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2018届高考数学总复习教学案:抛物线

2018届高考数学总复习教学案:抛物线
2018届高考数学总复习教学案:抛物线

抛_物_线

[知识能否忆起]

1.抛物线定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2=2px (p >0)

y 2=-2px (p >0)

图形

范围 x ≥0,y ∈R

x ≤0,y ∈R

对称轴 x 轴 顶点坐标 原点O (0,0)

焦点坐标 ???

?p 2,0 ???

?-p 2,0 准线方程 x =-p 2

x =p 2

离心率

e =1

标准方程

x 2=2py (p >0)

x 2=-2py (p >0)

图形

范围 y ≥0,x ∈R

y ≤0,x ∈R

对称轴 y 轴 顶点坐标 原点O (0,0)

焦点坐标 ???

?0,p 2 ?

???0,-p 2

准线方程 y =-p 2

y =p 2

离心率

e =1

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是( ) A .x 2=-12y B .x 2=12y C .y 2=-12x

D .y 2=12x

解析:选A ∵p

2

=3,∴p =6,∴x 2=-12y .

2.(教材习题改编)抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值是( ) A.18

B .-18

C .8

D .-8

解析:选B 抛物线的标准方程为x 2=1

a y .

则a <0且2=-14a ,得a =-1

8

.

3.已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2=4y 的焦点,且与抛物线相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为( )

A .4

B .6

C .10

D .16

解析:选D 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则依题意得焦点F (0,1),准线方程是y =-1,

直线l :y =3x +1,由???

y =3x +1,

x 2=4y ,

消去x 得y 2-14y +1=0,y 1+y 2=14,|AB |=|AF |+|BF |

=(y 1+1)+(y 2+1)=(y 1+y 2)+2=16.

4.(·郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a >0)的焦点F ,且与y 轴相交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为________.

解析:依题意得,|OF |=a 4,又直线l 的斜率为2,可知|AO |=2|OF |=a

2,△AOF 的面积

等于12·|AO |·|OF |=a 2

16

=4,则a 2=64.又a >0,所以a =8,该抛物线的方程是y 2=8x .

答案:y 2=8x

5.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是________.

解析:其准线方程为x =-2,又由点P 到y 轴的距离为4,则P 点横坐标x P =4,由定义知|PF |=x P +p 2

=6.

答案:6

1.抛物线方程中,字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离,p

2

等于焦点到抛

物线顶点的距离,记牢对解题非常有帮助.

2.用抛物线定义解决问题,体现了等价转换思想的应用.

3.由y 2=mx (m ≠0)或x 2=my (m ≠0)求焦点坐标时,只需将x 或y 的系数除以4,再确定焦点位置即可.

抛物线的定义及应用

典题导入

[例1] (1)(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该拋物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )

A.3

4 B .1 C.54

D.74

(2)(·曲阜师大附中质检)在抛物线C :y =2x 2上有一点P ,若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是( )

A .(-2,1)

B .(1,2)

C .(2,1)

D .(-1,2)

[自主解答] (1)如图,由抛物线的定义知,|AM |+|BN |=|AF |+|BF |=3,

|CD |=32,所以中点C 的横坐标为32-14=54

.

(2)由题知点A 在抛物线内部,根据抛物线定义,问题等价于求抛物线上一点P ,使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小,显然点P 是直线x =1与抛物线的交点,故所求P 点的坐标是(1,2).

[答案] (1)C (2)B

由题悟法

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.

以题试法

1.(·安徽高考)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点.若|AF |=3,则|BF |=________.

解析:由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),又∵|AF |=3,

由抛物线定义知,点A 到准线x =-1的距离为3,∴点A 的横坐标为2.

将x =2代入y 2=4x 得y 2=8,由图知,y =22, ∴A (2,22),∴直线AF 的方程为y =22(x -1).

又??

?

y =22(x -1),y 2=4x ,

解得?????

x =12,y =-2,

或???

x =2,

y =2 2.

由图知,点B 的坐标为????1

2,-2, ∴|BF |=12-(-1)=3

2.

答案:3

2

抛物线的标准方程及几何性质

典题导入

[例2] (1)(·山东高考)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:

x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )

A .x 2=83

3y

B .x 2=163

3y

C .x 2=8y

D .x 2=16y

(2)(·四川高考)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM |=( )

A .2 2

B .2 3

C .4

D .2 5

[自主解答] (1)∵双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,∴c a =a 2+b 2a =2,

∴b =3a ,

∴双曲线的渐近线方程为3x ±y =0,∴抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点???

?0,p

2到双曲线的渐近线的距离为

?

???3×0±

p 22

=2,∴p =8.∴所求的抛物线方程为x 2=16y .

(2)依题意,设抛物线方程是y 2=2px (p >0),则有2+p

2=3,得p =2,故抛物线方程是

y 2=4x ,点M 的坐标是(2,±22),|OM |=22+8=2 3.

[答案] (1)D (2)B

由题悟法

1.求抛物线的方程一般是利用待定系数法,即求p 但要注意判断标准方程的形式. 2.研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用;二是要结合图形分析,同时注意平面几何性质的应用.

以题试法

2.(·南京模拟)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ,准线与y 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且|NF |=

3

2

|MN |,则∠NMF =________.( )

解析:过N 作准线的垂线,垂足为H ,则|NF |=|NH |=3

2

|MN |,如图.∴cos ∠MNH =

32

, ∴∠MNH =π6,∴∠NMF =π

6.

答案:π

6

直线与抛物线的位置关系

典题导入

[例3] (·福建高考)如图,等边三角形OAB 的边长为83,且其三

个顶点均在抛物线E :x 2=2py (p >0)上.

(1)求抛物线E 的方程;

(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =-1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.

[自主解答] (1)依题意,|OB |=83,∠BOy =30°. 设B (x ,y ),则x =|OB |sin 30°=43,y =|OB |cos 30°=12.

因为点B (43,12)在x 2=2py 上,所以(43)2=2p ×12,解得p =2. 故抛物线E 的方程为x 2=4y . (2)证明:由(1)知y =14x 2,y ′=12

x .

设P (x 0,y 0),则x 0≠0,y 0=1

4x 20,且l 的方程为

y -y 0=12x 0(x -x 0),即y =12x 0x -1

4x 20

.

高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版

目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练(一)--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练(二)--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练(三)--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11

抛物线大题专练(一) 1.已知抛物线C的方程为x2=2py,设点M(x0,1)(x0>0)在抛物线C上,且它到抛物线C的准线距离为; (1)求抛物线C的方程; (2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(M、A、B三点互不相同), 求当∠MAB为钝角时,点A的纵坐标y1的取值范围. 2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,过点M(0,﹣2)作抛物线的切 线MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点B,C,与直线OA交于点N. (1)求抛物线的方程; (2)试问:的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

2016上海高考理科数学真题及答案

2016上海高考理科数学真题及答案 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ,期中i 为虚数单位,则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米) 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上,则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图,在正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ,则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=?? +=? 无解,则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中,已知A (1,0),B (0,-1),P 是曲线21x y -=上一个动点,则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ,若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π,则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形821A A A Λ的中心, ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,,点P 满足0=++j i OA OA OP ,则点 P 落在第一象限的概率是. 二、选择题(5×4=20) 15.设R a ∈,则“1>a ”是“12 >a ”的( )

高三数学-抛物线专题复习

抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2=2px (p>0) y 2=-2px(p>0) x 2=2py(p>0) x 2=-2py(p>0) p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y =0 x =0 $ 焦点 F ????p 2,0 F ??? ?-p 2,0 F ? ???0,p 2 F ??? ?0,-p 2 离心率 e =1 准线方程 x =-p 2 x =p 2 。 y =-p 2 y =p 2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P 的坐标. 》

变式练习 1.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2+y2=9相交,公共弦MN的长为25,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为() =±4x =±8x =4x =8x 变式练习 3.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过原点O. :

2016年上海市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)

2016年上海市高考数学试卷(理科) 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.(4分)设x∈R,则不等式|x﹣3|<1的解集为. 2.(4分)设z=,其中i为虚数单位,则Imz=. 3.(4分)已知平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是(米). 5.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)=1+a x的图象上,则f(x)的反函数f﹣1(x)=. 6.(4分)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成角的大小为arctan,则该正四棱柱的高等于. 7.(4分)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为. 8.(4分)在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于. 9.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于. 10.(4分)设a>0,b>0,若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围为. 11.(4分)无穷数列{a n}由k个不同的数组成,S n为{a n}的前n项和,若对任意n∈N*,S n∈{2,3},则k的最大值为. 12.(4分)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,﹣1),P是曲线y= 上一个动点,则?的取值范围是. 13.(4分)设a,b∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数x都有2sin(3x﹣)=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.14.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2…A8的中心,

抛物线-高考理科数学试题

(四十五) 抛 物 线 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 抛物线的定义及其应用 1.已知AB 是抛物线y 2=8x 的一条焦点弦,|AB |=16,则AB 中点C 的横坐标是( ) A .3 B .4 C .6 D .8 解析:选C 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=x 1+x 2+p =16,又p =4,所以x 1+x 2 =12,所以点C 的横坐标是 x 1+x 2 2 =6. 2.设抛物线y 2=-12x 上一点P 到y 轴的距离是1,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A .3 B .4 C .7 D .13 解析:选B 依题意,点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x =3的距离,即等于3+1=4. 3.若抛物线y 2=2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( ) A.????1 4,±22 B.????1 4,±1 C.????1 2 ,±22 D.??? ?12,±1 解析:选A 设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,P (x P ,y P ),由抛物线的定义知,点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离,所以|PO |=|PF |,过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略),则M 为OF 的中点,所以x P =14,代入y 2=2x ,得y P =±22,所以P ????1 4 ,±22. 4.已知抛物线y 2 =2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 2 9 =1的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上,且|AK |=2|AF |,则△AFK 的面积为( ) A .4 B .8 C .16 D .32 解析:选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0).过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线,垂足为A ′,根据抛物线定义知,|AA ′|=|AF |,在△AA ′K 中,|AK |=2|AA ′|,故∠KAA ′=45°,所以直线AK 的倾斜角为45°,直线AK 的方程为y =x +4,代入抛物

2016年上海市高考文科数学试题及答案

2016年高考上海数学试卷(文史类) 考生注意: 1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.设x ∈R ,则不等式31x -<的解集为_______. 2.设32i i z += ,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于______. 3.已知平行直线1210l x y +-=: ,2210l x y ++=:,则1l 与2l 的距离是_____. 4.某次体检,5位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76,则这组数据的中位数是______(米). 5.若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a =______. 6.已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上,则()f x 的反函数1 ()f x -=______. 7.若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥?? ≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 8.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 9 .在2 )n x 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于____. 10.已知△ABC 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于____. 11.某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12.如图,已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线y =则OP BA ×uu u r uu r 的取值范 围是 .

高中数学复习-抛物线知识点归纳总结

高中数学复习-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,有两不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,有一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F

(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0(φp ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0φ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点 为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--, 即0 y p k AB = , 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)

高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题

方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0(φp ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0φ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--,即0y p k AB =, 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点 ),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零) 一、抛物线的定义及其应用

高考数学试题汇编抛物线

第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的准线与圆x 2 +y 2 -6x-7=0相切,则p 的值为( ) (A) 12 (B)1 (C)2 (D)4 解析:圆x 2 +y 2 -6x-7=0化为标准方程为(x-3)2 +y 2 =16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2 =2px(p>0)的准线是x=-2 p , ∴3+ 2 p =4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C 2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74 解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12 =3, ∴x A +x B = 52 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2 A B x x += 54 .故选C. 故选C. 答案:C 3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( ) (C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M + 2p =2+2 p =3,∴p=2,∴y 2 =4x.∴ 2 y =4×2,∴故选B. 答案:B 4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2 =8x. 答案:y 2 =8x 5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.

2016上海春季高考数学真题及解析

2016年上海市春季高考(学业水平考试)数学试卷 2016.1 一. 填空题(本大题共12题,每题3分,共36分) 1. 复数34i +(i 为虚数单位)的实部是 ; 2. 若2log (1)3x +=,则x = ; 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ; 4. 函数()f x = 的定义域为 ; 5. 三阶行列式1 354 001 2 1 --中,元素5的代数余子式的值为 ; 6. 函数1 ()f x a x = +的反函数的图像经过点(2,1),则实数a = ; 7. 在△ABC 中,若30A ?=,45B ? = ,BC = AC = ; 8. 4个人排成一排照相,不同排列方式的种数为 ;(结果用数值表示) 9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2,公比为1 3 ,则{}n a 的各项和为 ; 10. 若2i +(i 为虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程2 50x ax ++=的一个虚根, 则a = ; 11. 函数2 21y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0,最大值为1,则实数m 的取值范围 是 ; 12. 在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 是圆2 2 650x y x +-+=上的两个动点,且满足 ||AB =||OA OB +的最小值为 ; 二. 选择题(本大题共12题,每题3分,共36分) 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限; 14. 半径为1的球的表面积为( ) A. π B. 4 3 π C. 2π D. 4π 15. 在6 (1)x +的二项展开式中,2 x 项的系数为( ) A. 2 B. 6 C. 15 D. 20

高考数学抛物线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 抛物线 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2=2px (p >0) y 2=-2px (p >0) x 2=2py (p >0) x 2=-2py (p >0) p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ????p 2,0 F ??? ?-p 2,0 F ????0,p 2 F ????0,-p 2 离心率 e =1 准线方程 x =-p 2 x =p 2 y =-p 2 y =p 2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下

概念方法微思考 1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时,动点的轨迹是什么图形? 提示 过点F 且与l 垂直的直线. 2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件? 提示 直线与抛物线的对称轴平行时,只有一个交点,但不是相切,所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y =ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是???? a 4,0,准线方程是x =-a 4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × ) (4)AB 为抛物线 y 2=2px (p >0)的过焦点 F ????p 2,0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 2 4 ,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2=-2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编 2.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,则|PQ |等于( ) A .9 B .8 C .7 D .6 答案 B 解析 抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1.根据题意可得,|PQ |=|PF |+|QF |=x 1+1+x 2+1=x 1+x 2+2=8. 3.已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P (-2,-4),则该抛物线的标准方程为____________________. 答案 y 2=-8x 或x 2=-y 解析 设抛物线方程为y 2=mx (m ≠0)或x 2=my (m ≠0). 将P (-2,-4)代入,分别得方程为y 2=-8x 或x 2=-y . 4.若抛物线y 2=4x 的准线为l ,P 是抛物线上任意一点,则P 到准线l 的距离与P 到直线3x +4y +7=0的距离之和的最小值是( )

2016年上海市高考理科数学试题及答案

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类) 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ,期中i 为虚数单位,则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米) 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上,则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图,在正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ,则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解,则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中,已知A (1,0),B (0,-1),P 是曲线21x y -=上一个动点,则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ,若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π,则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形821A A A Λ的中心, ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,,点P 满足0=++j i OA OA OP ,则点P 落在第一象限的概率是.

高考数学-抛物线知识点

高考数学-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,有两不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,有一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F

(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0(φp ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0φ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点 为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--, 即0 y p k AB = , 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)

2016年高考试题:理科数学(上海卷)_中小学教育网

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类) 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ,期中i 为虚数单位,则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米) 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上,则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图,在正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ,则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=??+=? 无解,则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中,已知A (1,0),B (0,-1),P 是曲线21x y -=上一个动点,则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ,若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π,则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形821A A A Λ的中心, ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,,点P 满足0=++j i OA OA OP ,则点P

高考数学试题分类汇编圆锥曲线

高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (41,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a < 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④

D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C . D . 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .9 2 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8, A B C D -

2016年上海高考数学试卷(理科)含答案

2016年上海市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题(共4小题) 1.(2016?上海)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由a2>1得a>1或a<﹣1, 即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础. 2.(2016?上海)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是() A.ρ=6+5cosθB.ρ=6+5sinθC.ρ=6﹣5cosθD.ρ=6﹣5sinθ 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】数形结合;转化思想;三角函数的求值;坐标系和参数方程. 【分析】由图形可知:时,ρ取得最大值,即可判断出结论. 【解答】解:由图形可知:时,ρ取得最大值, 只有D满足上述条件. 故选:D. 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 3.(2016?上海)已知无穷等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,且=S,下列 条件中,使得2S n<S(n∈N*)恒成立的是() A.a1>0,0.6<q<0.7 B.a1<0,﹣0.7<q<﹣0.6 C.a1>0,0.7<q<0.8 D.a1<0,﹣0.8<q<﹣0.7 【考点】等比数列的前n项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知推导出,由此利用排除法能求出结果.

高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B 版 1.(文)(2011·惠州调研)若抛物线y 2 =2px 的焦点与椭圆x 26+y 2 2 =1的右焦点重合,则p 的 值为( ) A .-2 B .2 C .-4 D .4 [答案] D [解析] 椭圆中,a 2=6,b 2=2,∴c =a 2-b 2=2, ∴右焦点(2,0),由题意知p 2 =2,∴p =4. (理)(2011·东北三校联考)抛物线y 2 =8x 的焦点到双曲线x 212-y 2 4 =1的渐近线的距离为 ( ) A .1 B.3 C. 3 3 D.36 [答案] A [解析] 抛物线y 2 =8x 的焦点F(2,0)到双曲线x 212-y 24=1的渐近线y =±3 3 x 的距离d = 1. 2.(文)(2011·陕西文,2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x =-2,则抛物线的方程是( ) A .y 2=-8x B .y 2=-4x C .y 2=8x D .y 2=4x [答案] C [解析] 由抛物线准线方程为x =-2知p =4,且开口向右,∴抛物线方程为y 2=8x.故选C. (理)(2010·河北许昌调研)过点P(-3,1)且方向向量为a =(2,-5)的光线经直线y =-2反射后通过抛物线y 2=mx ,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( ) A .y 2=-2x B .y 2=-3 2x C .y 2=4x D .y 2=-4x [答案] D [解析] 设过P(-3,1),方向向量为a =(2,-5)的直线上任一点Q(x ,y),则PQ → ∥a ,

∴x +32=y -1-5,∴5x +2y +13=0,此直线关于直线y =-2对称的直线方程为5x +2(-4- y)+13=0,即5x -2y +5=0,此直线过抛物线y 2=mx 的焦点F ????m 4,0,∴m =-4,故选D. 3.(文)(2011·茂名一模)直线y =x -3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点,过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P 、Q ,则梯形APQB 的面积为( ) A .48 B .56 C .64 D .72 [答案] A [解析] 由题意不妨设A 在第一象限,联立y =x -3和y 2=4x 可得A(9,6),B(1,-2),而抛物线的准线方程是x =-1,所以|AP|=10,|QB|=2,|PQ|=8,故S 梯形 APQB = 1 2 (|AP|+|QB|)·|PQ|=48,故选A. (理)(2011·石家庄模拟)直线3x -4y +4=0与抛物线x 2=4y 和圆x 2+(y -1)2=1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ,则|AB||CD| 的值为( ) A .16 B.116 C .4 D.14 [答案] B [解析] 由???? ? 3x -4y +4=0,x 2=4y 得x 2-3x -4=0, ∴x A =-1,x D =4,y A =1 4 ,y D =4, ∵直线3x -4y +4=0恰过抛物线的焦点F(0,1). ∴|AF|=y A +1=5 4,|DF|=y D +1=5, ∴ |AB||CD|=|AF|-1|DF|-1=1 16 .故选B. 4.(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点,Q 为圆x 2+(y -4)2=1上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A .5 B .8 C.17-1 D.5+2 [答案] C [解析] 抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),圆x 2+(y -4)2=1的圆心为C(0,4),设点P 到抛物线的准线距离为d ,根据抛物线的定义有d =|PF|,∴|PQ|+d =|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+

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