同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲

(216学时，12学分)

一、课程的性质、目的和任务

高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；

5、无穷级数(包括傅立叶级数)；

6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题

的能力。

二、总学时与学分

本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。

三、课程教学基本要求及基本内容

说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

高等数学A(一)

一、函数、极限、连续、

1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2. 理解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。

8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。

二、一元函数微分学

1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3.了解高阶导数的概念。

4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。

7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。

8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11.了解求方程近似解的二分法和切线法。

三、一元函数积分学

1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。

2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

3.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿(Newto n)莱布尼兹(Leib niz)公式。

4.掌握定积分的换元法和分步积分法。

5.了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。了解广义积分的比较审敛法和极限审敛法，了解广义积分的绝对收敛与条件收敛的概念。

6.了解函数及其主要性质。

7.了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)。

8.掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

高等数学A(二)

四、向量代数与空间解析几何

1. 会计算二阶、三阶行列式。

2.理解空间直角坐标系。

3.理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。

4.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7.了解空间曲线的参数方程和一般方程。

8.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

五、多元函数微分学

1.理解多元函数的概念。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。

8.理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解最小二乘法。

9.了解二元函数的泰勒公式。

10. 了解向量函数与矢端曲线的概念，了解向量函数的导向量与微分的概念。

六、多元函数积分学

1.理解二重积分、三重积分的概念及性质。

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。了解重积分的换元法。

3.理解两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，掌握两类曲线积分的计算方法。

4.掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

5.理解两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系，会计算两类曲面积分。

6.掌握高斯公式，了解曲面积分与曲面形状无关的条件。

7.了解斯托克斯(Stok es)公式。

8.了解数量场、向量场及向量微分算子 的概念，了解散度、旋度的概念及其计算公式，了解无源场、无旋场及调和场的概念。

9.会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等)。

高等数学A (三)

七、无穷级数

1.理解无穷级数收敛、发散以及和函数的概念，熟悉无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数和p--级数的收敛性。

3.了解正项级数的比较审敛法和极限审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4.了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。

5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解绝对收敛级数的一些基本性质。

6.理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。了解函数项级数的

一直收敛性。

7.掌握比较简单的幂级数收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12.了解函数展开为傅里叶(Fo urier)级数的狄利克雷(Dirich let)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将

定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。

八、常微分方程

1.了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Berno u lli)

方程，了解用变量代换求解方程的思想。

3.会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子。

4.会用降阶法解下列方程：

，和 .

5.了解一阶微分方程解的存在性与唯一性定理及求近似解的步骤。了解奇解的概念。

6.理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。

7.掌握常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如

和

的常系数非齐次线性方程的特解。

8.了解常系数线性方程组及尤拉(Euler)方程的解法。

9.了解幂级数解法及勒让德(Legendre)函数。

10. 会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。

五、教材与教学参考书

教材：《高等数学》(第五版)上、下册，

同济大学应用数学系主编，高等教育出版社

参考书： 1.《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社

2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社

3.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社

5. 《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

《高等数学B》课程教学大纲

(180学时，10学分)

一、课程的性质、目的和任务

高等数学B是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数

微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无

穷级数(包括傅立叶级数)；6.常微分方程等方面的基本概念、基本理

论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要

的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象

思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题

的能力。

二、总学时与学分

本课程安排分为高等数学B(一)、B(二)两学期授课，总学时为

90+90，学分为5+5。

三、课程教学的基本要求及基本内容

说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等

词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

高等数学B(一)

一、函数、极限、连续

1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2. 理解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 理解极限的概念(对极限的-N、-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高的要求。)，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。

7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。

二、一元函数微分学

1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3. 了解高阶导数的概念。

4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6. 理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。

7. 会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。

8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

10. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

三、一元函数积分学

1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。

3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newto n)-莱布尼兹(Leib niz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。

5. 了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。

6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

四、向量代数与空间解析几何

1. 会计算二阶、三阶行列式。

2. 理解空间直角坐标系。

3. 理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。

4. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达

式进行向量运算的方法。

5. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的

相互关系解决有关问题。

6. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了

解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

8. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

高等数学B(二)

五、多元函数微分学

1. 理解多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续

函数的性质。

3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充

分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏

导数。

7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们

的方程。

8. 了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最

小值的应用问题。

六、多元函数积分学

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分

的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲

线积分的关系。

4. 会计算两类曲线积分。

5. 掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

6. 了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(S tok es)公

式并会计算两类曲面积分。

7. 了解散度、旋度的计算公式。

8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

七、无穷级数

1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性

质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3. 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。

4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收

敛的关系。

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可

不作要求)。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12. 了解函数展开为傅里叶(Fo urier)级数的狄利克雷(Dirich let)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。

八、常微分方程

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Berno ulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。

3. 会解全微分方程。

4. 会用降阶法解下列方程：。

5. 理解二阶线性微分方程解的结构。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7. 会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

五、教材与教学参考书

教材：《高等数学》(第五版)上、下册，

同济大学应用数学系主编，高等教育出版社

参考书： 1.《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社

2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社

3.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社

5. 《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

《高等数学C》课程教学大纲

(108学时，6学分)

一、课程的性质、目的和任务

高等数学C是工科本科对数学要求较低的专业(如建筑、城规专业)及工科专科各专业学生的一门必修的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.常微分方程；4.向量代数和空间解析几何；5.多元函数微积分学等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

二、总学时与学分

本课程安排分为高等数学C(一)、C(二)两学期授课，总学时为

54+54，学分为3+3。

三、课程教学的主要内容及基本要求

说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

高等数学C(一)

一、函数、极限、连续

1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2. 了解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 了解极限的概念，会用四则运算法则及换元法则求极限。

6. 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。

7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

8. 了解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念以及间断点

的概念，并会判别间断点的类型。

9.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理

和最大、最小值定理)。

二、一元函数微分学

1. 理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式及初等函数的导数的求法。

3. 了解高阶导数的概念。

4. 会求隐函数、参数式所确定的函数及反函数的导数。

5. 了解罗尔(Ro lle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(C auchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。

6. 会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。

7. 会用导数判断函数的单调性和求函数的极值。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

9. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

10. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

三、一元函数积分学

1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2. 理解定积分的概念及性质。

3. 了解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newto n)-莱布尼兹(Leib niz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。

5. 了解广义积分的概念。

6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7. 会用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、水压力等)。

高等数学C(二)

四、向量代数与空间解析几何

1. 会计算二阶、三阶行列式。

2. 了解空间直角坐标系。

3. 了解向量的概念及其表示，掌握向量的线性运算，了解两向量的数量积和向量积，了解两个向量垂直、平行的条件。

4. 了解单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式，会用坐标表达式进行向量的运算。

5. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法。

6. 了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

五、多元函数微分学

1. 了解多元函数、二元函数的极限与连续性的概念。

2. 了解偏导数和全微分的概念。

3. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

4. 会求复合函数一阶、二阶偏导数，会求隐函数的偏导数。

5. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方程。

6. 会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

六、多元函数积分学

1. 了解二重积分的概念及性质。

2. 会计算二重积分(直角坐标、极坐标)。

3. 会用二重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功等)。

七、常微分方程

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的方程的解法，会解一阶线性方程。

3. 了解线性方程通解的结构。会解二阶常系数线性齐次方程，会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性方程的特解。

4. 会用微分方程解一些简单的应用问题。

五、教材与教学参考书

教材：《高等数学(少学时类型)》上、下册

同济大学应用数学系编高等教育出版社参考书：1.《高等数学释疑解难》

工科数学课程教学指导委员会编高教出版社

2.《高等数学例题与习题》

同济大学数学教研组主编同济出版社

《高等数学D》课程教学大纲

(72学时，4学分)

一、课程的性质、目的和任务

高等数学D是对数学要求较低的专业(如文科各专业)学生的一门必修的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

二、总学时与学分

总学时为72，学分为4。

三、课程教学的主要内容及基本要求

说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

一、函数、极限、连续

1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2. 了解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 了解极限的概念，会用四则运算法则及换元法则求极限。

6. 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。

7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

8. 了解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念以及间断点

的概念，并会判别间断点的类型。

9.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理

和最大、最小值定理)。

二、一元函数微分学

1. 理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式及初等函数的导数的求法。

3. 了解高阶导数的概念。

4. 会求隐函数、参数式所确定的函数及反函数的导数。

5. 了解罗尔(Ro lle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(C auchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。

6. 会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。

7. 会用导数判断函数的单调性和求函数的极值。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

9. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

10. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

三、一元函数积分学

1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2. 理解定积分的概念及性质。

3. 了解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newto n)-莱布尼兹(Leib niz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。

5. 了解广义积分的概念。

6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7. 会用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、水压力等)。

四、常微分方程

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的方程的解法，会解一阶线性方程。

3. 了解线性方程通解的结构。会解二阶常系数线性齐次方程，会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性方程的特解。

4. 会用微分方程解一些简单的应用问题。

五、教材与教学参考书

教材：《高等数学(少学时类型)》上、下册

同济大学应用数学系编高等教育出版社参考书：1.《高等数学释疑解难》

工科数学课程教学指导委员会编高教出版社

2.《高等数学例题与习题》

同济大学数学教研组主编同济出版社

【重磅】同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟

悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

同济大学高等数学2

同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程

解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

高数答案(下)习题册答案-第六版--下册-同济大学数学系-编

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 选择填空题(3'824'?=) 1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】 ()'A k k = ; 1 ()'B k k =; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2 ()1x y x o x x ?= ?+?+, 则有 【C 】 2 22 1()()(1)x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; () C ()l 1 f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分 2 ()f x dx ? . 【D 】 12()l i m ()n n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1 1 ()lim 2()n n k k D f n n →∞=∑. 4. 要使反常积分 +∞ ? 收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <. 5. 如果作换元sin x t =, 则积分3 (sin )f x dx π = ? .

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→

高等数学(同济大学版)第一章练习(含答案)

第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(1?0??1)且平行于向量a ?(2?1?1)和b ?(1??1?0)?试求这平面方程? 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x ?1)?(y ?0)?3(z ?1)?0?即x ?y ?3z ?4?0? 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(2?0??3)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程? 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量?即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 ?16(x ?2)?14(y ?0)?11(z ?3)?0? 即16x ?14y ?11z ?65?0? 例题：求过点(3?1??2)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程?

解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1?(5?2?1)垂直?因为点(3?1??2)和(4??3?0)都在所求的平面上?所以所求平面的法线向量与向量s 2?(4??3?0)?(3?1??2)?(1??4?2)也是垂直的?因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x ?3)?9(y ?1)?22(z ?2)?0? 即8x ?9y ?22z ?59?0? 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 2?5x 绕x 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2?z 2?5x ? 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2?z 2?9绕z 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2?y 2?z 2?9? 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??=? 例题：设z ?u 2ln v ?而y x u =?v ?3x ?2y ?求x z ???y z ??? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=?

同济版高等数学新编课后习题解析

同济版高等数学新编课 后习题解析 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(2 11n n n x a x x + =+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+ =+221)(2 11（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(2 1 1n n n x a x x + =+两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .

P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则2 11)1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。 解：由题意：1322 31lim 1cos 1)1(lim 2203 120=-=-=--+→→a x ax x ax x x 得23 -=a 或13 2]1)1()1[(2 1 1lim 1 cos 1)1(lim 31 232 22203 1 20=- =++++?--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4） 关于间断点：x x x f 1sin 1)(=