2010考点10 解三角形应用举例
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考点10 解三角形应用举例
1.（2010·陕西高考理科·Ｔ１7）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距
(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°
的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B
点相距里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船
到达D 点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形 问题的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形2220
2cos60ABD BD DC BD BC BD BC DC t ???=+-????
【规范解答】00000906030,45,105.DBA DAB ADB ∠=-=∠=∴∠=由题意知，
00000
sin105sin 45cos 60sin 60cos 4512∴=?+?=+=
sin sin sin sin 5(3BD AB ABD DAB ADB
AB DAB BD ADB ?=∠∠?∠∴==∠+===在中，由正弦定理得:
00002220
180606060,2cos 60130012002900.2
30301().30
D DBC CD DBC BC DBC CD BD BC BD BC CD t ∠=--==?=+-???=+-?=∴===?又在中，由余弦定理得
（海里），则需要的时间小时答;救援船到达点需要1小时.注：如果证出为直角三角形，根据勾股定理求出，同样给分.
2.（2010·陕西高考文科·Ｔ１7）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力， 属于中档题。
【思路点拨】解三角形△ADC ? cos ADC ∠?∠ADC ?∠ADB ?解三角形△ABD ? AB
【规范解答】在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得cos ADC ∠=2222AD DC AC AD DC +- =10036196121062+-=-??,
∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°
在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B
=∠, ∴AB
=10sin 10sin 60sin sin 45AD ADB B ∠?===? 3.（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，
请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实
际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及 不等式的
应用。
【思路点拨】（1）分别利用,,H αβ
表示AB 、AD 、BD ，然后利用AD —AB=DB 求解； （2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1）tan tan H H AD AD ββ
=?=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。 AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20
h H αβα?===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h d AD DB d
αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d
αβαβαβ----====--+?+-+?+
()H H h d d -+≥，
（当且仅当d =
故当d =tan()αβ-最大。 因为02π
βα<<<，则02π
αβ<-<，由tan y x =
的单调性可知：当d =α-β最大。
故所求的d
是m 。
4.（2010·安徽高考理科·Ｔ16）设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。 (1)求角A 的值； (2)
若12,AB AC a ?== ,b c （其中b c <）。
【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、
求解能力。
【思路点拨】先对22sin sin()sin()sin 33A B B B ππ
=+-+化简，求出角A ；再根据(2)的条件和余弦定理，构造方程组求解,b c 。
【规范解答】（1） 22sin sin()sin()sin 33
A B B B ππ=+-+
211sin sin )sin 22
B B B B B =+-+22231cos sin sin 44B B B =-+34=
sin A ∴=，
由题意02A π
<<，所以sin 2
A ∴=，3A π= （2） cos cos 123
AB AC AB AC A bc π?=??=?= ，24bc ∴=①， 222222cos 2cos
283a b c bc A b c bc π=+-=+-= ，2228b c bc ∴+-=②，
又 b c <，由①、②解得4,6b c ==。
5.（2010·福建高考文科·Ｔ21）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以υ海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在υ，使得小艇以υ海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定υ的取值范围；若不存在，请说明理由。
【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能
力、应用意识，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理
把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数的方法求解
S 的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定
理解三角形表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识
求解速度的范围；第三步把问题转化为二次函数根分
布问题。
【规范解答】
(Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为s 海里，则
s ===故当
13t =时
，min s v ==
即小艇以每小时海里的速度航行，相遇时距离最小。
(Ⅱ)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：()()()()22200203022030cos 9030vt t t =+-???-化简得
22400600900v t t =-+，2
134006754t ??=-+ ???，由于102t <≤，即12t ≥，所以当12t =时，v 取得最小
值
(Ⅲ)由(Ⅱ)知22400600900v t t =-+，()10u u t
=>，于是有224006009000u u v -+-=，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，()()222600160090009000v v ?-->?∴?->??
，解
得：30v <<，所以υ
的取值范围为()。
【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了，可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是：
一．“建模”：
1．准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等；
2．根据题意画出图形；
3．把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型；
二．“解模”：正确求解。注意：算法要简练，运算要准确。
三．“还原说明”：作出应用题的答案。
6.（2010·天津高考文科·Ｔ１7）在?ABC 中，
cos cos AC B AB C =。 （Ⅰ）证明B=C;
（Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π??+ ??
?的值。 【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与
余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】（1）只需证明sin （B-C ）=0即可；
（2）利用倍角公式及和角公式求解。
【规范解答】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C =cosB cosC
.于是sinBcosC-cosBsinC=0， 即sin （B-C ）=0.因为B C ππ-<-<，从而B-C=0. 所以B=C.
（Ⅱ）由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B,故cos2B=-cos （π-2B ）=-cosA=13
.
又0<2B<π,于是=3
.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=9
，cos4B=227cos 2sin 29B B -=-.
所以sin(4)sin 4cos cos 4sin 333B B B π
π
π
+=+= 【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形，要注意根据角的范围来确定三
角函数的符号的确定。
7.（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以υ海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算
求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整
合思想。
【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S ，把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数的方法求解
S 的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v ，t 的关系式，并
利用函数知识求解速度的范围。
【规范解答】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT ，小艇到达T 位置时轮船的航行位移
,0AT s =即31,1030==t t ，310=vt ，从而330310==t
v （海里/时）；
(Ⅱ)若轮船与小艇在H 处相遇时，在直角三角形OHT
中运用勾股定理有：0400600)900(22=+--t t v ，等价于9641060040090022+-=-+
=χχt
t v 从而
427)43(410949)16923(41022≤+-=+-+-=χχχv 所以当30=v 时，23=χ，3
2=t 也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东 30方向行走能以最短的时间遇到轮船。
【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了，可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是：
一．“建模”：
1．准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等；
2．根据题意画出图形；
3．把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型；
二．“解模”：正确求解。注意：算法要简练，运算要准确。
三．“还原说明”：作出应用题的答案。
8.（2010·安徽高考文科·Ｔ16）ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13
A =。 (1)求A
B A
C ? ；
(2)若1c b -=，求a 的值。
【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、 求解能力。
【思路点拨】由12cos 13
A =得sin A 的值，再根据ABC ?面积公式得bc 的值，从而求数量积A
B A
C ?
的值；由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入已知条件1c b -=及bc 可求a 的值。
【规范解答】由12cos 13A =
且A 为三角形内角，得5sin 13A ==. 又ABC S ?=1sin 302bc A =，∴156bc =， （1）12cos 15614413
AB AC bc A ?==?= ； （2）2222cos a b c bc A =+-212()2(1cos )12156(1)2513
c b bc A =-+-=+??-=， ∴5a =。
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(
解三角形应用举例练习高考试题练习
解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______.
解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案
解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
三角函数及解三角形知识点
三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
最新解三角形应用举例练习题
解三角形应用举例练习题 一、选择题 1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为() A.3B．2 3 C．23或 3 D．3 2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为() A．23km B．32km C.15km D.13km 3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是() A.14 B．214 C.15 D．215 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于() A．135°B．90° C．45°D．30° 6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里 C．10海里D．103海里 二、填空题 7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离
为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km. 8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________． 9. (2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h. 三、解答题
解三角形专题考点及例题讲解
解三角形的应用举例 考纲解读 1.利用正、余弦定理解决实际问题中的距离、高度及方向问题；2.利用正、余弦定理解决多边形的计算问题． [基础梳理] 实际问题中的常用术语 例：①北偏东m ° ②南偏西n ° 设坡角为α，坡度为i ，则i ＝h l ＝tan α [三基自测] 1．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积公式可表示为( ) A ．S ＝1 2 ab sin A
B ．S ＝1 2bc cos A C ．S ＝12a 2sin A sin C sin B D ．S ＝12a 2sin B sin C sin A 答案：D 2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB 为( ) A.400 3 m B.400 3 3 m C.200 3 3 m D.2003 m 答案：A 3．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 km B ．3 2 km C ．3 3 km D ．2 3 km 答案：B 4．(必修5·1.2例题改编)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米． 答案：6 [考点例题] 考点一 测量高度问题|方法突破 [例1] (1)某运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如下图所示)，则旗杆的高度为__________米．( )
解三角形应用举例
东方中学教案 1．知识与技能： 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 2．过程与方法： 通过巧妙的设疑，顺利的引导新课，为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况，采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。 3．情感、态度与价值观： 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。
修改简记教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角 为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571 ∴BC≈1．89 （ｍ） 答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系 从题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔 船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向， 以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救， 试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
解三角形知识点归纳(附三角函数公式).doc
---- 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量． 知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)． 解三角形常用知识点归纳与题型总结 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； ②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ?≤c; a-b 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角 形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里． 答案：5 6 解析：由正弦定理， 知 BC sin60°＝AB sin （180°－60°－75°） ， 解得BC ＝56(海里)． 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案：10 3 解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝ 3 3 ×30＝103，由余弦定理，得 MN ＝ 900＋300－2×30×103× 3 2 ＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m. 答案：20 6 解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠BAD＝∠BCD＝45°； 在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m. 答案：10 解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10. 由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2 －2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2 ＝h 2 ＋102 －2h×10×cos120°， ∴ h 2 －5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 解得BM ＝ mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β sin （α－β） >n ， 所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等． 【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤ + 第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) 解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ， 又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d ， 则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile. 解三角形知识点归纳 一 正弦定理 （一）知识与工具： 正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===。 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1)三内角和为180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)面积公式：S=21absinC=R abc 4=2R 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。 sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C （二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。 题型3 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看 方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。 二 余弦定理 （一）知识与工具： a 2= b 2+ c 2 ﹣2bccosA cosA=bc a 2c b 2 22-+ b 2=a 2+c 2 ﹣2accosB cosB=ac b c a 22 22-+ c 2=a 2+b 2 ﹣2abcosC cosC=ab c b a 22 22-+ 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1)三内角和为180°； (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 解三角形 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot A B C A B C A B C +++===.、 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° 三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？ 以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)证明：sinα＋cos 2β＝0； (2)若AC＝3DC，求β的值． 【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________． 求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 例题2.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛 出发，朝北偏东θ? ?? ??tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时． (1)求出发后3小时两船相距多少海里？ (2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？ 解 三 角 形 正弦定理 要点1 正弦定理 在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝c sinC . 要点2 解三角形 三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题 1.已知两角及一边解三角形，只有一解. 2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解. 方法1:计算法. 方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解． 在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下： 要点3 正弦定理的变式 C B A c b a sin :sin :sin ::)1(=R A a C B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ) 2(==++++=++=++=++ A c C a B c C b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(=== B C b A C a c A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(====== （边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(=== 要点5 常用结论 1．A ＋B ＋C ＝π. 2．在三角形中大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ； sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2 . 5．∠A >∠B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 解三角形高考高频考点 第I 卷（选择题） 1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量 (,),m b c c a =--(,)n b c a =+，若m n ⊥，则角A 的大小为（ ） A ． 6π B ．2π C ．3π D ．23 π 2．在ABC ?中，B c C A a B A cos )cos(2)cos(b =+-+,则=B A ． 6π B ．3π C ．2π D ．3 2π 3．在△ABC 中，AB AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 2或4 4．在△ABC 中，已知222a b c +=，则C=（ ） A.300 B.1500 C.450 D.1350 5．在ABC ?中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ?的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6．在ABC ?中，已知 45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ） A. 2 2 6- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7．在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 120 8．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A=3 π ，3=a ，1=b ，则c 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．13- D ．3 第II 卷（非选择题） 1．设ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，向量()() A B n B A m cos 3, cos ,sin ,sin 3== ，若 )cos(1B A ++=?，则=C . 2．在△ABC 中，a ,b ,c 分别为A B C ∠∠∠、、的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且4 B π = ，则cos cos A C -的值为 ． 3． 在ABC ?中，已知,,a b c 分别为,,A B C ，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ?的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-=()()，，，满足//p q ，则C = 4．在△ABC 中，a ，b ，c 是三个内角,A,B,C 所对的边，若 1 ,7,c o s ,4 a b c B =+==-则b =（ ） 5．已知ABC ?中，角A 、B 、C 所对边分别为c b a ,,，若b c B A 2tan tan 1=+ ，则bc a 2 的最小值为 . 6．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1，ABC S b ?=则,3等于 . 1．（本小题满分12分）在ABC ?中，设内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，向量 )cos ,sin 2(),sin ,(cos A A n A A m -== ，若.2||=+n m （1）求角的大小； （2）若24=b 且a c 2=，求ABC ?的面积.解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计
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