高考数学一轮复习正弦定理和余弦定理
第六节正弦定理和余弦定理
[考纲传真](教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
(对应学生用书第50页)
[基础知识填充]
1．正弦定理和余弦定理
(1)S＝1
2a·h a(h a表示边a上的高)；
(2)S＝1
2ab sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A
．
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
[知识拓展]
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：A＋B
2＝
π
2－
C
2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(2)sin A＋B
2＝cos
C
2；(4)cos
A＋B
2＝sin
C
2.
3．在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b
cos A＞cos B?A＜B?a＜b
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．()
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.()
(4)在△ABC中，
a
sin A＝
a＋b－c
sin A＋sin B－sin C
.()
[解析](1)正确．A＞B?a＞b?sin A＞sin B．
(2)错误．由cos A＝b2＋c2－a2
2bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角
形．
(3)错误．由b＜a知，B＜A．
(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不能确定
C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c
2R ＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角
三角形．]
3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2
3，则b ＝( ) A ．2 B ． 3 C ．2
D ．3
D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×2
3，
解得b ＝3或b ＝－1
3(舍去)，故选D ．]
4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 75° [如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22.
又c >b ，∴B ＝45°，
∴A ＝180°－60°－45°＝75°.]
5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________.
【导学号：79170109】
23[由题意及余弦定理得cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
c2＋16－12
2×4×c
＝
1
2，解得c＝2，
所以S＝1
2bc sin A＝
1
2×4×2×sin 60°＝2 3.]
(对应学生用书第51页)
b，C．已知
sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()
A．π
12B．π6
C．π
4D．
π
3
(2)在△ABC中，∠BAC＝3π
4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，
求AD的长．
(1)B[因为a＝2，c＝2，
所以由正弦定理可知，
2
sin A＝
2
sin C，
故sin A＝2sin C．
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin A sin C－sin A cos C
＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A sin C－sin A cos C ＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝3π4.
从而sin C＝1
2
sin A＝
2
2×
2
2＝
1
2.
由A＝3π
4知C为锐角，故C＝
π
6.
故选B．]
(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC
＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4
＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.
又由正弦定理得sin B＝b sin∠BAC
a＝
3
310
＝
10
10，
由题设知0＜B＜π
4，
所以cos B＝1－sin 2B＝1－1
10＝
310
10.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得
AD＝AB·sin B
sin(π－2B)＝
6sin B
2sin B cos B＝
3
cos B＝10.
[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
[变式训练1] (1)(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．120°
(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5
13，a ＝1，则b ＝________. (1)A (2)
21
13
[(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3aC ．又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝3
2，∴B ＝30°. (2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，
∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋4
5×1213＝6365.
又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×6365
35
＝21
13.]
A ，
B ，
C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△
ABC 的形状为( )
【导学号：79170110】
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
(2)(2018·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
(1)D (2)C [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π
2，所以△
ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
(2)由b 2＋c 2＝a 2＋bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2.
∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
3.
由sin B ·sin C ＝sin 2A 得bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc 得(b －c )2＝0，即b ＝c ，从而△ABC 是等边三角形．]
[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sin
C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ．
法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 2
2ac ＝c ?a 2＝b 2?a ＝B ．]
边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；
(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． [解] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2aC ． 2分
又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2C ． 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. 5分 (2)由(1)知b 2＝2aC ．
7分 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2， 故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 9分 所以△ABC 的面积为1
2×2×2＝1. 12分
[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝C ． (1)求C ；
(2)若c ＝7，△ABC 的面积为33
2，求△ABC 的周长．
[解](1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，
即2cos C sin(A＋B)＝sin C，3分故2sin C cos C＝sin C．
可得cos C＝1
2，所以C＝
π
3. 5分
(2)由已知得1
2ab sin C＝
33
2.
又C＝π
3，所以ab＝6. 9分
由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋7. 12分
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·????－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3 .因为0 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°， 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长． 正余弦定理常见解题类型 1． 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角． 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 例1 已知在ABC △中，4526A a c ∠===，，，解此三角形． 解：由余弦定理得22(6)26cos 454b b +-=， 从而有31b =±． 又222(6)222cos b b C =+-?， 得1cos 2 C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=． 因此，31b =+，60C ∠=，75B ∠= 或31b =-，120C ∠=，15B ∠=． 注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做． 2． 判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理： A B C ++=π；利用余弦定理公式222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，， 222 cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题． 例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径， 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠∵， sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=． 90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形． 3． 求三角形中边或角的范围 例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b 的取值范围． 解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠． 04B π∴<∠<．可得210sin 2 B <<． 又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b <<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件． 4． 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵， 222222 22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=?-===． 温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1 解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???， 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦 定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半 径)，并可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形 高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形 正弦定理、余弦定理高考真题 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += A. 15 3 B ．153- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故选A 2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111 A B C ?是锐角三角形，若222 A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-??? ==-???==-??，得21 2 121222A A B B C C πππ? =-?? ?=-??? =-?? ，那么，2222 A B C π ++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-= ，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ． 3 2 Ｂ．3 Ｃ． 158 Ｄ． 157 解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故22 1522tan 15152tan 7151tan 1() 215 A A A ? = ==--，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = A ．1 4 B ．34 C ． 24 D ．23 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、 b 、 c ,A =3 π,a =3,b =1，则c = 第28讲 正弦定理与余弦定理 1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又因为0° 解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长. 2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，2=a ，2=c ，则=C （ ） A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答：0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到： 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ，C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 （Ⅰ）求C B sin sin ； （Ⅱ）若1cos cos 6=C B ，3=a ，求ABC ?的周长。 本题解答：（Ⅰ）ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 （Ⅱ）61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ，3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到：921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据（Ⅰ）得到：898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到：3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为：333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题：ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答：根据射影定理得到：b A c C a =+cos cos ，b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2 解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）. 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?< 平面向量题型归纳（全） 题型一：共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ）A.→ →b a ,方向相 同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在 ,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→ →b a λλλλ 变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→ → ⊥b a B. 若→ → ⊥b a ，则→ →→→=+b a b a _ C. 若 → →→→ =+b a b a _，则存在实数λ，使得 →→ =a b λ D 若存在实数λ，使得→ →=a b λ，则 → →→→ =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。 变式一：设→ → 21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ） A. += B. += C. += D. ++= 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0正弦定理和余弦定理
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