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2019上海高考数学知识点总结内容精华版

高中数学第一章-集合

考试内容:

集合、子集、补集、交集、并集.

逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.

考试要求:(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.

(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.

§01. 集合与简易逻辑 知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:

二、知识回顾:

(一) 集合

1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质:

①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,.

[注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×)

②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集.

④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R

}二、四象限的点集.

③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ?

?

?=-=+1323

y x y x 解的集合{(2,1)}.

②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?) 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子

集有2n -2个.

5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.

解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. ②

且21≠≠y x 3≠+y . 解:逆否:x + y =3

x = 1或y = 2.

2

1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分,又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若255πφφx x x 或,?. 4. 集合运算:交、并、补.

{|,}{|}{,}

A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交:且并:或补:且C 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:

,,,,

,;,;,.

U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????I I U U C

(2) 等价关系:U A B A B A A B B A B U ??=?=?=I U U C (3) 集合的运算律:

交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I ==

结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U

等幂律:.,A A A A A A ==Y I

求补律:A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U

反演律:C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )

6. 有限集的元素个数

定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式:

(1)()()()()(2)()()()()

()()()()

card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+U I U U I I I I I

(3) card ( U A )= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)

①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”;(为了统一方便)

②求根,并在数轴上表示出来;

③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);

④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.

+

-

+

-

x 1

x 2

x 3

x m-3

x m-2x

m-1

x m

x

(自右向左正负相间)

则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n Λ的解可以根据各区间的符号确定.

特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论;

2

0>? 0=? 0

二次函数

c bx ax y ++=2

(0>a )的图象

一元二次方程

()的根

00

2>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b

x x 221-==

无实根

原命题若p 则q 否命题

若┐p 则┐q 逆命题

若q 则p

逆否命题

若┐q 则┐p 互为

逆否互

否互

逆否互互逆

2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0);)()(x g x f ≥0(或)

()

(x g x f ≤0)的形式, (2)转化为整式不等式(组)???≠≥?≥>?>0

)(0)()(0)

()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f

3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.

(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.

(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)

(1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑

1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

(1)“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反; (2)“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.

4、四种命题的形式:

原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ;

否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。

(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;

(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.

5、四种命题之间的相互关系:

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题?逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q.

7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容:

映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图像间的关系.

指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 考试要求:

(1)了解映射的概念,理解函数的概念.

(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像 和性质.

(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

§02.

函数 知识要点

一、本章知识网络结构:

F:A →B

对数函数

指数函数二次函数

二、知识回顾:

(一) 映射与函数 1. 映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数

反函数的定义

设函数

))((A x x f y ∈=的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表

示出,得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x=?(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=?(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数

))((A x x f y ∈=的反函数,记作)(1y f x -=,习惯上改写成

)(1x f y -=

(二)函数的性质 ⒈函数的单调性

定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2))()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。

2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增减性相反. 4.如果)(x f 是偶函数,则|)(|)(x f x f =,反之亦成立。若奇函数在0=x 时有意义,则0)0(=f 。

7. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数:)()(x f x f =-

设(b a ,)为偶函数上一点,则(b a ,-)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足

①定义域一定要关于y 轴对称,例如:12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f 时,1)

()

(=-x f x f . ⑵奇函数:)()(x f x f -=-

设(b a ,)为奇函数上一点,则(b a --,)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称,例如:3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f 时,

1)

()

(-=-x f x f . 8. 对称变换:①y = f (x ))(轴对称x f y y -=???→?

②y =f (x ))(轴对称x f y x -=???→?

③y =f (x ))(原点对称x f y --=???→?

9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数f (x )= 1+

x

x

-1的定义域为A ,函数f [f (x )]的定义域是B ,则集合A 与集合B 之间的关系是 .

解:)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ,)(x f 的值域R ∈,故R B ∈,而A {}1|≠=x x ,故A B ?.

11. 常用变换:

①)

()

()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =

-?=+. A B ?22

1222121222

22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-)

证:)()(])[()()

()

()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=

- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x

f +=??-=

证:)()()()(y f y

x

f y y x f x f +=?=

12. ⑴熟悉常用函数图象:

例:|

|2x y =→||x 关于y 轴对称. |

2|21+?

?

?

??=x y →||21x y ??? ??=→|

2|21+?

?

? ??=x y

|122|2

-+=x x y →||y 关于x 轴对称.

⑵熟悉分式图象:

例:3

7

2312-+

=-+=x x x y ?定义域,3|{x x ≠值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. (三)指数函数与对数函数

指数函数

)10(≠>=a a a y x

且的图象和性质

对数函数y =log a x 的图象和性质: 对数运算:

()n

a n a a a c

b a b b a N

a n a a n a a a a a a a a a a a a c

b a N

N N

a M

n M M n M N

M N M N M N M n a

1121log log ...log log 1

log log log log log log log 1

log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=

==±=-=+=?-推论:换底公式:

(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ)

注⑴:当0,πb a 时,)log()log()log(b a b a -+-=?.

⑵:当0φM 时,取“+”,当n 是偶数时且0πM 时,0φn M ,而0πM ,故取“—”.

例如:x x x a a a log 2(log 2log 2

Θ≠中x >0而2log x a 中x ∈R ).

⑵x a y =(1,0≠a a φ)与x y a log =互为反函数.

当1φa 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10ππa 时,则相反.

(四)方法总结

⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算:

()n

a n a a a c

b a b b a N

a n a a n a a a a

a a a a a a a a c

b a

N N N

a M n

M M n M N M N

M

N M N M n a

1121log log ...log log 1

log log log log log log log 1

log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=

==±=-=+=?-推论:换底公式:

(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ)

注⑴:当0,πb a 时,)log()log()log(b a b a -+-=?.

⑵:当0φM 时,取“+”,当n 是偶数时且0πM 时,0φn M ,而0πM ,故取“—”. 例如:x x x a a a log 2(log 2log 2Θ≠中x >0而2log x a 中x ∈R ). ⑵x a y =(1,0≠a a φ)与x y a log =互为反函数.

当1φa 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10ππa 时,则相反.

⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法.

⑶.反函数的求法:先解x,互换x 、y ,注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.

⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法.

⑹.单调性的判定法:①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量,且x 1<x 2;②判定f(x 1)与f(x 2)的大小;③作差比较或作商比较.

⑺.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学 第三章 数列

考试内容: 数列.

等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式. 考试要求:

(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.

(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.

(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,井能解决简单的实际问题.

§03. 数 列 知识要点

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).

⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n

②112

-+?=n n n

a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a )①

注①:i. ac b =,是a 、b 、c 成等比的双非条件,即ac b =、b 、c 等比数列.

ii. ac b =(ac >0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0φac →为a 、b 、c 等比数列的充要.

注意:任意两数a 、c 不一定有等比中项,除非有ac >0,则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).

④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }(1φx )成等比数列.

⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:???≥-===-)

2()

1(111n s s n a s a n n n

[注]: ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111(d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d 不为0,则是等差数列充分条件).

②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??? ??

-+??? ??=+=22122 →2d 可以为零也可不为零→为等差

的充要条件→若d 为零,则是等差数列的充分条件;若d 不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零..常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --;

②若等差数列的项数为2()

+∈N n n ,则,

奇偶nd S S =

-1

+=

n n a a S S 偶

奇;

③若等差数列的项数为()

+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1

-=n n S S 偶

奇 得到所求项数到代入12-?n n . 3. 常用公式:①1+2+3 …+n =()2

1+n n ②()()6

1213212222++=

+++n n n n Λ

③()2

2

13213333??

?

??

?+=

++n n n Λ [注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()

1109

5-=

?n

n a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题:

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为a ,年增长率为r ,则每年的产量成等比数列,公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ,且过n 年后总产量为:

.)

1(1])1([)

1(...)1()1(1

2

r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存a 元,利息为r ,每月利息按复利计算,则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此,第二年年初可存款:

)1(...)

1()1()1(10

11

12

r a r a r a r a ++++++++=)

1(1]

)1(1)[1(12r r r a +-+-+.

⑶分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为a 元;m 为m 个月将款全部付清;r 为年利率.

()()

()

()()

()()()1

111111 (1112)

1

-++=?-+=+?++++++=+--m m m m

m m m

r r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式:

⑴n n n qa pa a +=++12(p 、q 为二阶常数)→用特证根方法求解.

具体步骤:①写出特征方程q Px x +=2(2x 对应2+n a ,x 对应1+n a ),并设二根21,x x ②若2

1x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=,若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=;③由初始值21,a a 确定21,c c .

⑵r Pa a n n +=-1(P 、r 为常数)→用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式,再用特征根方法求n a ;④121-+=n n P c c a (公式法),21,c c 由21,a a 确定.

①转化等差,等比:1

)(11-=?-+=?+=+++P r

x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法:=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+

=?--1111)(1

)1(Λ r r P a P n n +++?+=--Pr 211Λ.

③用特征方程求解:

??

??

+=+=-+相减,

r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=?-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a )(. ④由选代法推导结果:P

r P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=

--111111112121)(,,. 6. 几种常见的数列的思想方法:

⑴等差数列的前n 项和为n S ,在0πd 时,有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值,有两种方法:

一是求使0,01π+≥n n a a ,成立的n 值;二是由n d

a n d S n )2

(212-+=

利用二次函数的性质求n 的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n 项和可依

照等比数列前n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:, (21)

)12,...(413,211n n -?

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项,公差是两个数列公差21d d ,的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(

1

1---n n

n n a a a a 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22

1都成立。

3. 在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足???≤≥+001

m m a a 的项数m

使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足??

?≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于?

??

??

?

+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列,c 为常数;部

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.

5.常用结论

1): 1+2+3+...+n =

2

)

1(+n n 2) 1+3+5+...+(2n-1) =2

n

3)2

3

3

3

)1(2121??

?

???+=+++n n n Λ

4) )12)(1(6

1

3212

222++=

++++n n n n Λ

5)

111)1(1+-=+n n n n

)21

1(21)2(1+-=+n n n n 6)

)()1

1(11q p q

p p q pq <--= 高中数学第四章-三角函数

考试内容:

角的概念的推广.弧度制.

任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.

两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 考试要求:

(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A.ω、φ的物理意义.

(6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.

(8)“同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α/cos α=tan α,tan α?cos α=1”.

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):

{}

Z k k ∈+?=,360

|αββο

②终边在x 轴上的角的集合: {}

Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{

}

Z k k ∈+?=,90180|ο

οββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}

Z k k ∈?=,90|οββ

SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}

Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}

Z k k ∈-?=,45180|οοββ

⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式: 1rad =π

180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180

π≈0.01745(rad )

3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211

||22

s lr r α=

=?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则

=αsin r x

=αcos ; x y =αtan ; y

x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

6、三角函数线

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域:

(3) 若 o

,则sinx

16. 几个重要结论:

8、同角三角函数的基本关系式:αα

αtan cos sin =

αα

α

cot sin cos =

1cot tan =?αα 1sin csc =α?α 1cos sec =α?α

1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα

9、诱导公式:

2

k παα±把

的三角函数化为的三角函数,概括为: “奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系

公式组二 公式组三

x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x x

x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-

公式组四 公式组五 公式组六

x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x x

x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ

(二)角与角之间的互换

公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α

αα2

tan 1tan 22tan -=

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2

cos 12

sin

α

α-±

= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ 2

cos 12cos α

α+±=

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- 公式组三 公式组四 公式组五 公式组一sin x ·csc x =1tan x =x

x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =x

x sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =1

1+cot 2x =csc 2

x

=1()()[]

()()[]

()()[]

βαβαβαβαβαβαβαβαβα-++=--+=-++=cos cos 2

1

cos cos sin sin 21

sin cos sin sin 21

cos sin α

α

αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=

2

tan 12

tan

2sin 2ααα+=

2

tan 12tan 1cos 2

2

ααα+-=

2

tan 12tan

2tan 2α

α

α-=

42675cos 15sin -=

=οο,4

2615cos 75sin +==οο,3275cot 15tan -==οο,3215cot 75tan +==οο.

反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增(减),则)(x f y -=在],[b a 上递减(增).

2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2

sin 2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-α

απcos )2

1

sin(=+α

απcot )21

tan(-=+2

cos

2

sin

2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-α

απsin )21

cos(-=+α

απcot )21

tan(=-α

απcos )21

sin(=-α

απsin )21

cos(=-

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