9．设变量x ，y 满足约束条件????
?
x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，
x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案 [8,10]
解析
不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，
由2a －6≤14得，a ≤10.∴8≤a ≤10.
10．[2015·云南一检]某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b
满足不等式组????
?
2a －b ≥5a －b ≤2
a <7
，设这所学校今年计划招聘教师
最多x 名，则x ＝________.
答案 13
解析 由题知目标函数为x ＝a ＋b ，画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值
13.
[B 组·能力提升练]
1．[2016·忻州联考]不等式组????
?
x ≥0x ＋y ≤3
y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，
直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )
A ．(0,3]
B ．[－1,1]
C ．(－∞，3]
D ．[3，＋∞)
答案 D
解析
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．直线y ＝kx －1显然经过定点M (0，－1)，由图形直接观察知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1和直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0
＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．
2．[2016·云南师大附中月考]设x ，y 满足约束条件????
?
3x －y －2≤0x －y ≥0x ≥0，y ≥0
，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为4，
则ab 的取值范围是( )
A ．(0,4)
B ．(0,4]
C ．[4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
答案 B
解析 作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，
z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤?
??
??
a ＋
b 22
＝4，当且仅当a ＝b 时取“＝”．∵a >0，b >0，∴ab ∈(0,4]，故选
B.
3.[2015·衡水中学期中]定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝1，f (－2)＝3，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f ′(x )有且只有一个零点，若非负实数a ，b 满足f (2a ＋b )≤1，f (－a －2b )≤3，则b ＋2a ＋1
的取值范围为( )
A.?
?
?
??－∞，45∪[3，＋∞)
B.?
???
??45，＋∞ C ．(－∞，3] D.????
??45，3 答案 D
解析 由y ＝f ′(x )的图象可知，当x ∈(－∞，0)时，y ＝f (x )为减函数，
当x ∈(0，＋∞)时，y ＝f (x )为增函数，因为a ，b 为非负实数，所以f (2a ＋b )≤1可转化为f (2a ＋b )≤f (3)，即0≤2a ＋b ≤3，同理f (－a －2b )≤3可转化为f (－a －2b )≤f (－2)，即－a －2b ≥－2,0≤a ＋
2b ≤2，因此实数a ，b 满足?????
a ≥0，
b ≥0，2a ＋b ≤3，
a ＋2
b ≤2，
画出所表示的平面区域，
如图阴影部分所示，而b ＋2
a ＋1
表示阴影区域内的任意一点(a ，b )与点
M (－1，－2)连线的斜率，由图可知? ????b ＋2a ＋1max ＝k MA ＝1－(－2)
0－(－1)＝3，? ??
??b ＋2a ＋1min ＝k MB ＝－2－0－1－32
＝45，故b ＋2a ＋1的取值范围为??????
45，3.故选D. 4．[2014·课标全国卷Ⅰ]设x ，y 满足约束条件?
????
x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，
且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3
答案 B
解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．
由?????
x －y ＝－1，x ＋y ＝－5
得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．
当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
由?
????
x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)， 则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．
5．[2016·皖南八校联考]已知实数x ，y 满足：?????
0≤x ≤2
y ≤2
x ≤2y ，则
z ＝2x ＋y －1
x －1
的取值范围是________．
答案 (－∞，1]∪[22＋4，＋∞)
解析
由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1
x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．
运筹学中的线性规划在企业中的应用
线性规划在企业中的运用 摘要：运筹学是一门定量优化的决策科学，而线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中提出的专门问题、为决策者选择最优决策提供定量依据，帮助决策人员选择最优方针和决策，其英文名字为Operational Research.50年代中期，钱学森等教授将其由西方引入我国，并结合我国国情实际运用。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在帮助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。 关键词：运筹学；线性规划；应用；企业 运筹学的特点是利用数学、管理科学、计算机科学技术等研究事物的数量化规律，使得有限的人、财、物、时、空、信息等资源得到合理充分合理的利用。 它以数学为工具，寻找解决各种问题的最优方案，并从系统的观点出发研究全局的规划。运筹学早期应用在军事领域，二战后转为民用，并且在企业中的应用越来越广泛，取得了良好的经济效益。运筹学的思想贯穿了企业发展的始终，运筹学对各种决策方案进行科学评估，为管理决策服务，使得企业管理者更有效合理地利用有限资源。优胜劣汰，适者生存，这是自然界的生存法则，也是企业的生存法则。只有那些能够成功地应付环境挑战的企业，才是得以继续生存和发展的企业。 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，早在1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础，特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划（或非线性规划）问题。从应用范围来看，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，以至国民经济计划的最优化方案分析，它都有用武之地，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门它都可以发挥作用。线性规划方法具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点。其基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1） 1、设,x y 满足约束条件?? ? ??≤--≥-+≥-0 2020 2y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 45 2、设变量,x y 满足?? ? ??≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：1 3、若实数x 、y ，满足?? ? ??≤+≥≥12 3400 y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[． 4、设y x z +=，其中y x ,满足?? ? ??≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为 5、已知x 、y 满足以下条件220 240330 x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，则22 z x y =+的取值范围是 4[,13]5 6、已知实数,x y 满足约束条件10 10310 x y x y x y +-≤??-+≥??--≤? ，则22 (1)(1)x y -+-的最小值为 12 7、已知,x y 满足约束条件10 00 x x y x y m -≥?? -≤??+-≤? ，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 5 8、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是 ?? ? ??≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x
9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤?? --≤??>? ，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞ 10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥?? +-≤??≥-? ，则3z x y =+的最小值为 －3 11、若,x y 满足约束条件10, 0,40,x x y x y -≥??-≤??+-≤? 则x y 的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥??-+≤??--≤? ，则22 (2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿ 13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥?? +-≥??≤? ，则函数3z x y =+取得最大值是 12 14、已知x ，y 满足约束条件?? ? ??≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－6 15、以原点为圆心的圆全部在区域?? ? ??≥++≤-+≥+-0 9430420 63y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π516
简单的线性规划 习题含答案
线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产
对偶线性规划理论及其在经济中的应用开题报告
开题报告 信息与计算科学 对偶线性规划理论及其在经济中的应用 一、选题的背景、意义[1] 21世纪中国进入到了一个新的时代，随着经济的快速发展和社会的进步，整个社会运行的各个方面——无论是在政治、经济、文化、科技、军事、外交方面，还是在环境、生态、资源问题方面，都将着眼于解决能否实现的问题扩充到更加重视解决如何优化实现的问题，从解决局部的简单问题扩充到解决系统的复杂问题，从静态地解决问题到动态地解决问题，从解决涉及单一领域的独立发展问题扩充到解决涉及多个领域的协同发展的问题，从通过直接办法解决问题扩充到通过间接的办法解决问题等，都迫切需要线性规划理论及其应用。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 对偶线性规划理论概述 2.1.1 对偶线性规划理论的发展历程及现状[2] [3] 线性规划理论产生于20世纪30年代。1939年，苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题。 1947年，美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法─单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年，美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 1951年，美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域；1960年，康托罗维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》，创立了享誉全球的线性规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献。为此，库普曼斯与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。1984年，美国贝尔电话实验室的印度数学家卡马卡提出求解线性规划问题的投影尺度法，这是一个有实用意义的新的多项式时间算法。这个算法引起了人们对内点算法的关注，此后相
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
简单的线性规划练习-附答案详解
简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) 2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 3．不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 5.设变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 7.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91
C ．88 D ．75 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 9.已知实数x ，y 满足???? ? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0 x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤1 D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0 x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数 z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 11.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )
简单的线性规划教案[1]
简单的线性规划教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
简单的线性规划【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式0 +C Ax在平面直角坐标系中表示什么图形？ By + > 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： 2841641200 x y x y x y +≤??≤?? ≤??≥?≥?? (1) （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。 当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变化 时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．
常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一 求线性目标函数的最值 例1 已知变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．－1 答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得 最大值．由????? y ＝2，x －y ＝1?????? x ＝3， y ＝2， 此时z ＝3x ＋y ＝11. 跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0， 2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．． ，则实数a 的值为( ) A.1 2或－1 B ．2或1 2 C ．2或1 D ．2或－1
高二数学人教A必修5练习：3.3.2 简单的线性规划问题(二) pdf版含解析
3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标 1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型． 1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解； 根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)． 2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小． 一、选择题 1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( ) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! 答案 C 解析 比较选项可知C 正确． 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( ) A. B. C ．4 D.143553 答案 B 解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－，∴a ＝. 35353．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于 对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得230.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元
简单线性规划问题教案
332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新.
选修2-1简单线性规划练习
（二）典例分析： 问题1．()1不等式240x y -->表示的平面区域在直线240x y --=的 .A 左上方 .B 右上方 .C 左下方 .D 右下方 ()2（05全国Ⅰ）在坐标平面上，不等式组1 31y x y x -???-+?? ≥≤所表示的平面区域的面积为 .A 2 . B 2 3 . C 2 2 3 .D 2 ()3画出不等式组5003x y x y x -+?? +??? ≥≥≤表示的平面区域，并回答下列问题： ①指出,x y 的取值范围；②平面区域内有多少个整点？(尽可能多种解法) ()4已知点()1,3A 、()1,4B --在直线310ax y ++=的异侧，则a 的取值范围是 问题 2．()1（05湖南）已知点(),P x y 在不等式组?? ???≥-+≤-≤-022, 01, 02y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是 .A []2,1-- .B []2,1- .C []1,2- .D []1,2 ()2（07辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+?? ? ?+-?≤， ≥，≤，则y x 的取值范围是 .A 965?? ??? ， .B [)965? ?-∞+∞ ? ?? ，， .C (][)36-∞+∞，， .D [36]，
()3（06湖南）已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 ()4（06重庆）已知变量,x y 满足约束条件：1≤x y +≤4,2-≤x y -≤2.若目标 函数z ax y =+ (其中0a >)仅在点()3,1处取得最大值，求a 的取值范围. 问题3．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的利益，而且要考虑可能出现的亏损。 某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保 可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 问题4．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截成三种规格 每块钢板面积：第一种1平方单位，第二种2平方单位.今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块， 问这两种钢板各截多少张，
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2 .线性规划问题的一般形式有何特征？ 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7?试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问 题呢？ 11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续 第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2 .线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的 范围一般将扩大。 5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被 选作换入变量。 8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形 表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额 不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
高中数学简单线性规划习题专项练习
一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) [答案] B [解析] ∵点O(0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方－2－2t ＋4<0，∴t>1. 2.)若2m ＋2n<4，则点(m ，n)必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [答案] A [解析] ∵2m ＋2n≥22m ＋n ，由条件2m ＋2n<4知， 22m ＋n<4，∴m ＋n<2，即m ＋n －2<0，故选A. 3．不等式组???? ? x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( ) [解析] 平面区域如图．解? ???? x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C ????0，43， |BC|＝4－43＝8 3. ∴S △ABC ＝12×83×1＝4 3. 4不等式组???? ? x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( ) A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 [答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0) ∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－1 2×2×1＝3. 5设变量x ，y 满足约束条件???? ? y≤x x ＋y≥2y≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 [答案] B [解析] 在坐标系中画出约束条件???? ? y≤x x ＋y≥2y≥3x －6所表示的可行域为图中△ABC ，其中A(2,0)， B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z ＝2x ＋y 在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3. 6.已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 [解析] 当直线y ＝x －z 经过点C(1,0)时，zmax ＝1，当直线y ＝x －z 经过点B(－1,2)时，zmin ＝－3. [答案] B 7(在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A ．95 B ．91 C ．88 D ．75
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
北师大版数学高二必修5第三章4.2、4.3简单线性规划及其应用作业
[学业水平训练] 1．设x ，y 满足???? ?2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( ) A ．有最小值2，最大值3 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最大值3，无最小值 D ．既无最小值，也无最大值 解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值． 2．设变量x ，y 满足???? ?x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 解析：选D.作出可行域如图所示． 令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋1 3z 在y 轴上 的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－2 3x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D. 3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3， 则z ＝2x －3y 的最小
值是() A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值． 由 ?? ? ??x＝3， x－y＋1＝0， 得 ?? ? ??x＝3， y＝4， ∴z m in＝2×3－3×4＝－6，故选B. 4．直线2x＋y＝10与不等式组 ?? ? ??x≥0 y≥0 x－y≥－2 4x＋3y≤20， 表示的平面区域的公共点有() A．0个B．1个 C．2个D．无数个 解析： 选B.画出可行域如图阴影部分所示． ∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)． 5．已知实数x，y满足 ?? ? ?? y≥1， y≤2x－1， x＋y≤m. 如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等 于() A．7 B．5 C．4 D．3
线性规划简单练习题
线性规划简单练习题文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
线性规划练习 1. 已知变量,x y满足约束条件 2 4 1 y x y x y ≤ ? ? +≥ ? ?-≤ ? ，则3 z x y =+的最大值为。 2. 设变量,x y满足 -10 0+20 015 x y x y y ≤ ? ? ≤≤ ? ?≤≤ ? ，则2+3 x y的最大值为。 3. 若,x y满足约束条件 10 30 330 x y x y x y -+≥ ? ?? +-≤ ? ? +-≥ ?? ，则3 z x y =-的最小值 为。 4. 设函数 ln,0 () 21,0 x x f x x x > ? =? --≤ ? ，D是由x轴和曲线() y f x =及该曲线在点(1,0)处的 切线所围成的封闭区域，则2 z x y =-在D上的最大值为． 5. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万 元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为。 6. 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每
天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是。 7. 若,x y满足约束条件： 23 23 x x y x y ≥ ? ? +≥ ? ?+≤ ? ；则x y -的取值范围为_____. 8．若,x y满足约束条件 24 41 x y x y +≤ ? ? -≥- ? ，则目标函数z=3x－y的取值范围 是。 9．设,x y满足约束条件： ,0 1 3 x y x y x y ≥ ? ? -≥- ? ?+≤ ? ；则2 z x y =-的取值范围为 .
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题 例1画出不等式组 ? ? ? ? ? ≤ + - ≤ - + ≤ - + - .0 3 3 4 2 y x y x y x ， ， 表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0 = x，0 = y代入2 - + -y x中得0 2 0< - + - ∴不等式0 2≤ - + -y x表示直线0 2= - + -y x下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出3 3 2≤ < -y x表示的区域，并求所有的正整数解) , (y x． 分析：原不等式等价于 ? ? ? ≤ - > .3 ,3 2 y x y 而求正整数解则意味着x，y 有限制条件，即求 ? ? ? ? ? ? ? ≤ - > ∈ ∈ > > .3 ,3 2 , , ,0 ,0 y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3 3 2≤ < -y x表示的区域如下图：
对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．???????≤->∈∈>>. 3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域找出符合题设要求的整数点来． 例3 求不等式组?????+-≤-+≥1 11x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系作出四条射线
