高一测试题

翔博教育高一测试密卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案.

1、已知集合P=2{|1,}y y x x R =+∈,Q=2{|1,}x y x x R =+∈则P Q=（ ）

A. P

B. Q

C.?

D. R

2、圆22(2)(1)3x y -++=被直线10x y --=截得的弦长是

A ．

2 B ． 1 C ．

2

2

D ． 2 3、下列函数中，值域是()0,+∞的函数是（ ）

A. 125

x

y -=

B. 11

()3

x y -=

C. 12x y =-

D. 1

()12

x y =-

4、已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a

5．函数()sin cos f x x x =最小值是 （ ）

A ．-1 B. 1

2

- C. 12 D.1

6.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”

的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 已知向量)3,2(),2,1(-==b a ，若向量c

满足()//c a b + ，()c a b ⊥+ ，

则c = （ ）

A ．77(,)93

B ．77(,)39-

- C ．77

(,)93-- D ．77(,)39

8.已知a b >，c d >，且0cd ≠，则

A. ad bc >

B. ac bd >

C. a c b d ->-

D. a c b d +>+

9.如果直线220ax y ++=与直线320x y --=垂直，那么系数a =

A.

23 B. 3- C. 6- D. 32

- 10.设ABC ?的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若cos cos cos a b c

A B C

==， 则ABC ?是

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形 11.设数列{}n a 满足113a =，2

1n n n a a a +=+(*n N ∈)，记12111111n n

S a a a =++++++ ， 则10S 的整数部分为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12.函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，则22

9a b ab

+的

最大值与最小值之和为

A 、 18

B ． 16

C ． 14

D ． 494

二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.

13.设0x >，则函数4

y x x

=+

的最小值是 . 14.已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712

f π??

=

???

15．设α为第四象限角，若

sin 313

sin 5

αα=，则tan 2α=__________________ 16.已知数列{}n a (*

n N ∈)，其前n 项和为n S ，给出下列四个命题： ①若{}n a 是等差数列，则三点10(10,

)10S 、100(100,)100S 、110(110,)110

S

共线； ②若{}n a 是等差数列，且111a =-，376a a +=-，则1S 、2S 、…、n S 这n 个数中必然 存在一个最大者；

③若{}n a 是等比数列，则m S 、2m m S S -、32m m S S -(*

m N ∈)也是等比数列； ④若11n n S a qS +=+(其中常数10a q ≠)，则{}n a 是等比数列.

其中正确命题的序号是 .(将你认为的正确命题的序号．．都填上)

三、解答题：本题共6个小题，满分74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知f(x)=2cos 2x+3sin2x+a (a ∈R , a 为常数) (Ⅰ) 若x ∈R , 求f(x)的单调增区间; (Ⅱ) 若x ∈[0, 2

π

]时, f(x)的最大值为4, 并求此时f(x)的最小值。

18.(本小题满分12分)

已知定义在R 上的函数2

()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中a R ∈). (I)求(2)f 的值；

(II)解关于x 的不等式()0f x >.

19．（12分）已知向量b a ,，满足1||,1||==b a ，||3||b k a b a k -=+，0>k ，

（1）用k 表示b a ?，并求a

与b 的夹角θ的最大值；

（2）如果b a //，求实数k 的值。

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2x 的定义域是[0,3]，设g(x)=f(2x)-f(x+2). （1）求g(x)的解析式及定义域; （2）求函数g(x)的最大值和最小值.

21. (本小题满分14分)

已知数列{}n a 中，12a =，210a =，对任意*

n N ∈有2123n n n a a a ++=+成立. (I)若1{}n n a a λ++是等比数列，求λ的值； (II)求数列{}n a 的通项公式； (III)证明：12311112

3

n a a a a ++++< 对任意*n N ∈成立.

22．已知函数c x ax x f ++=1

)(2),0R c a ∈>（为奇函数,当0>x 时,

)(x f 的最小值为2.

（I ）求函数的解析式

(Ⅱ)若+

∈=+R b a b a 、,1,求证:

4

25)()(≥

b f a f (Ⅲ) 若,)()(x x f x g -=n *N ∈且2≥n ,求证:

n

n n g g g g n n 1)()4()3()2(212

222-<

++++≤-

参考答案

选择题ADBCB AADAD CB

填空：13、4 14、3 15、0 16、1、3 17．解: (Ⅰ)f(x)=2cos 2x+3sin2x+a

= cos2x+3sin2x+ a+1

=2 sin(2x+6π

) +a+1, ∴f(x)的单调增区间为[k π-3π, k π+6

π

] k ∈Z. ………6分

(Ⅱ) ∵x ∈[0, 2π

]时, f(x)的最大值为4,

∴6π≤2x+6π≤6

7π. f(x)max =2+ a+1=4,

∴a=1. ………………………………………9分

故:当2x+6π=6

7π,即2

π

=

x

时,

f(x)min =2?(2

1

-

)+ 1+1=1…………………………12分 18解：(I)2

(2)22(3)2(1)0f a a =--+-=；

(II)由(I)知方程()0f x =的两根为12x =，21x a =-，从而()(2)[(1)]f x x x a =---， 而12211x x a a -=-+=+，()0f x >等价于(2)[(1)]0x x a --->，于是 当1a <-时，12x x <，原不等式的解集为(,2)(1,)a -∞-+∞ ； 当1a =-时，12x x =，原不等式的解集为(,2)(2,)-∞+∞ ； 当1a >-时，12x x >，原不等式的解集为(,1)(2,)a -∞-+∞ .

19．解：（1）22)(3)(||3||b k a b a k b k a b a k -=+?-=+

即k

k b a b k b a k a b b a k a k 41363222

2

2

2

2

2

+=??+?-=+?+∴ ………..3分

2

1

)1(41≥+=

?k k b a ， ……………………………………………………..5分 此时 602

1

|

|||cos max =?≥

?=?=

θθb a b a b a ……………………………….7分 （2）b a // ，a ∴与b 夹角为

0或

180

1|41

|1cos ||||2=+?±==?k

k b a b a θ ………………………………………...10分

又0>k ，

32412±=?=+∴k k k ………………………………………………12分 20.解：（1）∵f (x )=2x ，

∴g (x )=f (2x )-f (x +2)=22x -2x +2。 (3')

因为f (x )的定义域是[0,3]，所以???≤+≤≤≤3

203

20x x ，解之得0≤x ≤1。

于是 g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}。 (6') 设g (x )=(2x )2-4×2x =(2x -2)2-4。 (8')

∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x =2即x =1时，g (x )取得最小值-4； (10')

当2x =1即x =0时，g (x )取得最大值-3。 (12')

21.解：(I)设211()n n n n a a a a λμλ++++=+，则21()n n n a a a μλλμ++=-+，

令23μλλμ-=??=?，得31μλ=??=?或者13

μλ=-??=-?，即1λ=或3λ=-； (II)由(I)知 2113()n n n n a a a a ++++=+，而2112a a +=， 故1

1121()3

12343n n n n n a a a a --++=+?=?=?，

同理2113(3)n n n n a a a a +++-=--有1

11213(3)(1)4(1)n n n n a a a a --+-=-?-=?-，

两式作差得 14434(1)n n n a -=?-?-，即3(1)n n

n a =+-. (III)当*

2()n k k N =∈时，注意到21

223

312310k k k +--=?->，于是

22112211111113131k k n n k k a a a a ++++=+=++-21222133(31)(31)k k

k k +++=

+- 2122212123333331k k k k k k ++++=?+--2122212213311

3333

k k k k k k ++++<=+?.

显然当1n =时，不等式成立；对于2n ≥， 当n 为奇数时，

1231231111111111()()n n n

a a a a a a a a a -++++=+++++ 2311111123333n n -=

+++++ 211311(1)2233n -=+?-1111(1)263n -=+-112263

<+=； 当n 为偶数时，

1231231

111111111

n n n a a a a a a a a a +++++<+++++

2311111123333n n +=

+++++ 21311(1)2233n =+?-111(1)263n =+-112263

<+=.

综上 对任意*

n N ∈有12311112

3

n a a a a ++++< 成立.

22.（I ）由函数c

x ax x f ++=1

)(2),0R c a ∈>（为奇函数,可得c=0,

再由0>x

时, )(x f 的最小值为2,得a=1,

故

x

x x f 1

)(2+=（)0≠x …………………4分 (Ⅱ)需证:425

)1()1(≥+?+b b a a .

因为 ,1=+b a 即证:4

25

22≥-+ab ab ,

再由+

∈=+R b a b a 、,1,41

22

=??

?

??+≤b a ab ,故

4

1

0≤

≤ab ,令ab t =,易证……………………8分 （学生用其它方法参照给分）

(Ⅲ)x

x g 1

)(=, 需证:

n

n n n n 1

1413121212222-<

++++≤- 一方面:

n

n n n n

n n 111141313121211)1(143132121114131212222-=

--++-+-+-=-++?+?+?<++++

……………………………………………10分 另一方面:

)

12(221212-??= )3()

1(21112>-?>?=k k k k k k n

n n n n

n n 21)11141313121211(21))1(1431321211(2114131212222-=--++-+-+-=-++?+?+?≥++++

综上

n

n n n n 1

1413121212222-<

++++≤- ……………………………………………14分