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数理金融 习题

数理金融 习题
数理金融 习题

1. 假设你必须将 w 投资于两只证券:一只无风险债券和一只风险证券。投资期为1年。无风险债券的收益率确定为 f

r 。风险证券的收

益率为

r ,它的均值为r

,而方差为2

σ。假设你的目标就是最大

化你的二次效用函数的期望值:

21

()2

E W aW -,其中W 为未来的财富。

(a) 求解最优组合。

(b) 讨论最优组合如何依赖于债券和股票的期望收益率 f

r 和

r

股票收益率的方差2

σ。

2. 假设有四个等概率的可能状态。状态空间是

1234{,,,}w w w w Ω=。考虑风险资产 A 和

B ,它们的收益率如下:

在随机占优的意义上,你能为它们排序吗?

3. 如果现在投资3000元,第二年末投资1000元,在第四年末将累积为5000元,问利率是多少,采用复利计算。

4.如果年利率在刚开始的3年里为10%,随后的2年里为8%,再随后的1年里为6%,则刚开始的1000元投资在这6年里所获得利息总和为多少元。

5. 小王于1992年5月1日出生,自出生起,他母亲每年为他在银行存1000元,每年的存款日为1月1日,直至他上大学为止,共存了18次。小王在2010年8月1日获大学录取通知书是将存款全部取出作为学费,设每年年利率为5%,则小王可取得的存款为多少?(2010年1月1日至2010年8月1日按单利计算)

6.一张面值为1000元的3年期零息债券的价格是多少?利率为7%。

7. 一张4年期的面值为1000元的债券,年付票息率为10%,到期时按面值赎回,市场利率为8%,则该债券的价格是多少?

8. 5年期面值为1000元的债券的票息率和市场利率均为8%,票息每年支付一次,到期以面值赎回,计算久期和修正久期。

9. 10年期的债券,发行价与面值相同,久期为7,凸度为50,如果该债券的收益率上升0.1%,则对债券的价格影响为多少? 10. 市场上发行甲、乙、丙三种股票,它们在0时刻的发行价分别为每股10元,11元,12元。在1时刻可以上市交易。预测上市交易开盘价及开盘价发生的概率如下:

各股票之间的相关系数为=0.8=0.75=0.85ρρρ甲乙乙丙丙甲,,,银行在0时刻发行债券,价格为10元,1时刻赎回价为12.5元。

求(1)各股票的期望收益率; (2)各股票收益率的方差;

(3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为2221=(,,,)9993

θ,求θ的期望收益率和方差 11.设双因子模型为:

12i i i i i R a b F c F ε=+++

已知221122120.8,0.7,0.7,0.75,()0.04,()0.09,b c b c F F σσ======

212cov(,)0.03,()0.0036i F F σε==

求资产1,2收益率的方差和协方差。 12. 股票S 的价格变化趋势如图所示: 132.25 115

S=100 103.5 90

81

5%f R =,期权在t=2时到期,到期施权价为102元,试确定股票S

的欧式买入期权在t=0时的内在价值。

数理金融期末复习

数理金融期末复习 Last revised by LE LE in 2021

数理金融期末复习资料 【名词解释】 1、数理金融:数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支,是数学与金融 学相结合而产生的一门新的学科,是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合,由规范研究向实证研究为主转变,由理论阐述向理论研究与实用研究并重,金融模糊决策向精确化决策发展的结果。 2、绝对风险规避系数:一条效用函数的曲线如果凹度越大,则表示投资者越是规避风 险,曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量,用二阶导数除以一阶导数,得到一个衡量度。称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量。公式见书p83 3、期望效用函数:见书p84定理4-2 4、β系数:衡量一个证券系统性风险的指标,是指证券的收益率和市场组合的收益率的 协方差再除以市场组合的收益率方差。 5、有效集:能同时满足预期收益率最大,风险最小的投资组合的集合。有效集是一条向 右上方倾斜的曲线,它反映了高风险高收益的原则,有效集是一条向上凸的曲线,有效集曲线上不可能有凹陷的地方。 6、套利:利用一个或多个市场存在的各种价格差异,在不冒风险或冒较小风险的情况下 赚取较高收益率的交易活动。换句话说,套利是利用资产定价的错误,价格联系的失常,以及市场缺乏有效性的其他机会,通过买进价格被低估的资产,同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利有五种基本形式:空间套利,时间套利,工具套利,风险套利和税收套利。 7、分离定理:所有投资者都持有相同的风险证券组合,投资者的风险偏好与风险证券构 成的选择无关,即一个投资者的最佳风险证券组合,可以在并不知晓投资者的风险偏好前就可以确定了。 8、期权的价值:期权的价值等于内在价值和时间价值之和,内在价值等于零和期权立即 执行时所具有的价值这两者中的较大者。期权的时间价值在内在价值为零时最大,并随着标的资产的市场价格与协定价格之差的绝对值变大而递减。随着时间延长,期权的时间价值递增,但增幅是递减的。 9、期权价格的影响因素:标的资产价格,期权的协定价格,期权的有效期限,标的资产 价格的波动率,无风险利率和标的资产的收益率。 10、布莱克斯克尔斯模型:见书p135 11、二项式定价模型:见书p135

《数理金融》习题参考答案

《数理金融分析-基础原理与方法》习题参考答案 第一章(P52) 题1-1希德劳斯基模型的金融学含义是什么? 解:参考方程(1.2.13 )式后面的一个自然段。 题1-2欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么? 解:参考方程(1.5.9 )式和方程(1.5.10 )式后面的一个自然段。 题1-3如果你借款1000美元,并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息, 借期为一年。那么一年后你欠了多少钱? 不仅要考虑原有的本金,而且还要加上累计到该时刻的利息。 因此,一个季度后你的欠款为: 1000(1+0.02) 两个季度后你的欠款为: 2 1000(1+0.02)(1+0.02) 1000(1+0.02) 三个季度后你的欠款为: 2 3 1000(1+0.02) (1 0.02) 1000(1+0.02) 四个季度后你的欠款为: 1000(1+0.02) 3(1 0.02) 1000(1+0.02)4 1082.40 题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的 18%的年复合利率索要利息的。 如果在 一年的年初支付金额为 P ,而在这一年中并没有发生支付,那么在这一年的年末欠款将是多 少? 解:这样的复合利率相当于每个月以月利率 1812% 1.5%支付利息,而累计的利息 将加到下一个月所欠的本金中。因此,一年后你的欠款为: 12 P (1+0.015) 1.1956P 题1-5 如果一家银行所提供的利息是以名义利率 5%连续地计算利息,那么每年的有 效利率应该 是多少? 解:有效利率应为: 解:每季度计息一次的 8%的年复合利率,等价于每个季度以 2%的单利利率支付一次 利息,而每个季度索要的利息,

数理金融-天津财经大学本科教学

《数理金融》教学大纲 前言 数理金融是利用数学工具研究金融,进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析,以求找到金融行为内生规律的一门课程。本课程修读对象为金融系系统掌握微积分、线性代数、概率论等数学基础知识和经济学、金融学等经济理论知识的三、四年级本科学生。本课程是为适应学院培养“宽口径”、“厚基础”、“重能力”的经济管理专门人才而开设的一门金融系金融工程专业的专业课。 本课程旨在使学生了解和掌握从事金融工程、理财等实务工作所必须的数理金融知识。主要包括数理金融的基本理论和基本知识,熟悉各种数学方法和模型在金融学中的应用,掌握不确定情形下的效用函数、投资者行为、证券投资组合的选择、市场有效性理论、金融风险测度、汇率分析等知识,为进一步深入学习奠定基础。 本课程教学方法:通过数学推导、案例分析、习题讲解使学生掌握数理金融的应用。 本课程的先导课程是微积分、线性代数、概率论、经济学、金融学

《数理金融学》教学大纲目录 教学内容 (1) 第一章数理金融引论 (1) 第二章数学方法在金融中的应用 (1) 第三章不确定性情况下的效用函数 (3) 第四章投资者行为分析 (4) 第五章市场有效性分析 (5) 第六章金融风险测度 (5) 第七章证券投资组合与资产定价 (6) 重点章节 (重要问题) (8) 参考书目 (9) 课时分配 (10)

教学内容 第一章数理金融引论 教学要求:本章讲述了数理金融的基本思想,梳理了数理金融的发展脉络,阐述了数理金融与金融学、数学的关系,确立了数理金融在金融学科体系中的地位。通过本章学习重点掌握数理金融的相关概念,了解数理金融的发展背景,认清数理金融在金融学科体系中的作用。 内容结构: 第一节数理金融的相关机理 一、数理金融的含义 二、数理金融和相关学科的关系 第二节数理金融的发展沿革 一、数理金融的历史发展 二、数理金融的现代进展 第三节数理金融的结构框架 一、经济学基础 二、数学基础 三、金融学基础 第四节行为金融学对数理金融的挑战 一、行为金融学概述 二、行为金融学与数理金融的关系 三、行为金融学对数理金融提出的挑战 本章重点(重要问题): 数理金融的含义数理金融的三大基础

《金融计量学》习题1答案

《金融计量学》习题一 一、填空题: 1.计量经济模型普通最小二乘法的基本假定有 解释变量非随机 、随机干扰项零均值、同方差、无序列自相关、随机干扰项与解释变量之间不相关、 随机干扰项服从正态分布零均值、同方差、零协方差 (隐含假定:解释变量的样本方差有限、回归模型是正确设定) 2.被解释变量的观测值 i Y 与其回归理论值)(Y E 之间的偏差,称为 随机误差项 ;被解释变量的观测值i Y 与其回归估计值i Y ?之间的偏差,称为 残差 。 3.对线性回归模型 μββ++=X Y 10进行最小二乘估计,最小二乘准则是 。 4.高斯—马尔可夫定理证明在总体参数的各种无偏估计中,普通最小二乘估计量具有 有效性或者方差最小性 的特性,并由此才使最小二乘法在数理统计学和计量经济学中获得了最广泛的应用。 5. 普通最小二乘法得到的参数估计量具有线性性 、无偏性 、有效性 统计性质。 6.对于i i i X X Y 22110????βββ++=,在给定置信水平下,减小2?β的置信区间的途径主要有__增大样本容量______、__提高模型的拟合优度__、___提高样本观测值的分散度______。 7.对包含常数项的季节(春、夏、秋、冬)变量模型运用最小二乘法时,如果模型中需要引入季节虚拟变量,一般引入虚拟变量的个数为____3个______。 8.对计量经济学模型作统计检验包括__拟合优度_检验、____方程的显著性检验、_变量的显著性__检验。 9.总体平方和TSS 反映__被解释变量观测值与其均值__之离差的平方和;回归平方和ESS 反映了__被解释变量的估计值(或拟合值)与其均值__之离差的平方和;残差平方和RSS 反映了____被解释变量观测值与其估计值__之差的平方和。 10.方程显著性检验的检验对象是____模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立__。 12.对于模型i ki k i i i X X X Y μββββ+++++= 22110,i=1,2,…,n ,一般经验认为,满足模型估计的基本要求的样本容量为__n ≥30或至少n ≥3(k+1)___。 13.对于总体线性回归模型i i i i i X X X Y μββββ++++=3322110,运用最小二乘法欲

数理金融期末复习

数理金融期末复习资料 【名词解释】 1、数理金融:数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支,是数学与金融学 相结合而产生的一门新的学科,是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合,由规范研究向实证研究为主转变,由理论阐述向理论研究与实用研究并重,金融模糊决策向精确化决策发展的结果。 2、绝对风险规避系数:一条效用函数的曲线如果凹度越大,则表示投资者越是规避风险, 曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量,用二阶导数除以一阶导数,得到一个衡量度。 称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量。公式见书p83 3、期望效用函数:见书p84定理4-2 4、β系数:衡量一个证券系统性风险的指标,是指证券的收益率和市场组合的收益率的协方 差再除以市场组合的收益率方差。 5、有效集:能同时满足预期收益率最大,风险最小的投资组合的集合。有效集是一条向右 上方倾斜的曲线,它反映了高风险高收益的原则,有效集是一条向上凸的曲线,有效集曲线上不可能有凹陷的地方。 6、套利:利用一个或多个市场存在的各种价格差异,在不冒风险或冒较小风险的情况下赚 取较高收益率的交易活动。换句话说,套利是利用资产定价的错误,价格联系的失常,以及市场缺乏有效性的其他机会,通过买进价格被低估的资产,同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利有五种基本形式:空间套利,时间套利,工具套利,风险套利和税收套利。 7、分离定理:所有投资者都持有相同的风险证券组合,投资者的风险偏好与风险证券构成 的选择无关,即一个投资者的最佳风险证券组合,可以在并不知晓投资者的风险偏好前就可以确定了。 8、期权的价值:期权的价值等于内在价值和时间价值之和,内在价值等于零和期权立即执 行时所具有的价值这两者中的较大者。期权的时间价值在内在价值为零时最大,并随着标的资产的市场价格与协定价格之差的绝对值变大而递减。随着时间延长,期权的时间价值递增,但增幅是递减的。 9、期权价格的影响因素:标的资产价格,期权的协定价格,期权的有效期限,标的资产价 格的波动率,无风险利率和标的资产的收益率。 10、布莱克斯克尔斯模型:见书p135 11、二项式定价模型:见书p135

《数理金融理论与模型》习题解答

《数理金融理论与模型》习题解答 第一章 金融市场 第一章 练习题 解答 1. 已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股,该公司业绩年均增长率为5%,并且红利 分配以同样的增长率增加,并且假设每年的贴现率都为10%,那么这家上市公司现在的股票在价值是多少? 解答: () () 11 1112401110%5% 1n n n n n d i d i d IV i r r i r -∞ ∞==++??===== ?++--??+∑ ∑ 2. 下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息,假设2010年3月19日观察到的到 期收益率曲线为水平直线4%,则问这一天“2005年记账式(四期)国债”的价值应该是多少? ()()()()()()140.07950.079515.07951140.07950.079515.079511100*1114.11% 4.11%104.11%100*106.251 3.8903%11n n n n c c c DirtyPrice r r r r r +=+=?? +=++?? +++???? ?? =++=?? +++???? ∑∑ 100**(10.0795)106.25 3.78102.47CleanPrice DirtyPrice c =--=-= 3. 请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤,认真体会为什 么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。并仔细回顾本章中如何利用复制技术和无套利原理进行衍生品定价,以及推导期权的价格性质。 解答: 见第二节容

4. 请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式,以及无套利原理证明股票远期的 定价公式,请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合,并给出无套利定价公式。 解答: Case 1:无红利支付情形: 组合一:一个远期合约多头; 组合二:一份不支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---(即借款()·r T t K e --) ; 记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏,则显然两个组合在T 时刻的价值为T S K -, 即T 时刻的价值可以完全复制12T T ∏=∏。由无套利原理可知对任意t T ≤,都有12 t t ∏=∏, 即: ()·r T t t t f S K e --=- 由于签订远期合约不需要支付任何成本,当时也没有任何收入,所以这个合约在当时的 价值应该等于零,也就是说对于任意t T <,都有()· 0r T t t t f S K e --=-=,从而可以得到远期执行价格的定价公式为: ()·r T t t t K S e -= Case 2:支付连续红利q 情形: 组合一:一个远期合约多头; 组合二:()q T t e --份支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---(即借款()·r T t K e --) ; 记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏,则显然组合一在T 时刻的价值为T S K -。由 于股息连续累计,t 时刻的1份股票在T 时刻的价值为()q T t T e S -,从而组合二在T 时刻的价 值为[]()()*q T t q T t T T e e S K S K ----=-,即T 时刻的价值可以完全复制12 T T ∏=∏。由无套 利原理可知对任意t T ≤,都有12t t ∏=∏,即: ()()·q T t r T t t t f e S K e ----=- 由于签订远期合约不需要支付任何成本,当时也没有任何收入,所以这个合约在当时的 价值应该等于零,也就是说对于任意t T <,都有()()· 0q T t r T t t t f e S K e ----=-=,从而可以得到远期执行价格的定价公式为: ()()·r q T t t t K S e --= 5. 假设投资者在2010年3月12日签订一份股票远期合约,合约的到期日为2010年9月 12日,标的股票当日价格为5元每股,若一年期银行存款利率为单利3%,则这份合约的执行价格应该是多少?若到2010年7月12日股票价格涨到了6元,而一年期银行存款利率仍然为3%,那么在这一天该远期合约多头的价值是多少?

金融计量学习题及习题答案

诚实考试吾心不虚 ,公平竞争方显实力, 考试失败尚有机会 ,考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 Financial Econometrics 》课程考试卷一 课程代码 课程序号 姓名 学号 班级 Part 1 Term Explanation (20 marks ) 1.White Noise 2.RandomWalk 3.Akaike Information Criterion 4.Jarque-Bera Statistic 5.Chow Test Important Point : 1.White Noise :White Noise is the special case of stationary stochastic process. We call a stochastic process purely random or white noise if it has zero mean, constant variance and is serially uncorrelated. 2.RandomWalk: Random walk means that the stochastic process is nonstationary and value of this period is highly related to the past values. For example, the stock price today may equal the yesterday ’s price plus a random shock. Random walk without drift can be expressed as t t t u y y +=-1 3.Akaike Information Criterion: AIC provide a way to select the better regression model among several models by comparing their forecast performance. The lower the AIC, the better the forecast performance will be. AIC will also be used to determine the lag length in ARDL approach. 4.Jarque-Bera Statistic: The Jarque-Bera test is the test of normality. We first calculate the skewness and the kurtosis, and it is also based on the residual of the regression. The Jarque-Bera Statistic=)24 )3(6(2 2-+K S n , where S is the skewness and K is the kurtosis,

2013-2014第二学期数理金融期末试卷A(11数学与应用数学本1,2;13数学(升本)

A 卷 第 1页 蚌埠学院13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题(A ) 注意事项:1.适用班级:11数学与应用数学本1.本2,2013数学(升本) 2.本试卷共1页.满分100分. 3.考试时间120分钟. 4.考试方式:闭卷 一、选择题(每小题3分,共15分) 1.某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%,则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0% 2.无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型,贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为 A 0.06 B 0.144 C 0.12 D 0.132 3.无风险收益率为0.07,市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12,贝塔值为1.3.那么你应该 A 买入X ,因为它被高估了; B 卖空X ,因为它被高估了 C 卖空X ,因为它被低估了; D 买入X ,因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高; B 执行价格比股票价格低 C 执行价格与股票价格相等; D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格 5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元,期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润,如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题(每小题3分,共15分) 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()ax u x e -=-,则其绝对风险厌恶函数()A x = 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的. 4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为 5.考察下列两项投资选择:(1)风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60%的概率获得5%的收益;(2)银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题(每小题15分,共30分) 1.设某人面临两种工作,需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销,薪金较高.如果干得好,每月可挣得2000元;干得一般,每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/ 2.第二种工作是在国营商店当售货员,每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下,每月就只能得到510元的基本工资收入.不过,一般情况下国营商店营业状况不会极差,出现营业状况极差情况的可能性只有1%,因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99%.假设该人是风险厌恶者,这个人会选择哪一种工作呢?请说明理由. 2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ,无风险收益为1R r =+,风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==,在时期1有3个可能的状态,它们的收益矩阵为:Z=[3 1 2;2 2 4]T ,试求正状态定价向量、等价概率分布,并讨论相应的套利机会. 四、计算题(共15分) 某个股票现价为40美元.已知在1个月后,股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%(连续复利). 请用无套利原理说明,(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少? (2)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少?(3)验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 五、综合题(共25分)假设你的初始财富禀赋为单位资金1,将全部用于投资风险资产,证券市场上有n 种风险资产可供你选择,风险资产的收益率为随机向量 12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???,假设你是风险厌恶 者,期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化,现在请利用所学知识,完成如下任务:(1)建立一个投资组合优化数学模型;(2)求解最优组合w; (3)求解最小化风险σp 2 的数学表达式;(4)假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资,其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X m ==,协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 2 0;0 0 4],你的期望收益率为r p =2,请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险σp 2 . 装 订 线 内 不 要 答 题

2013-2014第二学期数理金融期末试卷

2003-2004学年第一学期期末考核工作安排意见 13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题(A ) 注意事项:1.适用班级:11数学与应用数学本1.本2,2013数学(升本) 2.本试卷共1页.满分100分. 3.考试时间120分钟. 4.考试方式:闭卷 一、选择题(每小题3分,共15分) 1.某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%,则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0% 2.无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型,贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为 A 0.06 B 0.144 C 0.12 D 0.132 3.无风险收益率为0.07,市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12,贝塔值为1.3.那么你应该 A 买入X ,因为它被高估了; B 卖空X ,因为它被高估了 C 卖空X ,因为它被低估了; D 买入X ,因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高; B 执行价格比股票价格低 C 执行价格与股票价格相等; D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格 5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元,期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润,如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题(每小题3分,共15分) 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为() ax u x e ,则其绝对风险厌恶函数() A x 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的. 4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为 5.考察下列两项投资选择:(1)风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60%的概率获得5%的收益;(2)银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题(每小题15分,共30分) 1.设某人面临两种工作,需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销,薪金较高.如果干得好,每月可挣得2000元;干得一般,每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/ 2.第二种工作是在国营商店当售货员,每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下,每月就只能得到510元的基本工资收入.不过,一般情况下国营商店营业状况不会极差,出现营业状况极差情况的可能性只有1%,因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99%.假设该人是风险厌恶者,这个人会选择哪一种工作呢?请说明理由. 2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ,无风险收益为1R r =+,风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==,在时期1有3个可能的状态,它们的收益矩阵为:Z=[3 1 2;2 2 4]T ,试求正状态定价向量、等价概率分布,并讨论相应的套利机会. 四、计算题(共15分) 某个股票现价为40美元.已知在1个月后,股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%(连续复利). 请用无套利原理说明,(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少? (2)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少?(3)验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 五、综合题(共25分)假设你的初始财富禀赋为单位资金1,将全部用于投资风险资产,证券市场上有n 种风险资产可供你选择,风险资产的收益率为随机向量 12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???,假设你是风险厌恶 者,期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化,现在请利用所学知识,完成如下任务:(1)建立一个投资组合优化数学模型;(2)求解最优组合w; (3)求解最小化风险 p 2 的数学表达式;(4)假设市场上只有3种风险资产可以 供你选择进行投资,其期望收益率向量为 () (2,1,3)T E X ,协方差矩阵为∑=[1 0 装 订 线 内 不 要 答 题

数理金融考题

1.设当前无风险利率为6%,市场回报率的均值和标准差分别为0.10,0.20。如果 给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05,求该股票回报率的期望值。 解:由于 2 0.05 1.25(0.20) β= =, 所以 0.06 1.25(0.100.06)0.11i r =+-=。 即股票的期望回报率为11%。 2.考虑用100的资本投资两种证券,它们回报率的均值和标准差分别为: 10.15r =,0.20i v =;20.18r =,20.25v =。若两个回报率的相关系数0.4ρ=-, 投资者的效用函数为:0.005()1x U x e -=- 求这两个证券的最优组合。 解:设1w y =,2100w y =-,由式 1 []n i i i E W w w r ==+ ∑ 得: []1000.150.18(100)1180.03E W y y y =++-=-。 又由于12(1,2)0.02c v v ρ==-,由式 22 1 1()(,)n n i i i j i i j i Var W w v w w c i j ==== +∑∑∑ 得: 22()(0.04)(100)(0.0625)2(100)(0.02)Var W y y y y =+--- 20.142516.5625y y =-+。 所以我们应该选择y ,使下式的值达到最大: 21180.030.005(0.142516.5625)/2y y y ---+ 或等价的,最大化 2 0.011250.0007125/2y y -。 简单计算后得知y 取下值时,上式达到最大: 0.01125 15.7890.0007125 y = =。 即,当投资15.789于证券1,投资84.211于证券2时,期末财富的期望效用达到最大。 将15.789y =代入前面等式,得[]117.526E W =,()400.006Var W =,最大期望效用等于: 1exp{0.005(117.5260.005(400.006)/2)}0.4416--+=。 这可以和下述投资组合的效用比较一下:将100全部投资到证券1时,期望效用为0.3904;当100全部投资到证券2时,期望效用为0.4413。 3.(股票定价)企业1在时期1t =将发行100股股票,该种股票在时期2t =的价值为随机变量1(2)V 。企业 的资金都是通过发行这种股票而筹集的,以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是 111000,2 (2)1800,2 P V P ? =??=??=??,12(,)0.045Cov X X = 0.3.= 0.10r =,()0.20M E X = 试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。 解: 应用证券市场线性方程 112()()cov(,)() M M M E X r E X r X X X σ-=+ 0.200.10 0.100.0450.15$0.09 -=+ ?=。 即普通股所需的收益率为15%,这就意味着市场将以15%的贴现1[(2)]E V ,以确定股票在时期1的市场价格,于是我们有 111 [(2)]1000800900$22 E V = ?+?=。 以15%贴现,(1)900/1.15$V I =,因有100股,故每股价值为7.83$。 4.假设一个证券现在的售价是30,名义利率是8%(单位时间为1年),这种证券的波动率是0.20。求一个3个月后到期且执行价为34的买入期权的无套利价格。 解:本题中的参数是: 0.25t =, 0.08r =, 0.20σ=, 34K =, (0) 30S =, 所以我们就有 0.020.005log(34/30) 1.0016(0.2)(0.5) ω+-= ≈-。 由此得到 0.0230( 1.0016)34( 1.1016)C e -=Φ--Φ- 30(0.15827)34(0.9802)(0.13532)=- 0.2383≈。 这个期权合适的价格就应该是24美分。

2013-2014第二学期数理金融期末试卷答案与评分标准A

蚌埠学院2013~2014学年第二学期课程考试 《数理金融学》试卷(A 卷)参考答案及评分标准 命题教师:熊洪斌 考试班级:11应数本1、2,13数学(升本)1、2 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 凹函数(或0u (x )''<); 2. a; 3. 马科维茨; 4. 美式期权; 5. 3%. 三、分析题(每小题15分,共30分) 1.解:首先计算这两种工作的预期月收入1ER 和2ER : 150010005.020005.01=?+?=ER (元)(2分) 150051001.0151099.02=?+?=ER (元)(2分) 可见,两种工作月收入的期望值都为1500元,即12=ER ER 再计算这两种工作月收入的方差21σ和2 2σ: 250000)15001000(5.0)15002000(5.02221=-?+-?=σ(3分) 9900)1500510(01.0)15001510(99.02222=-?+-?=σ(3分) 所以,两种工作的标准差分别为5001=σ,11302=σ.21σσ>说明,第一种工作虽然收入可高达2000元,但风险大(即方差大);第二种工作虽然收入最高只有1510元,但风险小(即方差小).(2分) 12=ER ER 21σσ>,由于该人是风险厌恶者,所以他会选择第二种工作.(3分) 2.解:令正状态定价向量123(,,)T j j j j =(1分) 则:3 1 1 (1,1),T T i i Z R j j =?= ?(3分) 即:12312312332122411/R j j j j j j j j j ì++=????++=í???++=?? (1分)解得12314234112R R j j j ì??=??????=-í?????=-???? .(3分) 所求向量12312311(,,)(,,)442T T R R j j j j ==--(1分) 当8 23 R <<时0(1,2,3)i i j >=,市场无套利,因而存在等价概率分布律.(2分) 等价概率分布律为:(3分) 四、计算题(共15分) 解:股票的价格二叉树模型为:04240 ,12%,1/12138 u f d q S S r q S τ====-= 第1步:从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知:0.121/1240 4238(1)e q q ′?+- 从 40(10.01)4238(1)q q ?=+- 我们得到2.442384q q q =-= 所以 0.6q = (3分) 第2步:对衍生产品价值u C 和d C 求平均. (1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为: 310 u d q C C q C =-=看涨期权的价格为: 01 1.8 [3(1)0] 1.7821.01 1.01 C q q (美元)= ?-?(4分) (2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为:

数理金融步习题答案

数理金融步习题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

1(证明)请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。 证明:构造两个投资组合:(1)0时刻买入一股股票及一个看跌期权,成本S+P 。(2)0时刻买入一份看涨期权并加上金额为rt Ke -,现金成本rt Ke C -+,在t 时刻,假定股票价格为S (t ),当S (t )》K ,对投资(1)来说价值S (t ),对投资(2)价值以rt rt e Ke ?-=K 买入一股股票,价值为S (t )。当S (t )K rt e -,那么以下的投资策略总可以得到正的收益:卖出一股股票,卖出 一个看跌期权,并买入一个看涨期权。 证明:如果S+P-C>K rt e -,那么我们通过在0时刻购买一份股票,同时买入一个看涨期权,并卖出一个 看跌期权,这个初始的投入S+P-C ,在t 时刻卖出如果S(t)<=k,那么买入的看涨期权无价值,可以执行看跌期权,以价格K 卖出。如果S(t)>=k ,那么卖出的看跌期权无价值,则执行看涨期权,迫 使以K 卖出,由于S<(S+P-C)rt e ,我们都有正的利润,所以S+P-C>K rt e -。 4成年男子的血液收缩压服从均值为,标准差为的正态分布,求:a)68%b)95%c)% 解:a)设陈年男子血液收缩压为X, E 为对应的正态随机变量,即E=(X-127)/, u=,&=, 所以|&|<=19=,所以-1<=/<=1,即<=E,所以取值范围为 [,] b)由表可得p{|E|<=2}=,即-2<=/<=2,<=E<=,所以取值范围[,] c) p{|E|<=3}=,即-3<=/<=3,解得<=E<=,所以取值范围[,]. 4一个打算20后退休人,今后240个月月初存款A ,随后360个月月初提款1000,名义利率6%,求A 。 解:月利率005.012/%6=,1 1 +=r β令,所有存款的现值为:β ββββ-- =++++113292240A A A A A 。 所有提款的现值:β βββββ--=+++11240599241240360 1000100010001000 。由题意得βββββ----=11240113602401000A 。计算得A=≈361。 3假定可以购买看跌期权,是否选择结束以每股150的价格卖出,使得套利机会不存在时看跌P ,然后证明所得结果的看涨和看跌期权满足期权平价公式。 解:03 )1(2)91100()321)((][,{200,50,)1(1001=+?-+++-==--+-r r r p E p p r 收益,即 r r r r r r r r r r RC S c p +++++-+++-==?-+=+?==1150)1(3450150321)1(3)1(200150321)1(3)1(200100,。证明:满足。 8一个五年期、面值10000美元、有10%票息率债权,价值10000美元。今后五年,每六月付持有者500美元,且这十次支付末再付本金10000美元。如每月计息一次的利率为:a)6% b)10% c)12% 求现值。 解:(1)当r=6%时,现值=132******** )1(10000)1(500)1(500)1(500=++++++++r r r r (2)当r=10%时,现值= 6876060126 )1(10000)1(500)1(500)1(500=++++++++r r r r (3)当r=12%, 50260 60126)1(10000)1(500)1(500)1(500=++++++++r r r r 13以下面两张方式偿还贷款:一种是现在一次还清所有的欠款6000美元,另一种是现在还10000美元,并在十年后还10000.对于下面的名义连续复利利率,哪一种还款方式更可取:a)2% b)5% c)10% 解:r=2%时,60003.818710000100002.010%2>==-?-e e

第二学期数理金融期末试卷

13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题(A ) 注意事项:1.适用班级:11数学与应用数学本1.本2,2013数学(升本) 2.本试卷共1页.满分100分. 3.考试时间120分钟. 4.考试方式:闭卷 一、选择题(每小题3分,共15分) 1.某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成,它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%,则该证券组合的预期收益率为______ A % B % C % D % 2.无风险收益率和市场期望收益率分别是和.根据CAPM 模型,贝塔值为的证券X 的期望收益率为 A B 0.144 C D 3.无风险收益率为,市场期望收益率为 .证券X 的预期收益率为 ,贝塔值为.那么你应该 A 买入X ,因为它被高估了;B 卖空X ,因为它被高估了 C 卖空X ,因为它被低估了;D 买入X ,因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行? A 执行价格比股票价格高; B 执行价格比股票价格低 C 执行价格与股票价格相等; D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格 5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元,期权价格为5美元.忽略委托佣金,看涨期权的持有者将获得一笔利润,如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题(每小题3分,共15分) 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()ax u x e -=-,则其绝对风险厌恶函数()A x = 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的. 4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为 5.考察下列两项投资选择:(1)风险资产组合40%的概率获得 15%的收益,60%的概率获得5%的收益;(2)银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题(每小题15分,共30分) 1.设某人面临两种工作,需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销,薪金较高.如果干得好,每月可挣得2000元;干得一般,每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/ 2.第二种工作是在国营商店当售货员,每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下,每月就只能得到510元的基本工资收入.不过,一般情况下国营商店营业状况不会极差,出现营业状况极差情况的可能性只有1%,因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99%.假设该人是风险厌恶者,这个人会选择哪一种工作呢?请说明理由. 2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ,无风险收益为1R r =+,风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==,在时期1有3个可能的状态,它们的收益矩阵为:Z=[3 1 2;2 2 4]T ,试求正状态定价向量、等价概率分布,并讨论相应的套利机会. 四、计算题(共15分) 某个股票现价为40美元.已知在1个月后,股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%(连续复利). 请用无套利原理说明,(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少? (2)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少?(3)验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 五、综合题(共25分)假设你的初始财富禀赋为单位资金1,将全部用于投资风险资产,证券市场上有n 种风险资产可供你选择,风险资产的收益率为随机向量 12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???,假设你是风险厌恶 者,期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化,现在请利用所学知识,完成如下任务:(1)建立一个投资组合优化数学模型;(2)求解最优组合w; (3)求解最小化风险?p 2的数学表达式;(4)假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资,其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X m ==,协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 2 0;0 0 4],你的期望收益率为r p =2,请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险?p 2. 装 订 线 内 不 要 答 题

数理金融练习题

一、选择 1. 假设债券A(0)=100元;A(1)=110元,股票S(0)=80元,100(1) ,60 S ? ?=?上涨和下跌概率分别为0.8和0.2。假设你有10000元资金,决定买入50股股票60份债券,那么该资产组合收益的数学期望()V E K 为( D )。 A 、 0.11 B 、0.14 C 、0.13 D 、0.12 2.下面关于贝塔因子(β)的描述,说法正确的是( A ) A.、若某股票的β>1,则当市场证券组合的回报率上升时,该股票的回报率比市场上升得更快 B 、若某股票的β<0,则当市场证券组合的回报率下跌时,该股票的回报率比市场下跌得更慢 C 、若某股票的0<β<1,则当市场证券组合的回报率下跌时,该股票的回报率反而上升 D 、若某股票的β<0,则当市场证券组合的回报率下跌时,该股票的回报率也跟着下跌 3. 两风险资产的对应权重为12(,)ωω,风险分别为22 12 (,),σσ相关系数为12,ρ则其组合的风险可表示为( D )。 A 、2221122 1212122v σσωσωωωρσσ=++ B 、222 11221212122v σωσωσωωρσ=++ C 、22222112 212122v σωσωσωωσσ=++ D 、2222211221212122v σωσωσωωρσσ=++ 4. 投资两个风险证券,下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)错误的是( A )。 ①

0.8ρ=- 1ρ=- A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④ 5. 投资两个风险证券,下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)正确的是(B ) (1) (2) μ 0.5ρ=- 1ρ= (3) μ (4) μ σ σ A 、(1) (2) (3) B 、(1) (3) (4) C 、(1) (2) (4) D 、(2) (3) (4) 6. 本金相同、存期相同且有效利率相同,则按期复合的终值(V1)与连续复合的终值(V2)满足( C ) A V1>V2 B V1≠V2 C V1=V2 D V1

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