．已知２－３是关于的方程２＋ｐ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值

数系的扩充和复数的引入教学设计

《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方

最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±

数系的扩充与复数的引入知识点总结

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数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时, 叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ???? ，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对 应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数 的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义

坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+± 12()()z z ac bd ad bc i ?=-++ 1222 2()()(0)z ac bd ad bc i z z c d -++=≠+ （２）几个重要的结论 2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z ?== 若z 为虚数,则22||z z ≠ （３）运算律 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈ （４）关于虚数单位i 的一些固定结论： 21i =- 3i i =- 41i = 2340n n n n i i i i ++++++= 注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小

3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

第3章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数有理数无理数实数2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数． 解决这一问题，其本质就是解决一个 什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－ 1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12i ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a 这样，数的范围又扩充了，出现了形如),(R b a bi a 的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． . 1,010 131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数； 时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212i i i i ）纯虚数 ）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z

高中数学人教版 选修1-2(文科) 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(

高中数学人教版选修1-2（文科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2 复数的几何意义）C 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2018高二下·西宁期末) 已知i为虚数单位，则复数i(i-1)对应的点位于（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 2. （2分）若复数(其中是虚数单位)，则a+b=（） A . －2 B . －1 C . 1 D . 2 3. （2分） (2018高一下·河南月考) 已知 ,则（） A . B . C . D .

4. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为 A . B . C . D . 5. （2分）已知i为虚数单位，复数z满足1﹣i=，则z的共轭复数等于（） A . 1﹣i B . 1+i C . +i D . ﹣﹣i 6. （2分）若复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z为（） A . 2﹣i B . 2+i C . 5﹣i D . 5+i 7. （2分）(2017·诸暨模拟) 已知复数z满足z（1+i）=2i，则z的共轭复数等于（） A . 1+i B . 1﹣i

C . ﹣1+i D . ﹣1﹣i 8. （2分）已知i是虚数单位，复数z=（3+i）（1﹣i）对应的点在第（）象限． A . 一 B . 二 C . 三 D . 四 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2018高二下·如东月考) 若复数满足（为虚数单位），则 ________． 10. （1分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数，，且，则 ________． 11. （1分）若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，复数a+bi=________． 三、解答题 (共3题；共25分) 12. （5分） (2018高二下·张家口期末) 已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求 . 13. （5分） (2019高二下·嘉兴期中) 已知复数，其中为虚数单位， . （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围. 14. （15分） (2019高二下·江门月考) 当为何实数时，复数，求： （1）实数； （2）虚数；

3.1.1数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 一、教学目标： 1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i。 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律。 3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、 纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念。 二、教学重点： 复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。 三、教学难点： 虚数单位i的引进和复数的概念。 四、教学过程： （一）导入新课 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N。 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数。这样就把数集扩充到有理数集Q。显然N Q。把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z。 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。 数集的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。 但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1。由于解方程的需要，我们引入了一个新数i，使得21 i=-，并由此产生的了复数 （二）讲解新课： 我们希望引入的新数i和实数之间仍能进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。因此，把实数a与i相加，结果记作：a+i；把实数b与i相乘，结果记作：bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作：a+bi等等。所以实数系经过扩充后得到的新数集是C=｛a+bi ︱a，b∈R｝。 1、复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数 a bi a b R 所成的集合叫做复数集，用字母C表示 2、复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即(,) =+∈，其中a叫复 z a bi a b R

3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

第3章 数系的扩充与复数的引入 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 【教学目标】 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程 以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数 的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将 实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数 范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数i ，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）12 -=i ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律 仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决 前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由 于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又 扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分 别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯 虚数与零的条件可以确定实数m 的值． .1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数； 时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=? ??≠-=+≠≠-==- 6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部 分别对应相等．也就是 由此容易得出： 6 cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+ ）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=