四川省2014年初中数学联赛初赛()初三试卷及解答
2014年四川省全国初中数学联赛初赛
（初三）试卷及解析
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，将你选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ ）
A 、9504元
B 、9600元
C 、9900元
D 、10000元
2、如图，在凸四边形ABCD 中，80,AB BC BD ABC ==∠=?，则ADC ∠等于（ ） A 、80° B 、100° C 、140° D 、160°
3、如果方程2240()()x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 （ ） A 、04m <≤ B 、3m ≥ C 、4m ≥ D 、
34m <≤
4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，60306,,,BAD ABC AB AD CD ∠=?∠=?==且,那么
BD 的长度是 ( )
A
B 、4 C
、 D
、
5、如果20140a -<<，那么20142014x a x x a -+++-+的最小值是 （ ）
A 、2014
B 、2014a +
C 、4028
D 、4028a +
A
A
B
A B
6、方程223()x xy y x y ++=+的整数解有 （ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、如图，扇形AOB 的圆心角90AOB ∠=?，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 。
2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：2
3、28、33、39、x 、y ，则x y += 。
3、已知6x y -=
9=
的值是 。 4、有质地均匀的正方体形的红白骰子各一粒，每个骰子的六个面分别写有1、2、3、4、5、6的自然数，随机掷红、白两粒骰子各一次，，红色骰子掷出向上面的点数比白色骰子掷出向上面的点数小的概率是 。 三、（本大题满分20分） 已知2240a a +-=，2a b -=，求12
1a b
++的值。 四、（本大题满分25分）
Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AE 垂直于AB 边上的中线CD ，交BC 于点E . （1）求证：2AC BC CE =?
（2）若34CD AE ==，，求边AC BC 与的长。
五、（本大题满分25分）
已知二次函数2y x ax b =++的图像经过点
E
C
A
B
O
A
B
12002(,)(,)(,)A x B x C m 、、，且1202x x <<<.
（1）求证：0m >； （2）若1b ≥，求证：1m <.
答案解析
一大题
1.
解析：本题是利润问题。法1：直接设进货价x 元，可列
132000810.%x x ?-=，解之9600x =；法2：用算术方法，列式
13200081109600.(%)?÷+=，选B 。
2. 解析：法1：∵AB=BC=BD ，∴∠A=∠ADB ，∠C=∠CDB ，由∠A+∠ADB+∠CDB+
∠C+∠ABC=360°，∴2(∠ADB+∠CDB)=360°-80°，即∠CDA=140°； 法2：
∵AB=BC=BD ，∴构建以B 为圆心的圆，故可容易得
ADC 所对的圆周角为40°，由圆内接四边形对角互补，所以140ADC ∠=?，选C 。
3. 解析：法1：∵AB=BC=BD ，∴∠A=∠ADB ，∠C=∠CDB ，由∠A+∠ADB+
∠CDB+∠C+∠ABC=360°，∴2(∠ADB+∠CDB)=360°-80°，即∠CDA=140°；
法2：∵AB=BC=BD ，∴构建以B 为圆心的圆，故可容易得
ADC 所对的圆周角为40°，由圆内接四边形对角互补，所以140ADC ∠=?，选C 。
4. 解析：法1：如图，延长AD 、BC 交点E ，可构建直角三角形ABE ，
∠E=90°，
由∠ABC=30°，AB=6，
∴3,AE BE ==因为DC ∥AB,可得∠ECD=∠ABC=30°, ∴112
2
DE DC AD ==.113
,AE AD DE DE AE =+∴==
,BD =
=
法2：作DF ⊥AB 于F,CG ⊥AB 于G ，可去求得
再由
AF+FG+GB=AB=6，求得AD=2，故
，
FB=5,BD =选C 。
A
B
5.解析：用“零点分段法”，①当2014x <-时，化简原式≥x ->2014；②当
2014x a -≤<时，化简原式=4028x +≥2014；③当x a ≥时，化简原式=324028
x a -+≥4028a +2014>,综上所述，最小值为2014，选A 。
6. 解析：把方程看作是关于一个未知数的一元二次方程，求其整数解来解答。 如：看作是关于x 的一元二次方程，整理为22330()x y x y y +-+-=，方程有解，故223430()()y y y ?=---≥，即21413(),y y -≤∴-≤≤。在13y -≤≤的条件下，再解
方程2
2
330()x y x y y +-+-=
，得x =
,x y 为整数，且13y -≤≤，解得2
03210
100223
,,,,,x x x x x x y y y y y y =====-=???????
?????
=-=====??????，所以共6组，选D 。
二大题、
1. 解析：作O M ⊥EF 于M ，交DC 于点N ，连接OF ，易
得OM 为扇形的对称轴，设正方形边长为2x ，由垂径定理，
可得MF=CN=ON=x ，再由2
2
2
OM MF OF +=，有2
2
2
35()x x +=，
解之，2
x =
2.
解析：设四个自然数从小到大依次为a 、b 、c 、d ，则由题意有232833
39a b a c a d b c b d x c d y
+=??+=?
?+=?+=?
?+=?
+=?，
四式相加，有3123()a b c d x y +++=++，而72a b c d +++=，所以93x y +=。
3.
解析：令
a
，与已知根式相乘，得229()x xy xy y a ---=，即
29()x y a -=，所以4a =。
4.解析：利用树状图求概率。5
12
O A
B
A
B
三大题.
解析：法（一）：由22,a b b a -==-得，又由2240a a +-=，知0a ≠，所以
2121231122a
a b a a a a +=+=++---22
66622242433()a a a a a a a a a
====---+--- 法（二）：由已知0a ≠，再由2a b -=，得2a b =+ 和 2224a ab a -=①，由原式与①求差，得245ab a =-。
∴
122224424246121224524522()()b a b a b b b a b ab b ab b a b b b +++++++++====+++-+-++62232()
()
b b +==--+ 法（三）：由已知得2b a =-， 所以
121a b ++2
123122
a
a a a a =+=+---． ··································· （10分）
显然0a ≠，由2240a a +-=得222
a a -=-． ··························· （15分）
所以2
33222
a a
a a a a
==-----，
所以
12
1a b
++2=-． ………………………………….（20分）
四大题 解析：（1）（法一）
∵ 90ACB ∠=?，CD 是斜边AB 的中线， ∴ AD=CD=BD, ∴∠B=∠DCB
∵ AE ⊥CD , ∠DCA+∠CAE=90°，而∠DCA+∠DCB=90°， ∴ ∠CAE=∠DCB=∠B ，Rt △ACB 与Rt △ECA 有公共角∠ACE ∴ △ACB ∽△ECA ， 得AC CB EC
CA
= , 即 2AC CE CB =?
（法二） ∵ 90ACB ∠=?，CD 是斜边AB 的中线， ∴ AD=CD=BD, 故可以D 为圆心作圆D ，如
A
D
图。
∵ AE ⊥CD ， ∴
AC CF = ∴ ∠CAE=∠B ， Rt △ACB 与Rt △ECA 有公共角∠ACE
∴ △ACB ∽△ECA ， 得
AC CB
EC CA
=
, 即 2AC CE CB =? （2） 由（1）△ACB ∽△ECA ，
AC AB
EC EA
=
,而AB=2CD=6，AE=4
∴ 32
AC EC
= ，即23
EC AC =,由勾股定理 222AC EC AE +=, AC =
∴
BC =
==
五大题． 解析：证：（1）由已知可得方程2
0x ax b ++=的两根为1
x 、2
x ，
所以12x x a +=-，12x x <，所以222
a x >>-， ························· （5分）
由已知可得，当2
a x >-时二次函数2y x ax
b =++的值随x 的增大而增大．
所以二次函数在2x =的函数值大于在2x x =的函数值．
即0m >． ············································································· （10分） 法2：又由已知可得212()()x ax b x x x x ++=--， 所以12(2)(2)m x x =--。 ························································· （5分） 又因为1202x x <<<， 所以120x ->，120x ->， 所以0m >． ········································································· （10分） （2）由已知得212()()x ax b x x x x ++=-- 令0x =得12b x x =，
令2x =得12(2)(2)m x x =--，
所以22121212(2)(2)[1(1)][1(1)]bm x x x x x x =--=----。 ················· （15分） 因为1202x x <<<，所以2101(1)1x <--≤，2201(1)1x <--≤， 并且211(1)1x --=和221(1)1x --=不能同时成立， 所以01bm <<． ···································································· （20分） 又1b ≥，所以1m <． （25分）