第六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习 1、二次根式的概念:
1、定义:一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当a≥0时,√ā表示a 的算术平方根,当a 小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下为负数,则无实数根)
概念:式子√ā(a≥0)叫二次根式。√ā(a≥0)是一个非负数。 题型一:判断二次根式
(1)下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1
x
、x (x>0)、
0、42、-2、
1
x y
+、x y +(x≥0,y ?≥0). (2)在式子
()()()
23
0,
2,12,20,3,
1,
2
x x y y x x x x y +
=--++中,二次根式有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
(3)下列各式一定是二次根式的是( ) A.
7- B.
3
2m C. 21a + D.
a b
2、二次根式有意义的条件
题型二:判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: (1)43-x (2)
a 83
1
- (3)42+m (4)x 1-
2、
21
x
x --有意义,则 ; 3、若
x
x x
x --=--3232
成立,则x 满足_______________。
典型练习题:
1、当x 是多少时,
23x ++
1
1
x +在实数范围内有意义? 2、当x 是多少时,
23x x
++x 2
在实数范围内有意义? 3、当__________时,212x x ++-有意义。
4、使式子2(5)x --有意义的未知数x 有( )个. A .0 B .1 C .2 D .无数
5、已知y=2x -+2x -+5,求x
y
的值.
6、若3x -+3x -有意义,则2x -=_______.
7、若1
1m m -++有意义,则m 的取值范围是 。
8、已知()
2
22x x -=-,则x 的取值范围是 。
9、使等式
()()111
1x x x x +-=
-+成立的条件是 。
10、已知233x x +=-x 3+x ,则( )
(A )x ≤0 (B )x ≤-3 (C )x ≥-3 (D )-3≤x ≤0 11、若x <y <0,则222y xy x +-+222y xy x ++=( ) (A )2x (B )2y (C )-2x (D )-2y
12、若0<x <1,则4)1(2+-x x -4)1
(2-+x
x 等( )
(A )x 2 (B )-x 2
(C )-2x (D )2x
13、化简a
a 3
-(a <0)得( ) (A )a - (B )-a (C )-a - (D )a
3、最简二次根式的化简
最简二次根式是特殊的二次根式,他需要满足:(1)被开方数的因数是整数,字母因式是整式;(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢? 题型一:判断下列是不是最简二次根式:
1.x 8、
3
1
、29x +、3222b ab b a ++、 题型二:不同类型二次根式的化简成最简二次根式
一、被开方数是整数或整数的积 例1 化简:(1)162;(2)7532?.
解:(1)原式=281?=292?=292?=29;
(2)原式=325216???=65422??=25422??=620.
温馨提示:当被开方数是整数或整数的积时,一般是先分解因数,再运用积的算术平方根的性质进行化简.
二、被开方数是数的和差
例2 化简:22)21
()23(+.
解:原式=
4
1
49+=
410=1021. 温馨提示:当被开方数是数的和差时,应先求出这个和差的结果再化简.
三、被开方数是含字母的整式
例3 化简:(1)3418y x ; (2)3222b ab b a ++.
解:(1)原式=y y x ????2)(32222=y y x 232; (2)原式=)2(22b ab a b ++=2)(b a b +=b b a )(+.
温馨提示:当被开方数是单项式时,应先把指数大于2的因式化为2)(m a 或a a m ?2)(的形式再化简;
当被开方数是多项式时,应先把多项式分解因式再化简,但需注意,被移出根号的因式是多项式的需加括号. 四、被开方数是分式或分式的和差
例4 化简:(1)b a x 2
383 (2)y
x
x y + 解:(1)原式=b b a b
x 282323??=222246b a bx x ?=bx ab x 62; (2)原式=xy
y x 22+=2
222)(y x xy y x +=)(122y x xy xy +. 温馨提示:当被开方数是分式时,应先把分母化为平方的形式,再运用商的
算术平方根的性质化简;当被开方数是分式的和差时,要先通分,再化简. 典型练习题: 1、把二次根式x
y
(y>0)化为最简二次根式结果是( ). A .
x
y
(y>0) B .xy (y>0) C .xy y (y>0) D .以上都不对
2、化简422x x y +=_________.(x ≥0)
3、a 2
1
a a +-
化简二次根式号后的结果是_________.
4、已知?xy 0,化简二次根式2
y
x
x -的正确结果为_________. 5、已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2
22
2d c ab d c ab +-=______.
4、同类的二次根式
1、以下二次根式:①12;②22;③
2
3
;④27中,与3是同类二次根式的是( ).
A .①和②
B .②和③
C .①和④
D .③和④
2、在8、1753a 、293
a 、125、323a a 、30.2、-218中,与3a 是同 类二次根式的有______ 3、a
b 、
3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式.…( ) 4、若最简根式343a b a b -+与根式23226ab b b -+是同类二次根式,求a 、b 的值.
5、若最简二次根式22
323
m -与212410n m --是同类二次根式,求m 、n 的值.
5、二次根式的非负性
1.若1a ++1b -=0,求a
2004
+b 2004的值.
2. 已知1x y -++3x -=0,求x y 的值.
3. 若2440x y y y -+-+=,求xy 的值。
4.若1+x +3-y =0,则(x -1)2+(y +3)2=____________.
5. 已知,a b 为实数,且()1110a b b +---=,求20052006a b -的值。
6、
??
?
??-==a
a a a 2 的应用 1. a ≥0时,2a 、2()a -、-2a ,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是( ).
A .2a =2()a -≥-2a
B .2a >2()a ->-2a
C .2a <2()a -<-2a
D .-2a >2a =2()a -
2.先化简再求值:当a=9时,求a+212a a -+的值,甲乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式=a+2(1)a -=a+(1-a )=1;
乙的解答为:原式=a+2(1)a -=a+(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________. 3.若│1995-a │+2000a -=a ,求a-19952的值.
(提示:先由a-2000≥0,判断1995-a ?的值是正数还是负数,去掉绝对值) 4. 若-3≤x ≤2时,试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
5.化简a 1
a
-
的结果是( ). A .a - B .a C .-a - D .-a
6.把(a-1)1
1
a -
-中根号外的(a-1)移入根号内得( ).
7、求值问题
1.当x=15+7,y=15-7,求x 2-xy+y 2的值
2.已知a=3+22,b=3-22,则a 2b-ab 2=_________. 3.已知a=3-1,求a 3+2a 2-a 的值
3x y
4.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0,求(293x x +y 2)-(x 21
x
-5x
y
x
)的值. 5.已知5≈2.236,求(80-415)-(135+4
455
)的值.
(结果精确到0.01)
6.先化简,再求值.
a ≥0 a <0
(6x y x +33xy y
)-(4y
x y +36xy ),其中x=32
,y=27.
7.当x=121-时,求2211x x x x x x ++++-++2211x x x
x x x
+-++++的值.(结果用最简二次根
式表示) (注:设分子分母分别为a 、b ,求出a+b 与a-b)
变形题7:
:
8. 已知2310x x -+=,求221
2x x
+-的值。
9、已知x =2323-+,y =2
32
3+-,求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值.(先化简xy ,再化简分式,求值)
10、当x =1-2时,求2
2
2
2
a
x x a x x
+-++
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-+
2
2
1a
x +的值.
11、若x ,y 为实数,且y =x 41-+14-x +2
1
.求x y y x ++2-x y y x +
-2的值.
8、比较大小的问题
1、设a=23-,b=32-,c=25-,则a 、b 、c 的大小关系是 。
2、35与26比较大小。
3、化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________.
4、9. 23-和32-的大小关系是( ) A. 23
32-- B. 2332-- C. 2332-=- D. 不能确定
9、二次根式的整数部分、小数部分的问题
1、 x ,y 分别为8-6的整数部分和小数部分,则2xy -y 2=____________.
2、已知ab 分别是6-13的整数部分和小数部分,那么2a-b 的值为多少?
3、9.已知111-的整数部分为a ,小数部分为b ,试求()
()111++b a 的值。
10、二次根式的化简计算
1、当a <0,b <0时,-a +2ab -b 可变形为( )
(A )2)(b a + (B )-2)(b a - (C )2)(b a -+- (D )2)(b a ---
2、(235+-)(235--);
3、11
45--
7114
--7
32+;
()2125.
121335÷? ()53236.32b ab a b b a ???-÷ ???
4、(a 2m n -m
ab
mn +
m n
n m )÷a 2b 2m
n ;
5、(a +b
a ab
b +-)÷(b ab a ++a ab b --ab b a +)(a ≠b ).
6、32n n m m ·(-3
3
1n m m )÷32n m (m>0,n>0)
7、-322
2
332m n a
-÷(232m n a +)×2a m n - (a>0)
8、 22
11a a a a ?
???+-- ? ?
???? 9、2a b a b ab a b a b -+----
10、x y y x y x x y x y y x y x x y -+-+- 11、2a ab b a b a
a b a ab b ab b ab ??++--÷ ? ?-+-+??
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义: 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A B C D 2______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K ] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x >3 ??B 、x≥3 C 、 x>4 ??D 、x ≥3且x ≠4 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y =5-x +x -5+2009,则x+y = 举一反三: 2 ()x y =+,则x -y的值为( )
A .-1 B .1 C.2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求x y的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y,求y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 ? B .– 3? C.1? D.– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 (公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C、2a —4 D 、4
二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并
二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)()2= (≥0);(2) 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. =·(a≥0,b≥0);(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 (2)、平方法 当时,①如果,则;②如果,则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。
(4)、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 (5)、倒数法 例5、比较与的大小。 (6)、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 (7)、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①;② 例7、比较与的大小。 (8)、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①;② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1)()2=- ();(2)=- () (3)(-)2=- ();(4)(2)2=2×=1 () 2.下面的计算中,错误 ..的是() A.=±0.03 B.±=±0.07 C.=0.15 D.-=-0.13 3.下列各式中一定成立的是() A.=+=3+4=7 B.=- C.(-)2= D.=1-= 4.()2-=________; 5.+(-)2=________.6.[-]·-6;
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 二次根式(提高) 责编:常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进 行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ; 2.; 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值. 2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 是__________时, +在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意,得23010≥①≠②x x +??+?
由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三: 【变式】(2015?随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示:∵代数式 +有意义, ∴, 解得x ≥0且x ≠1. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1) ; (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三: 【:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1)y=x --1 1+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且 (2)22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. (2016?潍坊)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+ 的结果是( ) A .﹣2a +b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 【思路点拨】直接利用数轴上a ,b 的位置,进而得出a <0,a ﹣b <0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
/《二次根式》分类练习题 知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 v 二次根式的定义: 形如 的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时, 才有意义. 【典型例题】 【例1】下列各式1) 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、 2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子 3 x -有意义,则x 的取值范围是 . 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式2 21x x - +-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 解题思路:式子a (a ≥0),50 ,50 x x -≥?? -≥? 5x =,y=2009,则x+y=2014 举一反三: 111x x --2 ()x y =+,则x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值 3、当a 211a +取值最小,并求出这个最小值。 已知a 5b 是51 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求y x 1 2+ 的值.
二次根式的知识点汇总 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注: 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根 式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注: 因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:
二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本 身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实 数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的运算 (1)因式的外移和移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
二次根式计算练习题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 214181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知: 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6. ))((36163--?-; 7. 63312??; 8. )(102132531- ??; 9. z y x 10010101??-.
10. 20245-; 11. 144 25081010??..; 12. 521312321 ?÷; 13. )(b a b b a 1223÷?. 14. 2712135272 2-; 15. b a c abc 4322-. 16. 已知:2420-= x ,求221x x +的值. 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f
()5()6?÷ ? 18. 化简: ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 20. 21.. ( 231 ?+ ? 22.(()2771+-- 23.((((2222 1111+-
24. 22 - 28. 已知: x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知:11a a +=+221 a a +的值。 30. 已知:,x y 为实数,且3y p ,化简: 3y -- 31. 已知11 039322++=+-+-y x x x y x ,求的值。 32(1)-645×(-448); (2)(-64)×(-81);
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理;
(3) 乘法公式的推广: 2.二次根式的加减运算 先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (6). (7)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (8)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10< 第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54 二次根式练习题 一、选择题 1. 下列式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x 2.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是( ) A .m=0 B .m=1 C .m=2 D .m=3 3.若x<0,则x x x 2 -的结果是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .2 4.下列说法错误的是 ( ) A .962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式 C .22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是4 524n n 的最小值是( ) .5 C 6.化简61 51 +的结果为( ) A .3011 B .33030 C .30330 D .11 30 7..把a a 1 -根号外的因式移入根号内的结果是( ) A 、 a - B 、a -- C 、a D 、a - 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是( ) A. 2a b a b =+ B. 22a b a b +=+ C. ()22222a b a b +=+ D. ()2a b a b +=+ 9. 29x + ) A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 10. 下列式子中正确的是( ) A. 527= B. 22a b a b -=- C. (a x b x a b x =- D. 683432+== 二、填空题 11.①=-2)3.0( ;②=-2)52( 。 12.化简:计算=--y x y x _______________; 13.计算3 393a a a a -+= 。 14)2211x x x -+的结果是 。 15. 当1≤x <5()215_____________x x --=。 16. )()200020013232 ______________+=。 17.若0≤ a ≤1,则22)1(-+a a = ; 18.先阅读理解,再回答问题: 2112,122,+<211+1; 2226,263,+=222+的整数部分为2; 23312,3124,+=<<233+3; 2(n n n +为正整数)的整数部分为n 。 5x ,小数部分是y ,则x -y =______________。 三、计算 (1)225241???? ? ?-- (2))459(43332-? (3)233232 6-- (4)219234x x x 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算二次根式知识点及典型例题练习
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