理科三角函数
2012年三角函数
一、选择题
1.（湖南卷6）函数)6
cos(si n )(π
+
-=x x x f 的值域为（ ）
A ．]2,2[-
B ．]3,
3[-
C ．]1,1[-
D ．]
2
3,
2
3[-
【解析】本题考察三角函数的转化及性质。
?
?? ?
?
-=???
? ??-=
-
=
+
-=6sin 3cos 21
sin 233cos 2
3sin 2
3)6
cos(sin )(ππ
x x x x x x x x f 显然()].3,
3[-
∈x f 故选B 。
2．（新课标全国卷9）已知0
>ω
，函数()??
? ?
?+=4sin πωx x f 在??
?
??ππ
,2上单调递减。则ω的取 值范围是（ ）
（A ）??
????45,21 （B ）?
?
????43,21 （C ）??
?
?
?21,0 (D)(]2,0 【解析】本题主要考察三角函数的周期和单调性。 解：
.23,24,424,22??
?
??????? ??++∈??? ?
?
+≤?≤???
??
-
ππππωπωππωωπππωx
得
.4
52
12
34
,2
4
2
≤
≤?
≤
+
≥
+
ωππ
πωπ
π
ωπ
故选A 。
3.（山东卷7）若??
?
???∈2,4ππθ，
8
732sin
=
θ，则=
θsin （D ）
（A ）5
3
（B ）5
4
（C ）
4
7 （D ）
4
3
【解析】本题主要考察三角函数的正、余弦转换及二倍角公式。 解：由??
?
?
??∈2,4
ππθ可得??
?
?
??
∈ππ
θ,22，
8
12sin
12cos 2
-
=--=θθ
4
32
2cos 1sin =
-=
θ
θ，答案应选D 。
4. （陕西卷9）在ABC ?中，角A 、B 、C 边长分别为c b a ,,，若2
222c
b a =+，
则C cos 的最小值为( ) （A ）
2
3 （B ）
2
2 （C ） 2
1 （D ） 2
1-
【解析】本题主要考察三角函数的余弦定理。 解：2
1222cos 2
22
2
2
2
2
2
2
=
=
+≤
=
-+=
c
c
b
a c
ab
c
ab
c
b a C
，故选C 。
5.（辽宁卷7）已知
sin cos (0,)αααπ-=
∈，则tan α=
（ ）
（A ）1- （B ）2
-
（C 2
（D ）1
【解析】本题主要考查本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质等知识点。
解：sin cos )sin()14
4
π
π
α
ααα-=
∴-
=∴-
=
3(0),,tan 14
παπαα∈∴=
∴=- ，，故选A 。
6.（全国卷7）已知α为第二象限角，
sin cos 3αα+=
，则c o
s 2α=（ ）
（A ）3
-
（B ）9
-
（C 9
（D 3
【解析】本题主要考查三角函数之间的转化，二倍角等知识点。
解：因为sin cos 3
α
α+=所以两边平方得3
1cos sin 21=
+α
α，所以
03
2cos sin 2<-
=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，
3
153
53
21cos sin 21cos sin =
=
+
=-=-αααα，所以
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 2
2
ααααααα+-=-==3
3
3
-
=-
，
故选A.
7.（上试卷16）在A B C ?中，若222
sin sin sin A B C
+<，则ABC ?的形状
是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 【解析】本题主要考查正、余弦定理的混合运用。 解：根据正弦定理可知由C
B A 2
2
2
sin
sin
sin <+,可知，在三角形中
2
2
2
cos 02a b c
C ab
+-=
<，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，故选
C 。
8.（天津卷2）设R ?∈，则“=0?”是“()=c o s(+)f x x ?()x R ∈为偶函数”
的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件 【解析】本题主要考查三角函数的奇偶性。 解：函数
()cos()f x x φ=+若为偶函数，则有,k k Z
φπ=∈,所以“0
=?
”
是“)cos()(?+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，故选A 。 9.（天津卷6）在A B C ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cos C =（ ） （A ）
725
（Ｂ）7
25
-
（Ｃ）7
25
±
（Ｄ）
24
25
【解析】本题主要考查正弦定理、三角函数中的二倍角公式。
解：∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴
8s i n =5s i n 2B B
，
所以8sin =10sin cos B B B ，易知sin 0B ≠，∴4
cos =5
B ，
2
cos =cos 2=2cos 1C B B -=
725
.故选A 。
10.（重庆理5）设t a n ,t a n αβ
是方程2320x x -+=的两个根，则tan()
αβ+的值为
（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3
二、填空题
11.(广东卷9)函数)20(2cos sin
π≤≤+=x x x y 的值域是
12．（湖北卷11）设A
B C ?的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角
13.（福建卷13）已知ABC ?
的等比数列，则其
最大角的余弦值为
14．（北京卷11）在A B C ?中，若2a =，7b c +=，1
cos 4B =-，则b =
15.（江苏卷11）设α为锐角，若4
cos 65
απ??+
= ???，则)
12
2sin(π
+
a 值为
16.（上海卷4）若(2,1)n =-
是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大
小为：（结果用反三角函数值表示）。
17.（重庆卷13）设A B C ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5
3c o
s =
A ，
13
5cos =
B ,3b =则c =
三、解答题
18.（安徽卷16）设函数()x
x x f 2
sin 42cos 22
+??? ?
?
+=π，
（Ⅰ）求()x f 的最小正周期；
A B C a b c ()()a b c a b c ab +-++=C =
（Ⅱ）设函数()x g 对任意R x ∈，有()x g x g =??
?
?
?+
2π
，且当??
????∈2,0πx 时，
()()x f x g -=
2
1，求()x g 在区间[]0,π-上的解析式。
19.(浙江卷18)在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为
a ，b
，c 。已知3
2cos
=
A ，C
B cos 5sin
=
(Ⅰ)求C
tan 的值；
(Ⅱ)若2
=
a
,求ABC ?的面积。
20.（广东卷16）在ABC ?中，点D 为BC 边上的一点，已知3
=
AB
，
1=AD ，2=CD ,
30
=∠ABC
(1)求BD 的值； (2)求ADC ?的面积.
21.（湖北卷17）已知向量，
，设函数的图象关于
直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的
取值范围。
22.（福建卷17）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的
值都等于同 一个常数。
（1）00020217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）00020215cos 15sin 15cos 15sin -+； （3）00020212cos 18sin 12cos 18sin -+；
(cos sin ,sin )x x x ωωω=-
a (cos sin ,)
x x x ωωω=--b ()f x λ
=?+a b ()
x ∈R πx =ωλ1(,1)
2
ω∈()f x ()
y f x =
π(,0)4
()f x 3π[0,
]
5
（4）0
0020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）0
20255
cos )25sin(55cos )25(sin --+-。
（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等
式，并证明你的结论。
23.（新课标全国卷17）已知a 、b 、c 为A B C ?三个内角A 、B 、C 边，
.0sin 3cos =--+
c b C a C a
（1）求A （2）若2=a ，ABC ?的面积为3
；求b ，c 。
24.（山东卷17）已知向量()()02cos 2,cos 3,1,sin
???
?
??==A x A x A n x m ，函数
()n m x f ?=的最大值为6.
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图象像左平移
12
π个单位，再将所得图象各
点的横坐标缩短为原来的2
1倍，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图象。求()x g 在??
?
??
?
245,
0π上的值域。 25.（陕西卷16）函数()()0,016si n ??+??? ?
?
-=
ωπωA x A x f 的最大值为
3， 其
图像相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，
（Ⅰ）求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）设??
?
?
?∈2,
0πα，则22=??
?
??
αf ，求α的值。
26.（四川卷18）函数()()03sin 32cos
62
?-+
=ωωωx x
x f 在一个周期内的
图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、c 为图象与x 轴的交点，
且ABC ?为正三角形。
（Ⅰ）求ω的值及函数()x f 的值域； （Ⅱ）若()5
380=
x f ，且??
?
?
?-∈32,3
100x ，求()10+x f 的值。 27.（江西卷17）在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为a ，b ，c 。已知
4
π
=
A ，.4sin 4sin a
B c
C b =??
?
??+-???
??+ππ
。 （1）求证：.2
π
=
-C B
（2）若2
=
a ，求ABC ?的面积。
28.（北京卷15）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=。
（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间。 29.（江苏卷
15）在ABC ?中，已知3AB AC BA BC
?=? ．
（1）求证：tan 3tan B A =；
（2）若cos 5C
=
求
A 的值．
30.（辽宁卷17）在A B C ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
角A 、B 、C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)边a 、b 、c 成等比数列，求sin sin A C 的值。
31.（全国卷17）A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已
知cos()cos 1A C B -+=，2a c =， 求C 。 32.（天津卷15）已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-，x R
∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值.
33.（重庆卷18）设()4cos()sin cos(2)
6
f x x x x π
ωωωπ=--+，其中.0>ω
（Ⅰ）求函数)(x f y =
的值域
（Ⅱ）若()y f x =在区间??
?
?
?
?-2,2
3πx 上为增函数，求 ω的最大值.
2012理科数学三角函数专题答案
一、选择题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10.【解析】本题主要考查三角函数（正弦）与一元二次方程的混合
运算。 解：因为β
αtan
,tan 是方程2320x x -+=的两个根，所以3tan tan =+βα
，
2tan tan =βα，所以32
13tan tan 1tan tan )tan(-=-=
-+=+β
αβαβα，故选A 。
二、填空题
11.【解析】首先化为一元，然后根据定义域求值域 解：()8941sin 2sin
21sin 2cos sin
2
2
+
??? ?
?
--=-+=+=x x x x x y
[]??
?
???-∈-
∴-∈∴≤≤43,4541
sin ,1,1sin ),20(x x x π 显然.89,
2??
?
???-∈y
12.【解析】考察余弦定理的运用、 解：由()(),ab c b a c b a =-+++得ab
c b a -=-+2
22
根据余弦定理,
2
122cos 2
22-
=-=
-+=
ab
ab ab
c
b a C
故.3
2π=C
13.【解析】本题考察三角函数的余弦定理。 解：设三边分别为x 、
x 2、x 2。最大角为A ，则A 对应的边为x 2
根据余弦定理：()
()
4
22222cos
2
2
2
-
=?-+=
x
x x x x
A
所以最大角的余弦值为.42-
14.【解析】本题主要考察三角函数的余弦定理。 解：在A B C ?中，利用余弦定理
()()
()
2
2
2
44711cos 24
444
c b c b c b a c b
B ac
c
c
++-+-+-=
=-
?
=
=-
，化简得：
8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得2
4.3a b c =??
=??=?
15.【解析】本题主要考查同角三角函数，二倍角三角函数，和角三
角函数等知识点。
解：∵α为锐角，即02
<<πα，∴2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+
。
∵4
cos 65
απ??+
= ???，∴3
sin 65
απ??+
= ???。
∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ?????
?+
=++?? ? ? ???????
。
∴7
cos 2325
απ??+
= ?
?
?。
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
3
43434a a a a πππ
ππππ???
?+
+
-
+-+ ? ????
?
247
=25
2
252?-
?。
16.【解析】本题主要考查三角函数与向量的混合运用。
解：设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则
2tan =α，
∴
α=
。
17.【解析】本题主要考查了三角形的正余弦转化及三角形的正弦定理等知识点。 解：因为3
cos 5A =,13
5
cos =B
,所以5
4sin
=
A ，13
12sin
=
B ，
65
56
53131213554)sin(sin =
?+?=+=B A C ,根据正弦定理C
c B
b sin sin =
得
65
5613
123c =
,解得145
c =
.
三、解答题
18.【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三
角函数的周期等性质，分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。 解：（Ⅰ）()x
x x f 2
sin 42cos 22
+??? ?
?
+=π
=22cos 14sin 2sin 4cos 2cos 22x
x x -+
??? ??-ππ
=
x
2sin 2121-
故()x f 的最小正周期为π
（Ⅱ）当??
?
?
??-∈0,2π
x 时，()()x
x f x g 2sin 2121=-=，故
（1）当???
?
??-∈0,2π
x 时，??
????∈+2,02ππx ，由于对任意R x ∈，
()()x g x g =-2π
，从而()????????? ?
?+=??? ??
+=22sin 212ππx x g x g ()x
x 2sin 212sin 2
1-
=+=
π
（2)当??
???
?--∈2,ππx 时，?
?
?
??
?∈+2,0ππx ，从而 ()()()[]x
x x g x g 2sin 2
12sin 2
1=
+=
+=π
π
综合（1）、（2）得()x g 在[]0,π-上的解析式为
()?????
?
--∈=
2,,2sin 21
ππx x x g ()??
?
???-∈-
=0,2,2sin 21
πx x x g 19．【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦
定理及三角形面积求法等知识点。 解：(Ⅰ),3
5cos
1sin ,03
2cos 2
=
-=
∴>=
A A A
又
()A C c A C A B C cos sin cos sin sin sin cos 5+=+==
C
C sin 3
2cos 3
5+
=
整理得：5
tan =
C
(Ⅱ)6
5tan 1tan sin
2
=
+=
C
C C
又由正弦定理知,sin sin C
c A
a =
故,3=
c （1）
对角A 用余弦定理：.3
22cos 2
22=
-+=
bc
a
c b A （2）
（1）、（2）解得3
33=
=
orb b （舍去）
∴三角形的面积：2
5sin 2
1=
=
C ab S
20.【解析】本题主要考查余弦定理及三角形面积求法。 解：（1）由余弦定理得BD
AB AD
BD AB ?-+=
230cos 2
22
得1=BD
或2=BD
（2）①当1=BD
时，由余弦定理得3
=
AC
ADC
?为直角三角形，故2
3=
ADC
S △
②当2=BD 时，由余弦定理得7
=AC
由正弦定理得 ,2
3sin sin =
∠=∠ADC ADB
故2
3sin 2
1=
∠??=ADC DC AD ADC
S △
21.【解析】本题考察三角恒等变化，三角函数的图像与性质。
解：（Ⅰ）因为
.
由直线是
图象的一条对称轴，可得， 所以，即．
又，，所以，故.
所以
的最小正周期是.
（Ⅱ）由的图象过点，得，
即，即.
故
2
2
()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ
=-+?+cos 22x x ωωλ=-+
+π2sin(2)6x ωλ
=-
+πx =()
y f x =πsin(2π)16
ω-=±ππ2ππ()6
2
k k ω-=+∈Z 1()
23
k
k ω=+∈Z 1(,
1)
2
ω∈k ∈Z 1k =56
ω
=
()
f x 6π5
()
y f x =
π(,0)4
π()04
f =5πππ2sin()2sin 6
2
6
4
λ=-?-=-=λ=5π()2sin()3
6
f x x =--
由，有，
所以，得，
故函数
在上的取值范围为.
22.【解析】本题考察三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数
公式，二倍角公式等基本知识。 解：（I ）选择（2）式，计算如下：
.4
34
1130sin 2
1115cos 15sin 15cos 15sin 2
2
=
-
=-
=-+
（II ）三角恒等式为()(
)
.4
330cos sin 30
cos
sin 2
2
=
---+a a a a
证明：
()(
)
()(
)
.
4
3cos 43sin 43sin
2
1cos sin 2
3sin
4
1cos sin 2
3cos 4
3sin sin 30sin cos 30cos sin sin 30sin cos 30cos sin 30cos sin 30
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=+
=-
-
+
++
=+-++=---+a
a a
a a a a a a a a a a a a a a
a a a
23.【解析】本题主要考察三角函数的正、余弦定理。 解：（1）由正弦定理得：
()(
).
6030302
130
sin 1cos sin 3sin sin sin sin 3cos sin sin sin sin sin 3cos sin 0sin 3cos
=?=-?=
-?=-?
++=+?+=+
?=--+
A A A A A C
C A C A C A C
B C A C A c b C a C a
(2)43sin 2
1=?=
=
bc A bc S
84cos 22
2
2
2
2
=+?=-+=c b A bc c b a
解得：.2==c b
24.【解析】本题主要考察三角函数的平移以及三角函数与向量、导
3π05
x ≤≤π5π5π6
3
6
6
x -≤-≤15πsin()12
3
6
x -≤-
≤5π12sin(
)23
6
x --
≤-
-≤-
()
f x 3π[0,
]
5
[12--
-
数结合的混合运算。 （Ⅰ）??? ?
?
+=+
=
+
=
?=62sin 2cos 22sin 2
32cos 2
sin cos 3)(πx A x A
x A x A x x A n m x f ，
则6=A ; （Ⅱ）由)3
4sin(6)(π
+
=x x g 可得)3
4cos(24)(π+
='x x g ，令0)(='x g ，
则)(2
34Z k k x ∈+
=+
π
ππ
，而]24
5,0[π∈x ，则24
π
=x ，
于是3
67sin
6)24
5(
,62
sin
6)24
(
,333
sin
6)0(-======πππ
π
π
g g g ，
故6)(3≤≤-x g ，即函数()x g 在?
?
?
??
?245,0π上的值域为]6,3[-. 25.【解析】本题主要考察三角函数的周期性与对称性。 解：（Ⅰ）由函数()()0,016sin ??+??? ?
?
-=
ωπωA x A x f 的最大值为
3，可得
.231=?=+A A
又因为图像相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，
∴最小正周期为π
，.2=∴ω
故().162sin 2+??
?
?
?-
=πx x f
（Ⅱ）,216sin 22=+??? ??-=???
??πααf 即216sin =
??? ?
?
-πα
3
66
2
0π
παπ
π
α?-
?-???
,6
6
π
π
α=
-
∴故.3
π
α=
26.【解析】本题考察三角函数的图像与性质，两角和的正余弦、二
倍角公式等。
解：（Ⅰ）由已知可得()?
?? ?
?
+=+
=3sin 32sin 3cos 3πωωωx x x x f
又正ABC ?的高为3
2
，从而4=BC
所以函数的最小正周期为8=T
即
,4
,82π
ωω
π
=
=
函数()x f 的值域为[]3
2,32-
（Ⅱ）因为()5
380=
x f ，由（Ⅰ）知(),
53834
sin 32
00=??? ??+=ππx
x f
即,5434
sin 0
=???
??+
ππx 由??
?
??-
∈32,3100x ，知.2,2340??? ??-∈+ππππx 所以.5354134
cos 2
0=??
?
??-=???
??+ππx 故
().56
722532254324sin 34cos 4cos 34
sin
3243432344sin 32100000=???
? ???+?=?
????
?
??
?
??++???
??+=?
?????+??? ??+=??? ??++=+πππππ
πππππππx x x x
x f
27.【解析】本题考察三角函数的性质与正弦定理等。 解：（1）由.4sin 4sin a B c C b =??
?
??+-???
??+ππ
应用正弦定理得 ,sin 4sin sin 4sin sin A B C C B =??
?
??+-??? ??+ππ
,22cos 22sin 22sin sin cos 22sin 22sin sin =???
? ??+-???? ??+B B C C C B 整理得,1cos sin cos sin =-B C C B 即().1sin =-C B 由于,
43,0π?
?C B 所以.2
π
=
-C
B （2）由（1）得,4
3π=+C
B 所以.8
,85π
π=
=
C B
由正弦定理
24
sin
2
sin sin sin ===
=
πA
a C
c B
b
可得.8
sin
2,8
5sin
2π
π==c b
所以ABC ?的面积
15sin sin
sin
288
8
8
1sin
.
4
2S ABC bc A ππ
π
π
π
?==
===
28.【解析】本题主要考察三角函数之间的转化及三角函数的周期性
与单调性等。 解：
}
{(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin sin 2cos 212 1.,4x x x
x x x x
f x x x x
x
x
x x x x x k k Z ππ--=
=
=-?
?=--=
--?∈ ??
?
（1）所以()f x 的定义域为}{,x x k k Z π?∈，
最小正周期2.2
T ππ==
（2）函数sin y x =的单调递增区间为()2,2.22k k k Z π
ππ
π?
?
-
+
∈???
?
所以}{222.,242
k x k x x k k Z π
πππππ?
?-
≤-≤+?∈ ??? 解得}
{3.,8
8
k x k x x k k Z π
ππ
ππ-
≤≤+
?∈
所以()f x 的单调递减区间为
,8k k πππ??-????和()3,.8k k k Z πππ?
?+∈ ??
?。
29.【解析】本题主要考查平面微量的数量积，三角函数的基本关系
式，两角和的正切公式，解三角形等知识。
解：（1）∵3AB AC BA BC ?=?
，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ????，即
cos =3cos AC A BC B
??。
由正弦定理，得=sin sin AC BC B
A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。
又∵
- 高中文科数学三角函数知识点总结
- 最新高考数学三角函数试题及解析
- 高考数学三角函数知识点总结及练习
- 高考理科数学三角函数的图象与性质练习题
- 高考数学总复习之三角函数(完整版)
- 2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练
- 高考理科数学第一轮复习三角函数 PPT课件 三角(6)三角函数的图象1
- 高三理科数学培优专题——三角函数
- 高考理科数学三角函数的图象与性质练习题
- 高考理科数学试题汇编(含答案)三角函数大题
- 2019年全国高考理科数学数学分类汇编---三角函数
- 高考数学三角函数解析PPT课件
- 高中文科数学三角函数知识点总结
- (完整版)十年真题-三角函数-全国高考理科数学.doc
- 高考理科数学三角函数试题及答案
- 高考数学三角函数公式总结
- 高考数学-三角函数(知识点归纳)
- 高中高考数学三角函数公式汇总
- 2018年高考理科数学三角函数100题(含答案解析)
- 高考理科数学 三角函数真题汇总