平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

一、教学分析

前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功

图1

W=|F||s|cosθ

功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义

a2b=|a||b|cosθ.

这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.

向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.

二、教学目标

1、知识与技能：

掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

2、过程与方法：

通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3、情感态度与价值观：

通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。

三、重点难点

教学重点:平面向量数量积的定义.

教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.

四、教学设想

（一）导入新课

思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几

何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.

在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:

W =|F ||s|cos θ

其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).

故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.

思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①a 2b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?

②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？

③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?

(1)(a +b )2=a 2+2a 2b +b 2;

(2)(a +b )2(a -b )=a 2-b 2.

活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a 2b ,即

a 2

b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).

其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.

图2

在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:

(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;

(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a 20=0;

(3)符号“2”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“3”代替;

(4)当0≤θ<2π时cos θ>0,从而a 2b >0;当2

π<θ≤π时,cos θ<0,从而a 2b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.

已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:

①a2b=b2a(交换律);

②(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb)(数乘结合律);

③(a+b)2c=a2c+b2c(分配律).

特别是:(1)当a≠0时,由a2b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a2b=0.

图3

(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a2b=b2c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a2b=b2c,但a≠c.

(3)对于实数a、b、c有(a2b)c=a(b2c);但对于向量a、b、c,(a2b)c=a(b2c)不成立.这是因为(a2b)c表示一个与c共线的向量,而a(b2c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a2b)c=a(b2c)不成立.

讨论结果:①是数量,叫数量积.

②数量积满足a2b=b2a(交换律);

(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb)(数乘结合律);

(a+b)2c=a2c+b2c(分配律).

③(1)(a+b)2=(a+b)2(a+b)

=a2b+a2b+b2a+b2b=a2+2a2b+b2;

(2)(a+b)2(a-b)=a2a-a2b+b2a-b2b=a2-b2.

提出问题

①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？

②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？

活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.

图4

定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:

1°投影也是一个数量,不是向量;

2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.

教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a2b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.

让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.

1°e2a=a2e=|a|cosθ.

2°a ⊥b ?a 2b =0.

3°当a 与b 同向时,a 2b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a 2b =-|a ||b |.

特别地a 2a =|a |2或|a |=a a ?.

4°cos θ=|

|||b a b a ?. 5°|a 2b |≤|a ||b |.

上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.

讨论结果:①略(见活动).

②向量的数量积的几何意义为数量积a 2b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.

（三）应用示例

思路1

例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,||=1, ||=3,求2+2+的值.

活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.

解:由已知,||2+|CA |2=||2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠AC B=90°,

从而sin ∠ABC=2

3,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC =60°,∠BAC =30°. ∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故2+2CA +CA 2 =2313cos120°+133cos90°+332cos150°

=-4.

点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与的夹角是120°,而不是60°.

变式训练

已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )2(a -3b ).

解:(a +2b )2(a -3b )=a 2a -a 2b -6b 2b

=|a |2-a 2b -6|b |2

=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2

=62-6343cos60°-6342

=-72.

例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?

解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )2(a -k b )=0,

即a 2-k 2b 2=0.

∵a 2=32=9,b 2=42=16,

∴9-16k 2=0. ∴k=±4

3. 也就是说,当k=±4

3时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.

变式训练

已知向量a 、b 满足:a 2=9,a 2b =-12,求|b |的取值范围.

解:∵|a |2=a 2=9,

∴|a |=3.

又∵a 2b =-12,

∴|a 2b |=12.

∵|a 2b |≤|a ||b |,

∴12≤3|b |,|b |≥4.

故|b |的取值范围是［4,+∞).

思路2

例 1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,=d ,且a 2b =c 2d =b 2c =d 2a ,试问四边形ABCD 的形状如何？

解:∵AB +++DA =0,

即a +b +c +d =0,

∴a +b =-(c +d ).

由上可得(a +b )2=(c +d )2,

即a 2+2a 2b +b 2=c 2+2c 2d +d 2.

又∵a 2b =c 2d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.

同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.

由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,

即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,

∴ABCD 是平行四边形. 故= ,即a =-c .

又a 2b =b 2c =-a 2b ,

即a 2b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥.

综上所述,ABCD 是矩形.

点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.

例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角. 活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若=a ,CB =b ,则CA =a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠

ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=

||||)(b a b b a b --?作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.

∴|b |2=|a |2+2a 2b +|b |2.

∴a 2b =-2

1|b |2. 而b 2(a -b )=b 2a -b 2=21-|b |2-|b |2=2

3-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a 2b +b 2=|b |2-23(2

1-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,

∴|a -b |=3|b |.②

∵cos 〈b ,a -b 〉=,|

|||)(b a b b a b --? 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-232

3||3||||2-=?b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,

∴〈b ,a -b 〉=6

5π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.

变式训练

设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b 2c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.

解:∵a ⊥c ,∴a 2c =0.

又c =m a +n b ,∴c 2c =(m a +n b )2c ,

即|c |2=m a 2c +n b 2c .∴|c |2=n b 2c .

由已知|c |2=16,b 2c =-4,

∴16=-4n.∴n=-4.

从而c =m a -4b .

∵b 2c =|b ||c |cos120°=-4,

∴|b |242(2

1 )=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a 2c =m a 2-4a 2b ,

∴8m-4a 2b =0,即a 2b =2m.①

再由c =m a -4b ,得b 2c =m a 2b -4b 2.

∴m a 2b -16=-4,即m a 2b =12.②

联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.

（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.

2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.

（五）作业

平面向量的数量积教案

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图

定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ；

平面向量数量积说课稿

《平面向量数量积》说课稿 一，说教材： 平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。 二，说学生 学生是天祝一中普通班学生，基础较薄弱。在学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 三，说教法 以数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳。 四，说学法 1、首先，从学生的认知特点出发，通过创设情境，以物理学中的功为主线，把整节课串联起来，在功的概念的复习中，不知不觉来学习新知识。 2、引导学生自主探究、合作交流根据已有的知识经验，归纳、总结新的知识等一系列活动， 3、设计几道技能训练题，激发学生的积极性，让学生主动的参与知识的巩固、深化过程。 五，课时安排： 3课时，这是第一课时 六，说教学过程 一、创设情景引入新课 问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， （1）力F所做的功W= 。 （2） W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α是。 问题1的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积 绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究 这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。 二、探究新知[师生互动]引出两个向量的夹角的定义： 1、定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB,称∠AOB= 为向量a 与b的夹角，(00≤θ≤1800)，（此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示）问题2 当两向量垂直，共线时其夹角是怎样的？注：（1）当非零向量a与b同方向时，θ=00 （2）当a与b反方向时θ=1800 （共线或平行时）

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31 = PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3 4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若| |＝2sin15°，| |＝4cos375°、 ， 夹角为30°，则 · 为（ ） A ． 2 3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,2 0,||π θ<

(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排：

2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π）

平面向量的数量积优秀教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： 教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点： 平面向量的数量积定义. 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法： 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法 教学过程： 一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下： （1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二．情景创设 问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 三．学生活动 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？ W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念. 四．建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ 说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定 （2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量 必须是同起点的.） 当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b ｜ 当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2 π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜ （3）规定· a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律 已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b · a (交换律) ②(λa )· b ＝λ (a ·b )＝a · (λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析 加深对数量积定义的理解 例1 判断正误，并简要说明理由.

人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3 F

《平面向量数量积》说课稿

《平面向量数量积》说课稿 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法

主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？ 引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论： （1）模的计算公式 （2）平面两点间的距离公式。 （3）两向量夹角的余弦的坐标表示 （4）两个向量垂直的标表示的充要条件 第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。 例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。 再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

《平面向量的数量积的复习课》说课稿#(精选.)

《平面向量的数量积》复习课 说课稿 黄州区一中李世品 尊敬的各位评委、各位老师：大家好！ 今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。 一、教材分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。 二、教学目标的设计： 1、知识与技能： (1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。 (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。 (4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法： (1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。 (2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。 3、情感态度与价值观： 培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。 三、重、难点分析： 1、重点：理解平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量的数量积的坐标表运算；用平面向量的数量积解决夹角、长度及垂直等问题。 2、难点：平面向量的数量积的综合应用。 四、教学方法与学法分析： 1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《平面向量数量积的复习课》，重点理解平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标运算。用数量积求夹角、距离、判断垂直等问题及平面向量数量积的。培养学生类比思想以及数形结合思想。

平面向量的数量积运算

考点71 平面向量的数量积运算 1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE = , 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】 12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB + ，12 BE BC CE AD AB =+=- ， ∴AC BE =221122 AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ? =+-= ，（步骤1） ∴1 2 AB = .（步骤2） jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60 ，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60 ，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60 ＋(1－t )， 0＝ 1 2 t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π 3 ,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】 52

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

平面向量数量积说课

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 平面向量数量积说课 普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4平面向量数量积的物理背景及其含义 1/ 32

说课提纲一、背景分析二、教学目标设计三、课堂结构设计四、教学媒体设计五、教学过程设计六、教学评价设计

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 一、背景分析1、学习任务分析(1)学习任务通过“功”的事例抽象平面向量数量积的含义, 探究数量积的性质与运算律,体会类比的思想方法, 提高学生抽象概括、推理论证的能力。 (2)教学重点数量积的概念 3/ 32

背景分析2、学生情况分析及教学难点（1）学生情况学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。 （2）教学难点对数量积的概念的理解返回

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 说课提纲一、背景分析二、教学目标设计三、课堂结构设计四、教学媒体设计五、教学过程设计六、教学评价设计 5/ 32

最新平面向量的数量积说课稿

《平面向量的数量积及运算律》 一教材分析 1 教材地位及其作用 本节选自普通高中课程标准实验教科书《数学》必修第4册第二章第5节第一课时，两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习，具有承上启下的作用。 2 教学目标 根据课程标准,教材内容，学生认知水平，确定 知识目标：理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和运算律。 能力目标：通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯。 情感目标：让学生在类比、观察、探究、发现中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度。 3 教学重点与难点 根据以上对教材、教学目标的分析，确定如下教学重点和难点： 重点：平面向量数量积定义及运算律的理解 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用。 二教法分析 本节课主要采用引导发现法，通过物理情景中功的概念抽象出向量数量

积的定义，再引导学生探究其几何意义和运算律，与讲授法，讨论法，练习法等相结合 三学法分析 本节课在学法上，主要采用类比法，通过物理情景中功的概念来理解向量数量积的物理意义，进而理解其几何意义。再通过实数的运算律类比发现向量数量积的运算律，同时结合例题讲解和练习巩固。 四教学过程分析 1 问题情景 如图所示，一个力F作用于一个物体，使该物体发生了位移S，如何计算这个力所做的功． 设计意图：通过物理实例引出向量数量积的定义，为以后理解向量数量积打下基础。 2 建立模型 （1）引导学生从“功”的模型中得到如下概念： 已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cos θ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影． 规定0与任一向量的数量积为０． 由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数． 说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝π/2时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数 量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举 数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛, 即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3） ×５２＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝40 23，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )·a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ② 由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =±7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==75 3524753524y x y x 和

平面向量数量积教案

2.4平面向量的数量积

α，我们把数量︱a︱·︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b， 即：a·b=︱a︱·︱b︱cosα 在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5 问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 3、探究数量积的几何意义 如图，我们把│b│cosα（│a│cosα）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=│b│cosα 问题6：数量积的几何意义是什么？ 4、研究数量积的物理意义 数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。 问题7： (1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。 （2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动： ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米； 分别求重力做的功。 通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好准备。 这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。 我设计问题一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。 探究数量积的运算性质 1、性质的发现 教材中关于数量积的三条性质是以探究 的形式出现的，为了很好地完成这一探究活 动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问 题8： （1）将尝试练习中的①②③的结论推 广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的 大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明 晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的 定义给予证明，完成探究活动。 2、明晰数量积的性质 设a和b都是非零向量，则 这样设计体现了教师只是 教学活动的引领者，而学生才 是学习活动的主体，让学生成 为学习的研究者，不断地体验 到成功的喜悦，激发学生参与 学习活动的热情，不仅使学生 获得了知识，更培养了学生由 特殊到一般的思维品质.

《平面向量数量积》说课稿

《平面向量数量积》说课稿 《平面向量数量积》说课稿 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引

导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法 主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？

高中数学《平面向量的数量积及运算律的教案》优质课比赛教案设计

平面向量的数量积及运算律 一、教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角； 2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题； 3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识. 二、教学重点，教学难点 教学重点平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律 教学难点平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用. 三、教具三角尺，实物投影仪，多媒体 四、教学方法 启发引导式 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识. 五、教学过程 （一）设置情境 复习：前面我们已经学过：向量的加法，减法，实数与向量的积。它

们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量，但这些运算与实数的运算已有了很大的区别。 引入：在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功W 可由下式计算： W ＝｜F ｜｜S ｜cos θ （其中θ是F 与S 的夹角.) 问：力F 和位移S 分别是什么量？功W 呢? 从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念. （二）讲授新课 师：我们首先来学习平面内两个向量的夹角. 1．平面向量的夹角： 已知非零向量a 与，作 =，=，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫向量a 与的夹角. θ A 特殊：(1)当θ＝0时，a 与同向； (2)当θ＝π时，a 与（3)当θ＝2π 时，a 与(4)注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. （教师用教具演示） 2、平面向量数量积定义： 师：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量 θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：b a ?，即： θcos b a =? O B O A B