反三角函数及最简三角方程
反三角函数及最简三角方程
一、知识回顾： 1、反三角函数：
概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ??
∈-????
时的反函数，成为反正弦函数，记作
x y arcsin =.
sin ()y x x R =∈，不存在反函数.
含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ??
∈-????
；sin x α=.
反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
其中：
（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2
π
]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－
2π，2
π
]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－
2π，2
π
], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈R
arcsin(sin x )＝x , x ∈[－
2π，2
π
], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,
π],arctan(tanx)=x, x ∈（－
2π，2
π
）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2
π
的应用。
2
（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；
若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。 二、典型例题：
例1. 函数，，的反函数为（
）y x x =∈???
???sin π
π2
32
[]A y x x .a r c s i
n =∈-，，11 []
B y x x .arcsin =-∈-，，11 []
C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []
D y x x .arcsin =-∈-π，，11
例2. 函数，，的图象为（）y x x =∈-
??????arccos(cos )π
π2
2
（A ） （B ）
（C ） （D ）
例3. 函数，，
的值域为（）y x x =∈-arccos(sin )()π
π
3
23
A B ..π
ππ656056，，??
??
??
?????
C D ..π
ππ
π3236
23，，?? ??
???????
例4.使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是( )
A B ..022221，，?? ?
??
?? ?
?? [)C D ..-??
??
??
-12210，，
例5. []若，则（）022<<+????
?
?++=απ
παπαarcsin cos()arccos sin()
A B C D ...
.π
π
π
απ
α2
2
2
22
2-
--
-
例6. 求值：(1)3sin 2arcsin 5????- ??????
? (2)1
1tan arccos 23?? ???
分析：arcsin()arcsin()sin --??????=-352
235表示，上的角，若设，则易得π
παα
=-3
5
2，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类
sin α问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。
例7.画出下列函数的图像（1）)arcsin(sin x y = （2）
]1,1[),sin(arccos -∈=x x y
例8.已知)2
3,(,135sin ),2,0(,2572cos π
πββπαα∈-=∈=
求βα+（用反三角函数表示） 分析：可求βα+的某一三角函数值，再根据βα+的范围，利用反三角函数表示角。
例9.已知函数2()arccos()f x x x =-
（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)f x f x <+
例10.写出下列三角方程的解集
(1)sin()8x π-=; (2)2cos310x +=; (3)cot 3=
例11.求方程tan(3)4
x π
+=[]0,2π上的解集.
例12.解方程22sin 10x x +=
例13. 解方程①3sin 2cos 0x x -= ②222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=
例14.解方程：2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x x -= 思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程
例15.解方程22sin 3cos 0x x +=．
例16.解方程：tan()tan()2cot 44
x x x ππ
++-=
例17.已知方程sin 0x x a +=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的解，求实数a 的取值范围。
[说明]对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．
（1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈； （2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈； （3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈．
三、同步练习：
反三角函数
1.3arctan(tan )5
π
的值是 ( )
A.35π-
B. 25π
C.25π-
D.35π
2.下列关系式中正确的是 ( )
A. 55cos cos 4
4arc π
π????-
=- ??????? B. sin arcsin 33ππ??= ??
? C. cos cos cos cos 44arc arc ππ???
?= ? ????? D.1tan(2)cot()2arc arc -=-
3.函数()arcsin(tan )f x x =的定义域是 ( )
A.,44ππ??-????
B.(),44k k k Z ππππ?
?-+∈????
C.(),(1)44k k k Z ππππ??++-∈????
D.()2,244k k k Z ππππ?
?-+∈???
?
4.在31,2??
-????
上和函数y x =相同的函数是 ( )
A.arccos(cos )y x =
B.arcsin(sin )y x =
C.sin(arcsin )y x =
D.cos(arccos )y x = 5.函数arctan
2
x
y π=+的反函数是 . 6.求sin y x =在3,22ππ??
????
上的反函数.
7.比较arccos 4??- ? ???
与1cot()2arc -的大小.
8.研究函数()2arccos y x x =-的定义域、值域及单调性.
9.计算:45cos arccos arccos 513??
??-- ??????
?
10.求下列函数的定义域和值域： (1) y ＝arccos
x
1; (2) y ＝arcsin(－x 2＋x ); (3) y ＝arccot(2x －1),
11.求函数y ＝(arccos x )2－3arccos x 的最值及相应的x 的值。
简单的三角方程 1.解下列方程.
(1)2tan 1x = (2)sin5sin3x x =
2.方程sin2x ＝sin x 在区间(0, 2π)内的解的个数是 .
3.(1) 方程tan3x ＝tg x 的解集是 . (2) 方程sin x ＋cos x ＝2
2
在区间[0, 4π]上的所有的解的和是 .
4.解方程22sin cos cos 0x x x x -=．
参考答案：
典型例题:例1. 分析与解：
π
π2
32
≤≤
x ∴?-??????x x π
π22，，需把角转化至主值区间。
∴-
≤-≤
-==π
ππ
π2
2
x x x y ，又sin()sin
由反正弦函数定义，得π-=x y arcsin ∴=--≤≤x y y πarcsin ，又由已知得11 []∴=-∈-所求反函数为，，y x x πarcsin 11 例2. 分析与解：
解析式可化简为，，，，y x x x x x ==∈?
? ??
?-∈-????
???????
??arccos(cos )0220ππ
即，，，，显然其图象应为（）y x x x x A =∈?
? ??
?-∈-????
????
?????0220ππ 例
3.
分
析与
解
：
欲求函数值域，需先求，，的值域。u x x =∈-sin ()ππ
323
-
<<
∴-<≤-<≤π
π3
233213
2
1x x u ，，即sin []而在，上为减函数y u =-arccos 11 ∴->≥arccos()arccos arccos 3
2
1u 即，故选（）056
≤<
y B π
例4. 分析与解：
该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x 的取值范围，故需把x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
若，则，，而，x x x ≤∈-??????∈????
?
?0202arcsin arccos πππ
此时不成立，故arcsin arccos x x x >>0
若，则，，，x x x >∈?? ???∈?
? ???00202arcsin arccos ππ
而在区间，上为增函数y x =?
? ???sin 02π
又arcsin arccos sin(arcsin )sin(arccos )x x
x x >∴>
即，解不等式，得x x x >->
12
2
2|| 又，故选（）012
2
1<≤∴
<≤x x B 例5. 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。
arcsin cos()arcsin(sin )arcsin(sin )παααα2+????
??=-=-=-
[]arccos sin()arccos(sin )arccos(sin )πααπα+=-=-
=--????
??=--=+ππαππαπαarccos cos()(),222
∴=-++=
原式，故选（）()(
)απ
απ
2
2
A
例6. 解：（）设，则1353
5
arcsin()sin -==-αα
απ
παα∈-??????∴=-=2
21452，，cos sin
∴==?-?=-sin sin cos ()()222354524
25ααα
即sin arcsin()2352425-?
?
????=-
（）设，则2131
3
arccos cos ==αα
[]
απαα∈∴=-=
0122
3
2，sin cos
∴=-=-
=tg ααα2111
3223
22cos sin 即tg 121322arccos ?????
?= 例7. (1)函数是以π2为周期的周期函数 当]2,2[π
π-
∈x 时，x x =)arcsin(sin 当]2
3,2[π
π∈x 时，x x -=π)arcsin(sin 其图像是折线，如图所示：
(2) ∵ ],0[arccos π∈x
∴)1(1)(arccos cos 122≤-=-=x x x y
其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：
例8. 解：∵)2,0(π
α∈∴5
cos ,5322cos 1sin ==-=
ααα 又∵)23,
(ππβ∈∴13
12
2sin 1cos -=--=ββ 65
56
)135(54)1312(53sin cos cos sin )sin(-=-?+-?=+=+βαβαβα
∵2253sin ),2,0(<=∈απα ∴4
0π
α<<
又∵),23,(,135sin ππββ∈-
=∴135
arcsin +=πβ 又∵4135arcsin 0π<< ∴45πβπ<< ∴2
3π
βαπ<+<
从而6556
arcsin +=+πβα
讲评：由题设)23,(),2,0(ππβπα∈∈，得)2,(ππβα∈+由计算6556
)sin(-=+βα
∴65
56
arcsin 26556arcsin -=++=+πβαπβα或，但βα,是确定的角，因而 β
α+的值也是唯一确定的。所以必须确定βα+所在的象限，在以上的解法中，由β
α,的范围，再根据βαcos ,s in 的值，进一步得到)4
5,(),4,0(π
πβπα∈∈从而确定
βα+)23,(ππ∈，故得出正确的答案：6556
arcsin +=+πβα
例
9. 解：（1）由112≤-≤-x x 得
2
5
1251+≤≤-x 又
]1,4
1
[41)21(22-∈--=-x x x
∴)(x f 的定义域为]251,251[+-，值域为]4
1
arccos ,0[-π 又∵]2
1
,251[-∈x 时，x x x g -=2)(单调递减，x y arccos =单调递减，从而)
(x f 递增
∴)(x f 的单调递增区间是]21,251[
-，同理)(x f 的单调递减区间是]2
5
1,21[+ （2）)]2
1
2()212arccos[()arccos()212()(22+-+<-+ 即)4 1 4arccos()arccos(22-<-x x x ∴??? ? ? ? ??? ->-≤-≤-≤-≤-41414141112 222x x x x x x 解不等式组得6121<<-x ∴不等式的解集为)61,21(- 例10. 解集{x|x=(k π+arctg3)2，k ∈Z} 例11. 说明如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解． 例12. 解：方程化为2 2cos30 x x-= 说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解． 例13. ②除以cos2x化为2tg2x-3tgx-2=0． 说明关于sinx，cosx的齐次方程的解法：方程两边都除cos n x(n=1，2，3，…)(∵cosx=0不是方程的解)，转化为关于tgx的方程来解． 例14.思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程 2x-30°=k180°+(-1)k30° ∴x=k90°+(-1)k15°+15°(k∈Z)所以解集是 {x|x=k90°+(-1)k15°+15°，k∈Z} 于是x=k60°+(-1)k10°+22°38′，(k∈Z) ∴原方程的解集为{x|x=k60°(-1)k10°+22°38′，k∈Z} 最简单的三角方程． 例15. 解原方程可化为2 2(1cos)3cos0 x x -+=， 即2 2cos3cos20 x x --=． 解这个关于cos x的二次方程，得 cos2 x=， 1 cos 2 x=-． 由cos2 x=，得解集为φ； 由 1 cos 2 x=-，得解集为 2 2, 3 x x k k Z π π ?? =±∈ ?? ?? ． 所以原方程的解集为 2 2, 3 x x k k Z π π ?? =±∈ ???? ． [说明]方程中的2 sin x可化为2 1cos x -，这样原方程便可看成以cos x为未知数的 一元二次方程，当0?≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解． 例16. 解：tg(x ＋ 4π)＋tg(x －4 π )＝2ctg x ………① ∴ x x tg 1tg 1-+＋x x tg 1tg 1+-＝ x tg 2 ………②, 去分母整理得tg 2x ＝31 , tg x ＝± 33, ∴ x ＝k π±6 π, k ∈Z , 由①根据定义知x ＋4π≠k π＋2π, x －4π≠k π＋2 π , x ≠k π, k ∈Z , 即 x ≠k π＋4π, x ≠k π＋43π, x ≠k π, 而②中又增加了限制条件x ＝k π＋2 π , k ∈Z , 即从①到②有可能丢根，x ＝k π＋ 2π, 经验算x ＝k π＋2 π 是原方程的根， ∴ 原方程的解集是{x | x ＝ x ＝k π±6π或x ＝k π＋2 π , k ∈Z } 例17. 解：由sin x ＋3cos x ＋a ＝0得2sin(x ＋3π)＝－a , sin(x ＋3π)＝－2 a , －2≤a ≤2 ∵ x ∈[0, 2π], ∴ x ＋ 3π∈[3π, 2π＋3 π ], 又原方程有且只有两个不同的解，∴ a ≠2, a ≠－2, 即|a |＝2时，原方程只 有一解； 又当a ＝－3时，sin(x ＋3π)＝23，得x ＋3π＝3 π或32π或37π, 解得x ＝0或x ＝ 3 π 或x ＝2π,此时原方程有三个解，∴ a ∈(－2, －3)∪(－3, 2). 同步练习:CCBB 7. 1arccos cot()42arc ??->- ? ??? 10. 解：(1) y ＝arccos x 1, 0< x 1≤1, ∴ x ≥1, y ∈[0, 2 π ). (2) y ＝arcsin(－x 2＋x ), －1≤－x 2＋x ≤1, ∴ 251-≤x ≤2 5 1+, 由于－x 2＋1＝－(x －21 )2＋41, ∴ －1≤－x 2＋x ≤41, ∴ －2 π≤y ≤ arcsin 4 1 . (3) y ＝arccot(2x －1), 由于2x －1>－1, ∴ 0< arccot(2x －1)< 4 3π , ∴ x ∈R , y ∈(0, 4 3π). 11. 解：函数y ＝(arccos x )2－3arccos x , x ∈[－1, 1], arccos x ∈[0, π] 设arccos x ＝t , 0≤t ≤π, ∴ y ＝t 2－3t ＝(t －2 3)2－4 9, ∴ 当t ＝23时,即x ＝cos 23时, 函数取得最小值－4 9， 当t ＝π时,即x ＝－1时，函数取得最大值π2－3π. 简单的三角方程: 1. 解下列方程. (2)5x=2k π+3x 或5x=2k π+π-3x x k π∴=或21 8 k x π+=()k Z ∈ 解：作出函数y ＝sin2x 和y ＝sin x 的图象，由图象知，它们的交点有3个。 3. 解：(1) ∵tan3x ＝tan x , ∴ 3x ＝x ＋k π, x ＝2 π k , 由于定义域为3x ≠k π＋2 π, x ≠k π＋ 2 π, ∴ 原方程的解集为{x | x ＝k π, k ∈Z }. (2) ∵sin x ＋cos x ＝22, ∴ sin(x ＋4π)＝21 , x ＋4π＝2k π＋6π或x ＋4 π＝2k π＋ 6 5π, ∴ x ＝2k π－ 12 π或x ＝2k π＋127π, k ∈Z , 又x ∈[0, 4π], ∴所有的的解为 127π, 2π＋12 7π , 2π－12π, 4π－12 π , 它们的和为9π. 4. 解一 因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得 2tan tan 103 x x - -=． 解关于tan x 的二次方程，得 tan x =tan x =． 由tan x =,3x x k k Z ππ?? =+∈???? ； 由tan x =，得解集为,6x x k k Z ππ??=-∈???? ． 所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ?? =+=-∈???? 或． [说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解． 解二 降次得 1cos 21cos 220232x x x -+--=， 化简得2cos 20x x +=． 因为cos20x ≠（使cos20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的 两边同除以cos2x ，得tan 2x = 由tan 2x =，得 2,3 x k k Z π π=- ∈，即,26 k x k Z ππ = -∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ?? = -∈???? ． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时， 26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3 ππ+，所以实质上,,36x x k x k k Z ππππ??=+=-∈????或与,26k x x k Z ππ??=-∈???? 是相等的集合． 解三 降次得 1c o s 31c o s 2 i n 20232 x x x -+ --=， 化简得 2cos 20x x +=， 即 sin(2)03x π+=，得 2,3x k k Z ππ+=∈，即,26 k x k Z ππ =-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ?? = -∈???? ． 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z) 反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = . 反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： . 名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. . 反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ 三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ- 2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在［2kπ+2 π ,2kπ+32π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π，kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z) 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图，理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arcotx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。 第一象限角：2k π＜α＜2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角：2k π+ 2 π ＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角：2k π+2 3π ＜α＜2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k 2360°+α，k ∈Z 。 (5)特殊角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝ 2 π k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π ，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π ，k ∈Z ｝ 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4 π ，k ∈Z ｝ 2.弧度制： (1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化： sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。 反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系 加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ 三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y 1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx 反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 三角函数 1.特殊锐角（ 0°， 30°， 45°， 60°， 90°）的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为 a （rad ）, 半径为 R，面积为 S 角a 的弧度数公式2π×(a /360 °) ①360°=2π rad 角度与弧度的换算②1°=π/180rad ③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 ° 弧长公式l a R 扇形的面积公式s1lR 2 3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓 奇偶指是整数 k 的奇偶性（ k· /2+ a） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角， k· /2+ a 之和所在象限）注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 学习指导参考 4. 三角函数的图像和性质： （其中 k z ） ①： 三角 函数 函 数 图 象 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 y sin x R [-1,1] 2 奇 2k , 2k 2 2 2k , 2k 2 2 对称轴 : x k 2 y cosx R [-1,1] 2 偶 2k ,2 k 2k ,2 k 对称轴 : x k y tanx y cotx x k x k 2 R R 奇 非奇非偶 k , k k , k 2 2 对称中心: ( k 2 , 0) 性 对称中心 : ( k , 0) 对称中心 : ( k + 2 , 0) 零值点 x k x k 2 最 x k , y max 1 x 2k ， y max 1 ； 2 值 x k , y min 1 y 2k ， y min 1 x k x 2 k 反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,，，,, ,,,,值域 [0，π] ,,,,2222，，,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx，,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx，,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2 -3,,,x|x,k，,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk，kZ, ,，,称直线，无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,，kZ, 点，kZ, 点(,0)k，(,0)点，kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,，[2,22]kk,,,,，，,,,上在,上在(,)kk,，,,2222单调性 ,,3,在上，，[2,2]kk,,,，,[2,2]kk,,在上无减区间 22 反三角函数常见公式 李浩翔 .,)1()1()1()()()1()1(#.,0,,1),1(*)0(,2 3)1(),0(,2)1()0(,2 )1(#),0(,2)1(*arcsin )1csc(,arccos )1sec(sec )1arccos(csc )1arcsin(arccos )arccos(),()(,2 arccos )()2)((sec )sec()(arccos )arccos() (csc )csc()(arcsin )arcsin(2csc sec ,2,2arccos arcsin 是显然的第二个等号由余角关系第一个等号得证证明：是显然的第二个等号由余角关系第一个等号得证于是可直接取反函数＞又则证明：令＜＞＜＞，，余切的特殊性）： 倒数关系（注意正切和则可得利用例：设”即可证明□构造“证明利用奇函数的性质即可负数关系： （易证）余角关系： πππππππππππ πππππππ-=?-=-=-?--=--=--=====-=+=-==--=-=-======-=-=-- =-=?? ???-=--=--=-?? ???-=--=--=-=+=+= +arcctgx x arctg x arctg arcctgx x arctg arcctgx x arcctg x arctg x arctg arcctgx y x ctgy x tgy x x arctg y x arcctgx arctgx x arcctg x arcctgx arctgx x arcctg x arctgx arcctgx x arctg x arctgx arcctgx x arctg x x arc x x arc x arc x x arc x x x x f x f x x f x f x arc x arc arcctgx x arcctg x x x arc x arc arctgx x arctg x x x arc x arc arcctgx arctgx x x 一．三角函数公式 1.诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2（90度） - a) = cos(a) cos(π/2（90度） - a) = sin(a) sin(π/2 （90度）+ a) = cos(a) cos(π/2 （90度）+ a) = - sin(a) sin(π（180度）- a) = sin(a) cos(π（180度） - a) = - cos(a) sin(π（180度）+ a) = - sin(a) cos(π（180度）+ a) = - cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] sin(a) sin(b) = 2cos[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] 4.积化和差公式 sin(a)sin(b) = - 1/2[cos(a + b) - cos(a - b)] cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a + b) + cos(a -b)] sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a + b) + sin(a - b)] 5.二倍角公式 sin(2a) = 2sin(a)cos(b) cos(2a) = cos2(a) - sin2(a) = 2cos2(a) -1=1 - 2sin2(a) 反三角函数的概念和性质 ． 一．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝ arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 三角函数公式和图象总结 1．与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为S={β|β=α+k ×360，k ∈Z} 2．弧长公式：α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 3．三角函数定义： sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===，其中P (,)x y 是α终边上一点，||r OP = 4．同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=，?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。 12．①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω，最大值为A+b ，最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13．正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 14．余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15．S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2 A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点 倒数关系：tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的 对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2 (a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2C os^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sin a(3/4-sin2a) =4sina[(√3/2)2-sin2a] =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosa[cos2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos2a-cos230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2] cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasi 三角、反三角函数图像 (附：资料全部来自网络，仅对排版做了改动，以方便打印及翻阅，其中可能出现错误，阅者请自行注意。） 1.六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 2.三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x∈R 且x≠kπ+2 π ,k∈Z ｝ ｛x ｜x∈R 且x≠kπ,k∈Z｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ-2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在 ［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］ 上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数 (k∈Z) 在［2kπ -π， 2kπ］上都是增 函数；在［2kπ， 2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ， kπ+ 2 π )内都是 增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π) 内都是减函数 (k∈Z) 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx arccotx 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈ 〔- 2 π , 2 π 〕的反 函数，叫做反正弦 函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数，叫做反余弦 函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数，叫 做反正切函数，记作 x=arctany y=cotx(x∈(0, π))的反函数， 叫做反余切函 数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于 ［- 2 π , 2 π ］ 且正弦值等于x的 角 arccosx表示属 于［0，π］，且 余弦值等于x的 角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π )，且正切 值等于x的角 arccotx表示属 于(0，π)且余切 值等于x的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- 2 π ， 2 π ］［0，π］(- 2 π ， 2 π )(0，π)单调性 在〔-1，1〕上是增 函数 在［-1，1］上是 减函数 在(-∞，+∞)上是增 数 在(-∞，+∞)上 是减函数三角函数,反三角函数公式大全
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