苏教版--九年级数学上册知识点整理

九年级（上）知识点归纳

第一章图形与证明（二）

1.1 等腰三角形的性质和判定

1.等腰三角形性质定理：

等腰三角形的两个底角相等

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）

2.等腰三角形判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）1.2 直角三角形全等的判定定理：

1.判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

推论：直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。

1.3：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

1.平行四边形性质定理：

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

2.平行四边形判定定理：

从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3.矩形的性质定理：

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4.矩形的判定定理：

1.有三个角是直角的四边形是矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形

5.菱形的性质定理：

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

6.菱形的判定定理：

1.四条边都相等的四边形是菱形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

7.正方形的性质定理：

正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

8.正方形的判定定理：

1、有一个角是直角的菱形是正方形。

2、有一组邻边相等的平行四边形是正方形

1.4：等腰梯形的性质和判定

1. 等腰梯形的性质定理：

定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

2.等腰梯形的判定定理：

1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2.对角线相等的梯形是等腰梯形。

1.5 中位线

1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2.梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。

中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。

第二章 数据的离散程度 2.1：极差

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。

极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。

2.2：方差与标准差

1.方差：各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S 2

基本公式：S 2=n

1

[(X 1-X —)2+(X 2-X —)2+……+(X n -X —)2]

2.标准差:

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S 。 3. 意义：

1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。

2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。

注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。

第三章 二次根式

3.1 二次根式

1.定义：一般地，式子错误！未找到引用源。（a ≧0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。

有意义条件：当a ≧0时，错误！未找到引用源。有意义；当a ≦0时，错误！未找到引用源。无意义。 2.性质：

（1）)0()(2≥=a a a

)0(≥a a

（2）==a a 2

)0(<-a a

3.2 二次根式的乘除

1.运算法则： （1）)0,0(≥≥?=

b a b a ab （)0,0(≥≥=?b a ab b a ）

（2）

)0,0(>≥=b a b

a b a （)0,0(>≥=

b a b

a

b

a 2.最简根式：

a.被开方数中不能含能开的尽方的因数或因式 b ．被开方数中不含分母 c.分母中不含有根号

一般地，二次根式运算的结果中应化为最简二次根式

3.3：二次根式的加减

1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式

2.运算法则：一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式

3.分母有理化：当分母是单个二次根式时，就将分子与分母同乘以这个二次根式本身即可；当分母中含有多项式如（错误！未找到引用源。+1）时，就将分子分母同乘以它的有理化因子(错误！未找到引用源。-1)

第四章 一元二次方程

4.1 一元二次方程

1.概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是aX 2+bX+c=0(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，其中aX 2称为二次项，a 称为二次项系数，bX 称为一次项，b 称为一次项系数，c 称为常数项

4.2：一元二次方程的解法

1、直接开平方

2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h ）2=k 的形式（其中h,k 都是常数），如果k ≧0，再通过直接开平方法求出方程的解

3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX 2+bX+c=0 （a ≠0），当b 2

-4ac ≧0时，它的根是

4.因式分解法：利用分解因式的方法解一元二次方程的方法

5.根的判别式：当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2

-4ac=0时，方程有两个相等的实数根X 1=X 2，

当b 2

-4ac ＜0时，方程没有实数根。反之，也成立。

6.韦达定理：设一元二次方程aX 2+bX+c=0 （a ≠0）的两根为X 1，X 2

那么X 1 + X 2 =-

a b ，X 1 X 2 = a

c

4.3：用一元二次方程解决实际问题

一元二次方程应用题步骤：“设、找、列、解、验、答”

第五章 中心对称图形（二）

5.1 圆

定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。 与圆有关的概念：

1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、定点在圆上的角叫做圆心角。

4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

点与圆的位置关系：

在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么“点P 在圆内 ←→d ＜r;点P 在圆上←→d=r ；点P 在圆外←→d ＞r ”

5.2 圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.3 圆周角

概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）

推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。

2、90°的圆周角对的弦是直径。

5.4 确定圆的条件

条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

三角形的外接圆：

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形

5.5 直线与圆的位置关系

1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（d＜r）

2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。（d=r）

3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（d＞r）

直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。

切线的性质与判定：

判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。

性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）

1、经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。

2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

3、切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。

内心：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

5.6 圆与圆的位置关系

性质与判定：

如果两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离←→d＞R+r

两圆外切←→d=R+r

两圆相交←→R-r＜d＜R+r（R＞r）

两圆内切←→d=R-r(R＞r)

两圆内含←→0≤d＜R-r（R＞r）

连心线的性质：

圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O1O2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。

5.7 正多边形与圆

正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正

多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。

1、边数相同的正多边形相似。

2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。

（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。

作正多边形：作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法：

（1）用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为错误！未找到引用源。，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。

（2）用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。

友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误差。

5.8 弧长及扇形的面积

圆的周长公式C=2πR，其中π是圆的周长与直径的比值，π称为圆周率。

弧长公式：l=错误！未找到引用源。，其中，表示1°的圆心角的倍数，它不带单位，R为圆的半径，l为n°的圆心角所对的弧长。

扇形面积公式：

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

①圆心角为n°的扇形面积的计算公式为S扇形=错误！未找到引用源。

②②弧长为l的扇形面积的计算公式为S扇形=错误！未找到引用源。lR。

公式①中的n应理解为1°的圆心角的倍数，不带单位，同时要注意与弧长：l=错误！未找到引用源。公式进行比较，避免混淆。

公式②与三角形面积公式相类似，在S=错误！未找到引用源。lR中，把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看作底，R看作高，这样对比，有助于理解与记忆公式。

5.9圆锥侧面积和全面积

圆锥的侧面展开：

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长l=2πr。

这个扇形的半径等于圆锥的母线长l母线=错误！未找到引用源。

这个扇形的圆心角α=错误！未找到引用源。·360°

这个扇形的面积等于圆锥的侧面积S侧面积=S扇形=错误！未找到引用源。·2πr·l=πr·l

圆锥与圆柱的比较