两圆一线和两线一圆

关于等腰三角形和直角三角形的存在性问题

一、关联知识：

1、已知M )(11y x ，、N )(22y x ，；则

① MN 的中点坐标为)2

2(

2121y y x x ++，；② MN 的距离为221221)()(y y x x -+-

二、方法与技巧：

（一）关于等腰三角形存在性的问题（两圆一线）：

已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；

（二）关于直角三角形存在性的问题（两线一圆）：

已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；

三、例题精讲：

例题一：如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴；

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

例题二：如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-3）：

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

1、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．

（1）求点G 的坐标；

（2）求折痕EF 所在直线的解析式；

（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，抛物线233384

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．

1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：

分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：

分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；

六、课后作业：

如图，已知抛物线32++=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求△BCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个符合条件的点P （简要说明理由）并写出其中一个点的坐标；若不存在这样的点P ，请简要说明理由。

等腰三角形的定义与性质

《等腰三角形》教学设计 【教材分析】 1、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位， 是构成复杂图形的基本单位 2、本节内容是《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学 已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角 度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用 3、等腰三角形是在《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学 习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特 殊结果的重要之处。 4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出 发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。 【教学对象分析】 1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分 发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。 3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以 兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。 【教学目标】 知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。 技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。 情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。 【教学重点、难点】 重点：1、等腰三角形对称的概念。 2、“等边对等角”的理解和使用。 3、“三线合一”的理解和使用。 难点：1、等腰三角形三线合一的具体应用。 2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析。 【教学手段】 1、使用导学法、讨论法。 2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论。 3、运用多媒体辅助教学。 【教学过程设计】 1、学生活动 预习相关概念及定理 【教学设想】培养学生良好的学习习惯 教师活动 课题引入：让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了 角度不同外还有什么区别”在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。 【教学设想】在小学知识和第八章三角形知识的基础上，学生比较容易得到结论。

两圆方程作差所得方程对应直线与两圆位置关系

两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系 对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ， 0:222222=++++F y E x D y x C ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直 线方程为0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 。现在我想探讨的问题是：所得直线l 在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理: 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 3.割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D （可重合），则有PA·PB=PC·PD。 4．圆幂定理推论：设圆半径为r ，圆心为O ， 若P 在圆外，则 ()()()2 2 2 22PA PB PC PD PO r PO r PO r PO r ==+-=-=-=切线长； 若P 在圆内，()()22 2 2 PA PB PC PD r PO r PO r PO PO r ==--=-=-。 （事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴 1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（若P 在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减 -++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++ 总是得到一条直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+- 因-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (1112 2=++++? 222222222111()()()()0x a y b r x a y b r ????-+----+--=????? ()()()()22222222221122110PO r PO r PO r PO r ????---=?-=-???? 由此可知：直线l 是到两圆幂相等的点的集合。 两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合）

等腰三角形习题精选

知识链接：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的较复杂的题目是很有帮助的. 等腰三角形课后提高 一基本图形 1.（1）已知：OD 平分∠AOB ，ED ∥OB .请说明：EO=ED . （2）已知：OD 平分∠AOB ，EO=ED .请说明：ED ∥OB. （3）已知：ED ∥OB ，EO=ED .请说明：OD 平分∠AOB . 2如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数． 改编为： (1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角． (2)你能求出各角的度数吗? 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形． 1．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D .求：∠ADB 和∠CDB 的度数. 2．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD =30°，AD=AE . 求：∠EDC 的度数. 3．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 1

E D C B A 4．等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于（） A.顶角 B.顶角的两倍 C.顶角的一半 D.底角的一半 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20o， AD＝AE，则∠EDC= ． 6．如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,求证BD=CE 7如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，猜想∠ABC和∠C的关系，并说明理由． 8．如图，已知在△AB C中，在AB上取一点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连结DE交BC于点G，有DG=GE，试说明：AB=AC. 小贴士：线段和差的问题通常可通过在长边上 截取和短边上补长的方法构造全等三角形来解 决，我们把这种方法称为截长补短法.

培优专题等腰三角形含答案

9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

坐标的应用(两圆一线)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：已知两点确定第三点的等腰三角形存在性问题： 第一步：确定点的位置，利用________________； 第二步：计算点的坐标，利用________________． 问题2：已知点，点，则线段AB的中点M的坐标为____________． 坐标的应用（两圆一线）（北师版） 一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，已知坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在坐标轴上，若以A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C的坐标为( ) A. B.， C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形 3.如图，A点坐标为(-1，0)，B点坐标为(0，1)．请在y轴上找一点P，使△APB为等腰三角形，则点P的坐标为( ) A.，， B.，，， C.， D.，，， 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形 4.如图，在平面直角坐标系中，已知A，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为( ) A.(4，0)，(-4，0)

B.(4，0)，(-4，0)，， C.(0，4)，(0，-4)， D.(0，4)，(0，-4)，， 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

等腰三角形的性质练习题及答案

等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． ` 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（) A．30°D．32° C 36°D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． \ 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造

4勾股定理--两圆一线

三角形综合训练（两圆一线）（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（2，2），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN 或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个． A.3 B.4 C.7 D.8 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 5.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有( )个． A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．

A.8 B.9 C.10 D.11 7.如图，在长方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，则BP的长为( ) A.或 B.或2 C.或2 D.，或2 8.如图，已知平面直角坐标系中有点A(3，0)和点B(0，-4)，在x轴上存在一点C，使得△ABC 为等腰三角形，则点C的坐标为( ) A.(-4，0)，(-1，0)，(9，0)或 B.(0，-4)，(0，-1)，(0，9)或 C.(8，0)，(-2，0)，(-3，0)或 D.(0，8)，(0，-2)，(0，-3)或

培优专题等腰三角形(含答案)

9、等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问

题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2. 如图，已知：ABC ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D

两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系

简介：对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。所得直线在两圆的5种位置关系下的几何意义以及已知两圆、的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理: 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴 三、定理：根轴与两圆连心线垂直 四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线 五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线 六、两圆相离根轴的几何意义与位置 七、两圆内含根轴的几何意义与位置 八、结论： 正文 对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。设两圆，，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为。现在我想探讨的问题是：所得直线在两圆的5种位置关系下的几何意义以及已知两圆、的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理: 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 4．圆幂定理推论：设圆半径为r，圆心为o， 若p在圆外，则； 若p在圆内，。 （事实上所有的过p点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴 1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。这个值称为点p到圆o的幂。（若p在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减 总是得到一条直线： 因 由此可知：直线是到两圆幂相等的点的集合。 两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合） 三、定理：根轴与两圆连心线垂直 圆的圆心坐标是，圆的圆心坐标是。1。当时，两圆非同心，则得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线的斜率为零，故直线与过两圆心的直线垂直；2。当时，两圆非同心，则得过两圆心的直线的斜率为零，而直线的斜率不存在，故直线与过两圆心的直线垂直；3。当且时，得过两圆心的直线的斜率是，而直线的斜率是，故直线与过两圆心的直线垂直。 四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线 设、是两圆的交点，则有和成立，即满足方程， 即；同理也满足它，所以直线表示两圆相交弦所在直线。

等腰三角形知识点汇总及典型例题

1.主要知识点： 1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边） 2.主要性质： 　（1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 　（2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 　（3）.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 3.判定： （1）两边相等的三角形为等腰三角形 （2）两底角相等的三角形为等腰三角形 （3）中线和高合一的三角形为等腰三角形

（4）角平分线和高合一的三角形为等腰三角形 （5）一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形 4.特殊的等腰三角形------等边三角形 4.1定义： 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三 角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三条边都相等则 说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 4.2性质： ⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互 相重合。 ⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条 边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.3判定：　 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。 4.4反证法： 4.4.1定义：假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 4.4.2一般步骤： 应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 5.直角三角形中，30度锐角的性质： 直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 典例分析 例１.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，求此三角形的周长

二次函数与几何综合题

二次函数与几何综合 一、二次函数与三角形综合 (1) ㈠二次函数与等腰三角形 (2) ㈡二次函数与直角三角形 (7) ㈢二次函数与相似三角形 (9) 二、二次函数与四边形综合 (11) （一）二次函数与平行四边形 (11) （二）二次函数与特殊四边形 (17) 三、二次函数与圆综合 (19) 四、二次函数与面积综合 (22) 五、二次函数与最值综合 (28) 六、二次函数与定值综合 (34) 一、二次函数与三角形综合 二次函数中三角形的存在性问题解题思路： （1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等于90°去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。 求作等腰三角形、直角三角形的方法： 图一两圆一线图解图二两线一圆图解 总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。 等腰三角形、直角三角形可能的情况： (1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC如图； (2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如图所示；

㈠二次函数与等腰三角形 例1．（2013?铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 例2．（2013?湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于 点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．

八年级数学第六单元专训2 活用“三线合一”巧解题

专训2活用“三线合一”巧解题 名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程． 利用“三线合一”求角的度数 1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB与AC相等．求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数． (第1题) 利用“三线合一”求线段的长 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC 的周长为24，求AE的长． (第2题)

利用“三线合一”证线段(角)相等 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由． (2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍有(1)中的形状，不用说明理由． (第3题) 利用“三线合一”证垂直 4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB. (第4题)

利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法) 5．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD. (第5题) 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法) 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD. (第6题)

两圆一线和两线一圆

关于等腰三角形和直角三角形的存在性问题 一、关联知识： 1、已知M )(11y x ，、N )(22y x ，；则 ① MN 的中点坐标为)22( 2121y y x x ++，；② MN 的距离为221221)()(y y x x -+- 二、方法与技巧： （一）关于等腰三角形存在性的问题（两圆一线）： 已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； （二）关于直角三角形存在性的问题（两线一圆）： 已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；

三、例题精讲： 例题一：如图，抛物线c bx ax y ++=2 经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴； （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 例题二：如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-3）： （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

1、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点． （1）求点G 的坐标； （2）求折痕EF 所在直线的解析式； （3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，抛物线233384 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．

最新初中数学 《等腰三角形》教学设计

初中数学《等腰三角形》教学设计 班级：初一（1）学科：数学课型：新授课教师：张三 一·教材分析： 1、本节内容是七年级下第九章《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课， 由于小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用，如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点，应该重新认识，把好入门的第一课。 2、等腰三角形是在第八章《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用 学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。 3、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位，是构 成复杂图形的基本单位，等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。 4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点 之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。 5、例题中的几何运算，是数形结合的思想的初步体验，如何在几何中结合代数的等 量思想是教学中应重点研究的问题。 6、新教材的合情推理是一个创新，如何把握合情推理的书写及重点问题，本课中的 例题也进一步做了示范，可以认真研究。 7、本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提 高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。 8、本课内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养 学生的合作精神和团队竞争的意识。 二·学情分析 1、授课班级为平行班，学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式 教学。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥 合作的优势，兼顾效率和平衡。 3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。 三·教学目标： 1、知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。 2、技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三 角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。 3、情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。 四·教学中的重点、难点：

两圆一线：等腰三角形

等腰三角形问题—两圆一线 方法：将已知两点连成线段，分别以线段两端点为圆心、该线段长为半径画圆，则两圆与坐标轴的交点均符合题意（两圆圆心除外）；再作该线段的垂直平分线，该直线与坐标轴的交点也符合题意 引例1、如图，在正方形ABCD 所在的平面上找一点P ，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PAD 都是等腰三角形，符合条件的点P 有几个？ 引例2、如图（4）在等边△ABC 所在的平面上找一点P ，使得△PAB、△PBC、△PAC 都是等腰三角形，符合条件的点P 有几个？ 例1、直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点. (1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；（2）当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？ 例2、（2012?杭州改编）已知抛物线3(1)( )y k x x k =+-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数_______； 例3、已知A ，B ，P 是⊙O 上不同的三点，∠APB=α，点M 是⊙O 上的动点，且使△ABM 为等腰三角形．若α=45°，则所有符合条件的M 共有_________个；若满足题意的点M 有2个，则α=_________； A D B C A C

切出等腰三角形 原题 1、已知△ABC的三条边长分别为3,4,6，在△所在的平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（） A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 拓展 1.已知△ABC的三条边长分别为1,2, ，在△所在的平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画_____4_____. （含30°Rt△） 2.已知△ABC的三条边长分别为1,1, ，在△所在的平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画_____3_____. （45°Rt△） 3、已知△ABC的三条边长分别为3,4, 5，在△所在的平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画____6______.（普通直角） 4、已知△ABC是一个角为60°的锐角三角形（非等边三角形），在△所在的平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画_____6_____.（含有一个60°的锐角三角形）

等腰直角三角形“套路深”,竟有这么多“基本图形”!

等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见 常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、 “勾股比1:1：√2”、“45°好角辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。 今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有 些难度，非常漂亮。经过“见招拆招”+“破解分解”竟然可以“获得”一连串 等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”， 结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何题！ 题目：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点，点E 在AC上，点F在BC上，∠EDF=90°，边AF，若∠CAF=2∠BDF， AE=3，则DF=_________ 下面就如何“真实而自然”利用“基本图形”去“拆解破解”这道题！ 1.看到“AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点”，马上想到连接CD，得 到“直角三角形斜边中线等于斜边一半：CD=AD=BD”,CD三线合一垂直AB；再结合“∠EDF=90°”马上能得到“两组全等”，如图，同色三角形全等。证明方法很多，也不太困难，若用“旋转思想”，则可以“秒证”！而且由DE=DF，可以得到直角三角形△DEF是等腰直角三角形！如图：

2.连接EF，可以得到“8字型相似”：两个45°角相等+对顶角相等。右图可得图上有三个α相等。 3.将直角三角形△FEC沿着CF向外“翻折”，可得：①第四个α角相等（如图）；②CF=CE，且和AE“共线”（垂直邻补角）

4.如上面第3点，∠GAF=∠EFG,并∠G=∠G,显然这又是“偏A型相似”，如图：染色两个三角形相似。而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF 也是等腰三角形！漂亮！“竟然”有如此漂亮的美丽结论在后面等着！ 5.“谋定后动”后面可以“定量计算”了！如图，设EC=CF=x,则等腰△AGF中AF=AG=AE+EF=3+2x，而“旋转全等”（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3,又AC=AE+EC=3+x;显然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以计算出：x=1.

用两圆一线法求等腰三角形

用两圆一线法求等腰三角形 一、有关等腰三角形的概念. 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形. 2.腰的定义：相等的两条边叫做腰， 3.等腰三角形底的定义：与其他两边不相等的边叫等腰三角形的底. 4.等腰三角形的底角的定义：腰与底边的夹角叫等腰三角形的底角. 5.等腰三角形的顶角定义：两腰的夹角叫等腰三角形的顶角. 6.等腰三角形的性质：1.等腰三角形两底角相等；2 .等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线互相重合. 二、两圆一线的由来 根据等腰三角形的性质2，可得：㈠等腰三角形的两个底角的顶点在以顶角的顶点为圆心，腰长为半径的圆上；㈡等腰三角形的顶角的顶点在底边的垂直平分线上；也可以说底边的垂直平分线经过顶角的顶点. 已知腰长时，用画圆的方法找第三个点；已知等腰三角形的底边，找等腰三角形的顶角顶点时作底边的垂直平分线；下面举例说明. 例1例2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，AD=4,BD=2,CD=8.（1）求证：∠BAC=90°； （2）P为BC边上一点，链接AP，若△ABP 为等腰三角形，请求出BP的长.

【分析】证明运用勾股定理逆定理可以证明∠BAC=90°； 当△ABP为等腰三角形时，有三种可能性，分别是 ①AB=AP;②AB=PB ;③AP=BP如图所示 ①当AB=AP时，腰长是AB，为已知条件，在 BC上找到一个点P到点A的距离等于AB即可， 所以可以采用以A为圆心，以AB为半径画圆， 交BC于点P.此时DP=BD=2，所以BP=4; ②当AB=PB时，腰长是AB，为已知条件，在BC上找到一个点P,使PB=AB,也就是使点P到B的距离与AB相等. 所以采用以B为圆心，以AB为半径画圆， 交BC于点P.如图（2）；BP=AB= ③当AP=BP时，腰为AP,BP均为未知，底边长是AB，是已知条件，根据等腰三角形的三线合一性质，底边的垂直 平分线经过等腰三角形的顶角顶点.所以采用 做AB的垂直平分线交BC于一点P,如图（3）

等腰三角形

等腰三角形 教材分析： 1、本节内容是七年级下第九章《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用，如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点，应该重新认识，把好入门的第一课。 2、等腰三角形是在第八章《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。 3、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位，是构成复杂图形的基本单位，等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。 4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。 5、例题中的几何运算，是数形结合的思想的初步体验，如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题。 6、新教材的合情推理是一个创新，如何把握合情推理的书写及重点问题，本课中的例题也进一步做了示范，可以认真研究。 7、本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。 8、本课内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 学情分析： 1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。 2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。 3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。 重点： 1、等腰三角形对称的概念。 2、“等边对等角”的理解和使用。 3、“三线合一”的理解和使用。

构造基本图形——等腰三角形

习题课《构造基本图形——等腰三角形》 一、教学目标 知识与能力： 1．探究构造等腰三角形的方法，能通过作垂线和平行线来构造等腰三角形。 2．能灵活的运用等腰三角形的性质进行有关说理并解决具体的数学问题。 过程与方法： 1. 运用类比研究问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。 2．培养学生逻辑推理能力和创造性思维能力。 3．在自主探究中理解基本图形，收获探究方法，充分体现观察、实验、猜想、论证、应用的研究几何图形问题的全过程。 情感、态度、价值观： 1．认识到观察、实验、类比可以获得数学猜想，数学活动赋予探索、充满挑战。 2．引导学生面对困难时要积极对待，冷静思考，尽力寻求方法解决问题。 二、教学重点 学生探索构造等腰三角形。 三、教学难点 对构造的基本图形 ----- 等腰三角形方法的归纳。 四、教学手段 利用多媒体手段，直观演示图形。 五、教学过程 （一）导入新知 在轴对称一章里，我们接触了等腰三角形，如图等腰三角形△ ABC ，它有什么性质和判定方法？

等腰三角形：等边对等角，等角对等边及底边上的高线、中线、顶角的角平分线重合。等腰三角形具有这么特殊的性质，提供了“边与边、角和角及边和角的关系”。我们把等腰三角形看作是平面几何中的一个基本图形，在很多问题中，如果有等腰三角形，我们要把它能从复杂图形中找出来；如果问题中没有有时我们还需要想办法构造出来，本节课我们就来探究如何构造等腰三角形。 我们来看这样一个问题：（展示课件）（学生活动） 问题 1 ：利用圆规或三角板，在角上添加线构造等腰三角形 方法：有多种方法，分别把∠ O 作为底角和顶角来构造。 问题 2 ：利用角平分线的条件，过点 P 作一条线段构造等腰三角形 设计说明：这个环节由学生自己动手画图操作，发散学生思维，寻求多种方法解决问题，同时对每一种画法，说明理由。 在探索过程中，学生可能会给出多种构造方法，比如： 1 ．以顶点 O 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的两边于点 A 、 B ，连结 AB ，则△ OAB 为等腰三角形。 2 ．以点 P 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的一边于点 A ，连结 AP ，则△ OAP 为等腰三角形。 3 ．过 P 点分别向角的两边引垂线段，垂足点 A 、 B ，连结 AB ，则△ OAB 为等腰三角形。