高一必修5下学期不等式(二)
高一必修5下学期不等式（二)
未命名
一、单选题
1．（题文）不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为{x |
＜x ＜
}，则a ，c 的值为( )
A ．a ＝6，c ＝1
B ．a ＝－6，c ＝－1
C ．a ＝1，c ＝1
D ．a ＝－1，c ＝－6
2．若关于x 的不等式 对任意x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A ．m≤－3 B ．m≥－3 C ．－3≤m≤0 D ．m≤－3或m≥0 3．3．已知不等式的解集为
，则不等式
的解集为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．不等式2620x x --+≤的解集是（ ）
52的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4) D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)
6．若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A ．[－1，4] B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D ．[－2，5]
7．不等式2x ＋y ＋1＜0表示的平面区域在直线2x ＋y ＋1＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方
8．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－7,24)
B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C ．(－24,7)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
9．设变量x ，y 满足不等式组
则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是( )
A ．5
B ．7
C ．8
D ．23
10．不等式y ≤3x ＋b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b 的范围是( )
A ．－8≤b ≤－5
B ．b ≤－8或b >－5
C ．－8≤b <－5
D ．b ≤－8或b ≥－5
二、填空题
11．若x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围是________． 12．在R 上定义运算⊙：⊙，则关于实数的不等式：⊙
的解集为 ．
13．已知实数， 满足约束条件
，则 的最大值_______．
14．若变量 ， 满足约束条件
，且 的最小值为 ，则 _________．
三、解答题
15．已知全集U ＝R ，A B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求?U (A ∩B )． 16．已知关于x 的不等式kx 2
－2x ＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x ∈R ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为?，求k 的取值范围．
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参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.
【详解】
由题意得，为方程两根，所以，选B.
【点睛】
一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.
2．A
【解析】
【分析】
构造函数，，，将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断其单调性求出函数的最小值，令最小值大于等于，即可得到答案
【详解】
不等式对任意，恒成立，
令，，，
要使关于的不等式对任意，恒成立，只要即可的对称轴为
在，上单调递减
当时取得最小值为
则实数的取值范围是
故选
【点睛】
解决不等式恒成立问题常通过分离参数，转化为求函数的最值问题，求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，根据区间与对称轴的关系判断出单调性，求出最值
3．B
【解析】由题意可知的两个根为，
不等式即为，解不等式得解
集为.
考点：三个二次之间的关系.
4．B
故选B．
考点：一元二次不等式的解法．
5．B
【解析】①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.
6．A
【解析】
x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.
7．D
【解析】
【分析】
把原点（0，0）代入2x+y+1＜0，不成立，不等式2x+y+1＜0表示的平面区域是不含原点的半平面．
【详解】
不等式2x+y+1＜0表示的平面区域如图所示：
根据点（0，0）不在区域内
可知不等式2x+y+1＜0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的左下方 故选：D ． 【点睛】
本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要作出半平面，然后结合图象数形结合，事半功倍. 8．A
【解析】由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7 【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过 的交点A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值7. 故选：B 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 10．C 【解析】 因为不等式3y x b ≤+所表示的区域恰好使点()3,4不在此区域内，而点()4,4在 此区域内， 所以 433 { 434 b b >?+ ≤?+ ，所以85 b -≤<-，故选C. 11．(－∞，－1) 【解析】 【分析】 在11上恒成立，等价于，的最小值大于零，从而可得结果. 【详解】 在11上恒成立， 令， 其对称轴为， 在区间11上是减函数， ， ，故答案为. 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质、利用单调性求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立( a 即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或 a 恒成立. 12． 【解析】 试题分析：⊙整理为 考点：一元二次不等式 13．2 【解析】 【分析】 作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大 值。 【详解】 作出不等式组表示的平面区域，如图 求得区域的顶点分别为，，，分别将三点代入目标函数得：，，，所以的最大值为 【点睛】 本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值。14． 【解析】试题分析：画出如图所示的可行域，由可得，由图像可知当直线经过点A时，直线截距最小，即最小，则目标函数为因为解得即，因为点A也在直线上，所以 考点：线性规划的应用 视频 15 【解析】 试题分析：根据一元二次不等式的求解，求得集合,A B ，再根据集合的运算，即可求解A B ?，进而得到()U C A B ?. 试题解析： 解 A ＝{x |3x 2 －4x －4<0}＝ ， B ＝. A ∩ B ＝ ， ?U (A ∩B )＝{x |x ≤－，或≤x ≤1，或x ≥2}． 16．（1）k （2）k （3）k< （4【解析】解：(1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx 2 －2x ＋6k ＝0的两根， ∴(－3)＋(－2)k (2)由不等式的解集为{x|x ∈R 可知204240 k k 解得k (3)依题意知2 4240 k k ?=- (4)依题意知2 4240 k k >?? ?=-≤?，解得 【答案】22x y =-?? =-?，；0001x x y y ==????==-??，，；；1122210210x x x x x y y y y y == ===?????????? =====?????，，，，， ；；；；． 【解析】主要考查二元一次不等式（组）的几何意义。 解：不等式组表示的区域如图所示， 其整数解为 22x y =-??=-?，；0001x x y y ==????==-??，，；；1122210210x x x x x y y y y y =====?????????? =====?????，，，，， ；；；；． 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 教学要求：正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法. 教学难点：理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？ 2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ===- 二、讲授新课： 1、教学不等式2 0(0)ax bx a ++>≠的解集 ① 若判别式240b ac ?=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{} 12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0?=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ??≠- ∈???? ；0a <时，其解集为?. ③ 若0?<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为?.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解” ⑤ 简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。 2、教学例题： ① 出示例1：求不等式244150x x --≤的解集. （解方程 → 给出图象 →学生板演） ② 变式训练：求不等式244150x x -->的解集. ③ 变式训练：求不等式244150x x -+->的解集. ④ 出示例2：求不等式223x x -+< （方程的解→函数草图→观察得解） ⑤ 出示例3：已知220ax x c ++>的解集为1132 x -<<，试求,a c 的值，并解不等式220cx x a -+-> （将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来） ⑥ 变式训练：已知不等式2 0ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集. 3、小结：不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集情况，解一元二次不等式的三步曲. 三、巩固练习： 1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ?- < 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质. (2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第3课时 一元二次不等式解法（习题课） A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝－2} D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 解析：(x －1)x ＋2≥0， 所以???x －1≥0，x ＋2≥0 或x ＝－2， ?x ≥1或x ＝－2，故选C. 答案：C 2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( ) A ．{a |00，Δ≤0????a >0，a 2－4a ≤0 ?0≤a ≤4. 综上知，0≤a ≤4.选D. 答案：D 3．已知集合M ＝???? ??x ???x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R(M ∩N ) D ．?R(M ∪N ) 解析：因为M ＝{x |－3 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 1．(2011·广东高考)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A ．(－1 2，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1 2)∪(1，＋∞) 解析：由原不等式得(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＜－1 2或x ＞1. 答案：D 2．(2012·蚌埠二中高二检测)不等式x 2－|x |－2<0的解集是( ) A ．{x |－2 解析：f (1)＝1－4＋6＝3， 则有????? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或????? x <0，x ＋6>3， 解得0≤x <1或x >3或－3 第三章 不等式 一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题) 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 一元二次不等式及其解法 [考点梳理] 1．解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是； (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为_______；当a ＜0时，解集为．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是_______． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集． (4)一元二次不等式的解： 函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 无实根 ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 ① ② R ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ③ (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f （x ） g （x ） 的形式． (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0；f （x ） g （x ） ＜0 ? f (x )g (x )＜0； f （x ） g （x ）≥0 ? ???f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0；f （x ）g （x ）≤0 ? ???f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 从容说课 本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣. 教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 教具准备多媒体及课件，幻灯片三张 三维目标 一、知识与技能 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验; 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想; 2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观. 教学过程 导入新课 师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Servi c e Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用. 某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算） 描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区 域表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型： 2 50x x -< (1) 2.讲授新课 1）一元二次不等式的定义 象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x == 二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2 50x x ->； 当0 一元二次不等式及其解法（第一课时） 一、教材分析 １、教学内容 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修５第三章第二节《一元二次不等式及其解法》第１课时。 ２、教材地位和作用 从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。 从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。 ３、教学目标 知识与技能：正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。熟练掌握一元二次不等式的解法。 过程与方法：通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力；通过对问题的思考、探究、交流，培养学生良好的数学交流能力，增强其数形结合的思维意识。 情感态度与价值观：通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系，激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受；在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯。 ４、教学重、难点 重点：一元二次不等式的解法。 难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系。 二、学习者特征分析： 学习者是普通高中高二理科学生（基础差）。已经学习了一元一次不等式，一元一次方程、一元一次函数，二元一次方程与函数。 三、教学方法和教学策略分析： １、选择教法的原则和依据 根据学生的原有知识和现有的认知规律，以发展学生的能力和应试水平为原则。 ２、教法选择 选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识。 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 听课随笔 第14课时 基本不等式的应用(2) 学习要求 1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。 3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值． 【课堂互动】 自学评价 1.设x>0时, y=3－3x －x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】 例１．过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程 【解】 见书（但设直线方程可有两种方法）． 例２．如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版 面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 见书． 思维点拔： 先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。 追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客 运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万 元与营运年数n(n )N +∈的关系为 y=－n 2+12n －25,则每辆客车营运( Ｃ ) 年,使其营运年平均利润最大. A 3 B 4 C 5 D 6 2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴 的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两 点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的 方程. 解：设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b a A +--． 所以||||PB PA ＝a k k b k ?+-+221||1 ＝ab k k ab 2)||1 |(|≥+ （等号当且仅当1-=k 时成立） 所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的 方程为：0=--+b a y x ． 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要 向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距 离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距 离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验 公式: S=2403 v +v 85 , 为保证安全行驶, 要 求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 “安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现 假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身 长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并 且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.高中数学必修5基本不等式知识点总结
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