文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 常微分课后答案第四章

常微分课后答案第四章

常微分课后答案第四章
常微分课后答案第四章

第四章 高阶微分方程

§4.1 线性微分方程的一般理论

习题4.1

1.设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数,证明:若在区间[]b a ,上有

≠)

()

(t y t x 常数或

≠)

()

(t x t y 常数,则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关.

(提示:用反证法) 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关,则存在不全为0的常数21,c c 使得

0)()(21≡+t y c t x c ,[]b a t ,∈,若)0(,021≠≠c c 或得

12)()(c c t y t x -≡(或2

1)()(c c t x t y -≡)[]b a t ,∈?成立。与假设矛盾,故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关.

2.证明非齐次线性方程的叠加原理:设)(1t x ,)(2t x 分别是非齐次线性方程

)()()(1111t f x t a dt x

d t a dt x d n n n n n =+++-- (1) )()()(2111t f x t a dt

x

d t a dt x d n n n n n =+++-- (2) 的解,则)()(21t x t x +是方程

)()()()(21111t f t f x t a dt

x

d t a dt x d n n n n n +=+++-- (3) 的解.

证明 因为)(1t x ,)(2t x 分别是方程(1)、(2)的解,所以

)()()(1111

111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- , )()()(2212

112t f x t a dt

x d t a dt x d n n n n

n =+++-- , 二式相加得,

)()())(()

()()(21211

211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ,

即)()(21t x t x +是方程(3)的解.

3.(1).试验证022=-x dt x d 的基本解组为t

t e e -,,并求方程t x dt

x d cos 22=-的通解。

证明 因为t t e e =')(,t t e e ='')(,t t e e ---=')(,t t e e --='')(,

所以

022≡-t t e dt e d ,022≡---t t e dt e d ,即t t e e -,确为方程022=-x dt x d 的解,又由于≠=-t t t e e e 2常数,故t

t e e -与线性无关,因而022=-x dt

x d 的基本解组为t t e e -,. 设t

t

e t c e t c x -+=)()(21是方程t x dt

x

d cos 22=-的解,代入可得决定)(1

t c '和)(2t c '的两个方程0)()(21

='+'-t t e t c e t c ,t e t c e t c t t cos )()(21='+'-,得到 t e e t c t t cos 21)(1

-=',t e e t c t t cos 2

1

)(2

-=', 所以 11)c o s (s i n

41)(γ+-=-t t e t c t ,22)cos (sin 4

1

)(γ++-=t t e t c t . 因此 t x dt

x

d cos 22=-的通解为t t

e t c e t c x -+=)()(21,即 t e et t x -++-=21cos 2

1

γγ),(21是任意常数γγ.

(2).试验证011

12

2=---+x t dt dx t t dt x d 有基本组为t e t ,, 并求方程--+dt dx

t t dt

x d 12

2 111

-=-t x t

的通解. 证明 把t

e x t x ==,代入方程011

122=---+

x t dt dx t t dt

x d 使方程变为恒等式,故t e x t x ==,是方程的解,又

≠t e

t

常数,故线性无关,因而,t e t ,是齐线性方程的基本解组.

设方程111

122-=---+

t x t dt dx t t dt

x d 的解为t e t c t t c x )()(21+=,代入方程,得决定

)(),(21

t c t c ''的两个方程 ?????-='+'='+'1)()(,0)()(21

21

t t c e t c t c e t t c t t

t ? ???='='-t

te t c t c )(,1)(21

? ???++-=+=-.

2211)1()(,

)(γγt

e t t c t t c 所以非齐线性方程的通解为t t e t t t e t c t t c x 212211)()(γγ++--=+=,21,(γγ是任意常数).

(3).求方程t t x dt x

d 2sin 422=+的通解,已知它的对应齐线性方程有基本解组t 2cos ,

t 2sin .

解 用常数交易法.设方程的解为t t c t t c x 2sin )(2cos )(21+=,代入方程,得关于

)(1

t c '和)(2t c '的方程组 ??

?='+-='+'t t t c t t tc t c t t c t 2sin )(2cos 2)(2sin 2,0)(2sin )(2cos 2121 ? ???

????='-='t t t t c t t t c 2c o s 2s i n 21)(,2s i n 2

1)(22

1 ????

???

?++-=+++-=.221214sin 6414cos 161)(,~4cos 64

14sin 16181)(c t t t t c c t t t t t c 所以t c t c t t t t t t c t t c x 2sin 2cos 2sin 16

1

2cos 8

1

2sin )(2cos )(212

21+++-=+=为方程的通解.

4.求方程022=-x dt x

d 有基本解组t t

e e -,.试求此方程适合初始条件1)0(=x ,0)0(='x 及1)0(,0)0(='=x x 的基本解组(称为标准基本解组,即有1)0(=W ),并由此

求出方程的适合初始条件0

0)0(,)0(x x x x '='=的解. 解 方程022=-x dt

x d 的通解为t

t e c e c x -+=21.由适合初始条件1)0(=x ,得到

121=+c c 而由0)0(='x ,得到021=-c c ,解出2

1

21=

=c c ,所以所求满足初始条件1)0(=x ,0)0(='x 的解为cht e e t x t t

=+=

-)(2

1)(1. 由适合初始条件0)0(=x ,得021=+c c ,而由1)0(='x ,得121=-c c ,由此得

2121=

-=c c ,故满足初始条件1)0(,0)0(='=x x 的解为sht e e t x t

t =-=-)(2

1)(2. 又 1)(22=-==

t sh t ch cht

sht sht

cht t W

所以sht cht 与线性无关,因而sht cht ,是标准基本解组,并由此得方程的通解为

sht c cht c x 21+=,

由适合初始条件0

0)0(,)0(x x x x '='=有0201,x c x c '==,即所求特解为 sht x cht x t x 0

0)('+=. 5.设),,2,1()(n i t x i =是齐线性方程(4-2)的任意n 个解,它们所构成的Wronsdy 行列式记为)(t W ,试证明)(t W 满足一阶线性方程 0)(1=+'W t a W ,因而有

[]b a t e

t W t W t

t ds

s a ,,)()(01)(0∈?=-

证明 )()()(1t W t a t W +'

)

1()

2()1(2)2(222

)1(1)2(1111)()

2()(2)2(222

)

(1)2(111

)(---------'''+'''=n n

n n n

n

n n n n n n

n n n

n

n n n n x x x x x x x x x x x x t a x x x x x x x x x x x x

)

1(1)

()2()1(2

1)(2)2(2

22

)1(11)(1)

2(11

1)()()(------+'+'+'=

n n

n n

n n

n n n n n n n n x t a x x x x x t a x x x x x t a x x x x

n

n n n n n

n n n n n n n n x

t a x t a x x x x t a x t a x x x x t a x t a x x x )()()()()()()2(2)

2(2)

2(22)2(2

221)2(12)

2(11

1---'++'++'=

------

0=,

所以)(t W 满足一阶线性方程 0)(1=+'W t a W .而这个一阶线性方程的通解为

?=?

=-

-t

t ds

s a ds

s a ce

ce t W 011)()()(,由0t t =时,)(0t W W =得)(0t W c =,所以

[]b a t e

t W t W t

t ds

s a ,,)()(01)(0∈?=-

6.假设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的解,这里)(),(21t a t a 在区间[]b a ,上连续.试证:

(1))(2t x 为方程的解0],[],[21121=+'?x x W a x x W

(2)方程的通解可表为]))(exp(1

[0

2121

11??+-=t t c dt ds s a x c x x ,其中21,c c 为任意常

数,∈t t ,0[]b a ,.

证明 (1) “?”由7题显然

“?”设)(2t x 满足0],[],[21121=+'?x x W a x x W ,即

212

111

2

1

21

2112121)()()

(0x t a x x t a x x x x x x x t a x x x x '+'''+''=''=''''=

])()([)()(22212

1212

1

22

1x t a x t a x x x t a x x t a x x +'+''='+''-=

因为01≠x 所以0)()(22212

=+'+''x t a x t a x ,故)(2t x 为方程的解. (2) 由?=?=+'-

t

t ds

s a e

c W W t a W 01)(110)(,若)(t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的

解,则],[1x x W 是0)(1=+'W t a W 的解,

也即[]?=-

t

t ds

s a e

c x x W 01)(11,即

?='

'-t t ds s a e

c x x x x 0

1)(11

1

?+'='?-t

t ds s a e c x x x x 01)(111. 先解11

1cx x x x x x =?'='设方程的解为1)(x t c x =,代入原方程得 ?='-t

t ds

s a e x c t c 01)(2

1

11)(, 所以2)(21

1

011)(c dt e x c t c t

t ds

s a +?=-?

. 故方程的通解可表为]))(exp(1

[0

2121

11??+-=t t c dt ds s a x c x x .

7.试证明n 阶非齐次线性微分方程(4.1)存在且最多存在1+n 个线性无关解. 证明 设(4.2)的基本解组为),(,),(),(21t x t x t x n (4.1)的一个特解)(~t x ,则(4.1)的通解为)(~

)(1

t x t x c x i

i n

i +=

∑=.显然,只要)(t f 不恒为零,则)(,),(),(~1t x t x t x n

线性无

关,从而必然)(~)(,),(~)(),(~1t x t x t x t x t x n ++ 线性无关,故n 阶非齐次线性微分方程(4.1)存在1+n 个线性无关解.

由于通解)(~

)(1

t x t x c x i

i n

i +=

∑=,即任何一个解再加入)

(~)(,),(~)(),(~1t x t x t x t x t x n

++ 中都使所得的共2+n 个解线性相关,故n 阶非齐次线性微分方程最多存在1+n 个线性无关解.

§4.2 常系数线性方程的解法

习题4.2

1.证明定理8和定理9.

定理8 若方程 0)()()(11

11=++++---x t a dt dx

t a dt

x d t a dt x d n n n n n n 中所有系数)(t a i (n i ,,2,1 =)都是实值函数,而)()()(t i t t z x ψ?+==是方程的复值解,则)(t z 的实部)(t ?、虚部)(t ψ和共轭复值函数)(t z 也都是方程的解.

证明 因为)()()(t i t t z ψ?+=是方程的解,故有

0)()()()(1)1(1)(=++'++++++--ψ?ψ?ψ?ψ?i a i a i a i n n n n ,

即0)()(1)1(1)(1)1(1)(=+'+++++'+++----ψψψψ????n n n n n n n n a a a i a a a ,所以,

01)1(1)(=+'+++--????n n n n a a a ,

01)1(1)(=+'+++--ψψψψn n n n a a a ,

由此得0)()(1)1(1)(1)1(1)(=+'+++-+'+++----ψψψψ????n n n n n n n n a a a i a a a ,所以

0)()()()(1)1(1)(=-+'-++-+---ψ?ψ?ψ?ψ?i a i a i a i n n n n ,

即)(t ?, )(t ψ,)(t z i =-ψ?都是方程的解.

定理9 若方程

)()()()()(1

1

11t iv t u x t a dt dx

t a dt x d t a dt x d n n n n n n +=++++--- (*) 有复值解)()(t iV t U x +=,这里)(t a i (n i ,,2,1 =)及)(t u ,)(t v 都是实函数,那么这个解的实部)(t U 和虚部)(t V 分别是方程

)()()()(1

1

11t u x t a dt dx

t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (1) 和

)()()()(11

11t v x t a dt dx

t a dt

x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (2) 的解.

证明 因为)()(t iV t U x +=是(*)的解,故有

iv u iV U a iV U a iV U a iV U n n n n +=++'++++++--)()()()(1)1(1)( ,

即iv u V a V a V a V i U a U a U a U n n n n n n n n +=+'+++++'+++----)()(1)1(1)(1)1(1)( , 所以,

u U a U a U a U n n n n =+'+++--1)1(1)( , v V a V a V a V n n n n =+'+++--1)1(1)( ,

即)(t U 是(1)的解,而)(t V 是(2)的解.

2. 求解下列常系数线性方程(2-21)

(1)045)

4(=+''-x x x

解 特征方程0452

4

=+-λλ有根1,1,2,24321-==-==λλλλ,所以方程的通解为

t t t t e c e c e c e c x --+++=432221.

(2)0333

2

=-'+''-'''x a x a x a x .

解 特征方程0333

223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ,所以方程的通解为

)(321t t c t c c x ++=.

(3)04)

5(='''-x x

解 特征方程043

4=-λλ有根0,2,2321=-==λλλ(三重),所以方程的通解为

25432221e c e c c e c e c x t t t ++++=-.

(4)0102=+'+''x x x

解 特征方程01022

=++λλ有根i 312,1±-=λ,所以方程的通解为

)3sin 3cos (21t c t c e x t +=-.

(5)0=+'+''x x x .

解 特征方程012

=++λλ有根i 2

3212,1±-

=λ,所以方程的通解为 )2

3sin 23cos

(212

1

t c t c e

x t +=-. (6)12

+=+''t s a s .

解 特征方程02

2=-a λ有根a ±=2,1λ.

若0≠a ,设方程有特解B At s +=~

代入方程,得122+=--t B a At a ,得到 21a A -

=,2

1a B -=, 所以方程的通解为)1(1

221t a

e c e

c s at

at

+-+=-. 若0=a ,设方程有特解)(~2B At t s +=代入方程,得126+=+t B At ,得到6

1=

A ,21=

B ,所以方程的通解为)3(612

21+++=t t t c c s . (7)32254+=-'+''-'''t x x x x .

解 特征方程02542

3

=-+-λλλ有根1,221==λλ(二重).

设方程有特解B At x +=~,代入得32)25(2+=-+-t B A At ,解出4,1-=-=B A ,

所以方程的通解为)4()(3221+-++=t e t c c e

c x t t

(8).322)

4(-=+''-t x x x

解 特征方程0122

4

=+-λλ有根1±=λ(均为二重).

设方程有特解C Bt At x ++=2

~

,代入原方程得3)4(22-=-++t A C Bt At ,解出4,0,1===C B A ,所以方程的通解为)4()()(24321+++++=-t e t c c e t c c x t t .

(9)t x x cos =-'''.

解 特征方程013

=-λ有根i 2

321,121±-

==λλ. 设方程有特解t B t A x sin cos ~

+=,代入方程得t t B A t B A cos cos )(sin )(=+--,得到2

1

-

==B A .所以方程的通解为 )cos (sin 2

1)23sin 23cos

(322

11t t t c t c e e c x t t

+-++=-. (10)t x x x 2sin 82=-'+''.

解 特征方程022

=-+λλ有根2,121-==λλ.

设方程有特解t B t A x 2cos 2sin ~

+=,代入方程得 t t B A t B A 2sin 82cos )62(2sin )26(=-++-,

解出52,56-=-

=B A ,所以方程的通解为)2cos 2sin 3(5

2

221t t e c e c x t t +-+=-. (11).t

e x x =-'''.

解 由第10题,可设方程有特解t

Ate x =~

,代入方程得3

1

=A ,所以方程的通解为t t t te t c t c e

e c x 3

1)23sin 23cos

(322

11+++=-. (12).t

e s a s a s =+'+''2

2.

解 特征方程022

2=++a a λλ,有根a -=λ(二重根)

若1-≠a ,则方程有特解形式t Ae s =~

,代入方程得,2

)1(1

+=a A ,所以方程的通解

为t

at

e a e

t c c s 2

21)

1(1)(++

+=-. 若1-=a ,则方程有特解形式t e At s 2~=,代入方程,得 2

1

=A ,所以方程的通解为t e t t c c s )2

1

(221++=.

(13).t

e

x x x 256=+'+''.

解 特征方程0562

=++λλ有根5,121-=-=λλ.设方程有特解t

Ae x 2~

=,代入

方程,得211=

A ,所以方程的通解为t t

t e e c e c x 252121

1+

+=--. (14)t e x x x t

cos 32-=+'-''.

解 特征方程0322

=+-λλ的根i 212,1±=λ. 设方程有特解)sin (cos ~t B t A e x t +=-,代入方程得

t t B A t B A cos cos )45(sin )54(=-++,解出41

4

,415-==

B A , 所以方程的通解为)sin 4cos 5(41

1)2sin 2cos

(21t t e t c t c e x t

t

-+

+=-. (15) t t x x cos sin -=+''.

解 特征方程012

=+λ有根i ±=2,1λ,分别求出

t x x sin =+'' (1) t x x cos -=+'' (2)

的特解.

设方程(1)有特解)cos (sin ~1t B t tA x +=,代入方程得t t B t A sin sin 2cos 2=-,解出21,0-

==B A ,故方程(1)有特解为t t x cos 2

1

~

1-=. 设方程(2)有特解)2sin 2~2t B t cso A x +=,代入得t t B t A 2cos 2sin 32cos 3-=--,解出0,31==

B A ,故方程(2)有特解为t x 2cos 3

1~2=. 所以方程的通解为t t t t c t c x 2cos 3

1

cos 21cos sin 21+-+=.

(16)1442++=+'-''t

t

e

e x x x

解 特征方程0442

=+-λλ有根22,1=λ,先分别求出

t e x x x =+'-''44, (1) t e x x x 244=+'-'', (2) 144=+'-''x x x , (3)

的特解.

设方程(1)有特解t Ae x =1~,代入方程,得出1=A ; 设方程(2)有特解t e Bt x 222~=,代入方程得2

1

=B ; 设方程(3)有特解C x =3~,代入方程得4

1=

C ;

因而原方程的特解为4

1

21~

221++=t t

e t e x ,所以方程的通解为 4

1

21))(22221++++=t t t e t e e t c c x .

(17)t t x x 3sin 9=+''. 解 特征方程092

=+λ有根i 32,1±=λ.

设方程有特解]3cos )(3sin )[(~

t D Ct t B At t x +++=,代入方程得 t t t D A t Ctsis t C B t At 3sin 3sin )3(23123cos )3(23cos 12=-+-++,

因此,

0,121,361,00

)3(20

120

)3(20

12=-===?????

??

?=-=-=+=D C B A D A C C B A , 所以方程的通解为)3cos 33(sin 36

1

3sin 3cos 21t t t t t c t c x -+

+=. (18)t te x x x t

cos 22=+'-''.

解 特征方程0222

=+-λλ有根i ±=12,1λ.

设方程有特解]sin )(cos )[(~t D Ct t B At te x t

+++=,代入方程,得

t t t B C At t D A Ct cos sin )](24[cos )](24[=-+-++,

解出4

1,0=

===C B D A . 所以方程的通解为)sin (cos 4

1)sin cos (21t t t te t c t c e x t

t

+++=. (19).t

x x 3

sin 1

=

+''. 解 特征方程012

=+λ有根i ±=2,1λ,齐次线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=.

用常数变易法.设t t c t t c x sin )(cos )(21+=为原方程的解,代入得关于)(,)(21

t c t c ''的方程组,

????

?='+'-=+'t t t c t t c t t c t t c 32121

sin 1cos )(sin )(0sin )(cos )(,得到???

????='-='t t t c t

t c 3221sin cos )(sin 1)( , 所以,

??

?

?

?'+-=+=2

2

211sin 21)(cot )(c t t c c t t c , 原方程通解t

t

t c t c t t c t t c t x sin 22cos sin cos sin )(cos )()(2

121+'+=+=

t

t c t c t t c t c sin 21

sin cos sin 21sin )1(cos 212

1++=+-'+=. (20)t

x x sin 11-

=+''. 解 由上题,齐次线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=.

设非齐线性方程的解为t t c t t c x sin )(cos )(21+=,代入得关于)(,)(21t c t c ''的方程组,

??

?

??-='+'-=+'t t t c t t c t t c t t c sin 11cos )(sin )(0sin )(cos )(2121

,解出??

?-='-='t t t c t t c cot cos )(sin 1)(21 , 所以,

??

?+-=++=22

1

1sin ln sin )(cos )(c t t t c c t t t c , 原方程通解为

1sin ln sin cos sin cos sin )(cos )()(2121+-++=+=t t t t t c t c t t c t t c t x .

3. (1)02

=-'+''x x t x t .

解 这是Euler 方程,设k

t x =,得到k 应满足方程01)1(=-+-k k k ,得12,1±=k ,所以方程的通解为x

c x c y 2

1+

=, (2)求方程t x x t x t =+'-''642

的通解.

解 先求齐线性方程0642

=+'-''x x t x t 的通解,设k

t x =,得到k 应满足的方程

064)1(=+--k k k ,得3,221==k k ,故齐线性方程的通解为3221t c t c x +=.

用常数变易法解原非齐线性方程,设3

221)()(t t c t t c x +=,得)(,)(21

t c t c ''应满足方程组

??

???='+'='+'t t c t t c t t t c t t c 1)(3)(20

)()(22

1

3221,

得到

???

???

?='-='

322

11)(1)(t t c t t c , 所以,

???

???

?+-=+=2221121)(1)(c t t c c t

t c , 因而原方程通解为 2

3

22

1t

t c t c x +

+=. (3)求方程t t x x t x t ln 22

=+'-''的通解.

解 先求齐线性方程022

=+'-''x x t x t 的通解,设k

t x =,得到k 应满足的方程

02)1(=+--k k k ,得i k ±=12,1,故齐线性方程022=+'-''x x t x t 的通解为

)]sin(ln )cos(ln [21t c t c t x +=,设原方程的解为)sin(ln )()cos(ln )(21t t tc t t tc x +=,得)(,)(21

t c t c ''应满足方程组, ??

???=+'+-'='+',ln ]cos(ln ))[sin(ln ()]sin(ln ))[cos(ln (,0)sin(ln )()cos(ln )(2121

t t t t t c t t t c t t t c t t t c 解出

???

???

?='-='

,)cos(ln ln 1)(,)sin(ln ln 1)(21t t t t c t t t

t c 故有

??

?++=+-=,

)cos(ln )sin(ln ln )(,

)sin(ln )cos(ln ln )(2211c t t t t c c t t t t c 所以原方程通解为]ln )sin(ln )cos(ln [1t t c t c t x ++=.

4. *(1)求方程0)0()0(,693='==+''x x e

x x t

的解.

解 对方程两边施行Laplace 变换,有

)9(3)3(31)9)(3(6)(36)(9)(2

22+--=+-=?-=

+s s

s s s s X s s X s X s , 所以方程的通解为t t e t x t 3sin 3

1

3cos 3131)(3--=

. (2)求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 的解. 解 对方程两边施行Laplace 变换,有1

2

)(1)(2

3

4

-=

+----s s X s s s s X s ,所以1

1

)(-=

s s X ,得到t e t x =)(. 27.试解第一章§1.1例3中C L R --电路方程

02

2=++LC I

dt dI L R dt

I d . 解 特征方程01

2

=+-

LC

L R λλ有根2

42

222,1LC L R R

-

±-=λ. ⅰ)若0422=+LC L

R ,即42C

R L =时,特征方程有重根L R 22,1-=λ,这时通解为

t

L R

e

t c c I 221)(-

+=;

ⅱ)若0422>+LC L

R ,即42C

R L <时,特征方程有两个不相等的实根 LC

L R L R 4

2122

22

,1-±-=λ, 则方程的通解为t LC

L R L R t LC

L R L R e

c e

c I )4

212(2)4212(12222---

-+-

+=;

ⅲ)若0422<+LC L

R ,即42C

R L >时,特征方程有共轭复根 i LC

L R L R 42122

22

,1-±-=λ 则方程的通解为)4

21sin()421cos([222

2212t LC

L R c t LC L R c e

I L

R

-+-=-. 5.火车沿水平的道路运动.火车的重量是P ,机车的牵引力是F ,运动时的阻力

bV a W +=,其中b a ,是常数,而V 是火车的速度;s 是走过的路程.试确定火车的运动

规律,设0=t 时0,0==V s .

解 由Newton 第二定律,2

2)(dt

s

d g P bV a F =+-,即P g a F dt ds P bg dt s d )(22-=+. 特征方程为02

=-

λλp

bg

,得P bg -==21,0λλ,取At s =~代入方程有b a F A -=,所以方程的通解为t b

a

F e

c c s t P

bg

-+

+=-21. 由0)0()0(='=s s 得,?????=-+-=+0,0221b a

F c P gb c c ,则有???

?

???-=--=22

21

)(,)(gb a F P c gb a F P c ,故满足条件的解为)1()(2

t P bg

e gb

a F P t

b a F s -----=,此即为火车运动规律. 6 设)(t ?是方程)(2t f x k x =+''的解,其中k 为常数,函数)(t f 于+∞<≤t 0连续,试证:

⑴当0≠k 时能够选择常数21,c c 的值,使得

ds s f s t k k

kt k c kt c t t

)()(sin 1sin cos )(021-++

=??(+∞<≤t 0);

⑵当0=k 时方程的通解可表为

?-++=t

ds s f s t t c c x 0

21)()(,

(+∞<≤t 0), 其中21,c c 为任意常数.

证明 ⑴ 由于常系数线性微分方程的通解即所有解,因而只须证明0≠k 时方程

)(2

t f x k x =+''的通解为ds s f s t k k kt k c kt c x t

)()(sin 1sin cos 0

21-++=?(+∞<≤t 0)

即可.

由于特征方程为02

2

=+k λ,特征值ki ±=2,1λ故对应齐线性方程通解为

kt c kt c x sin cos 21+=.

设非齐线性方程的解为kt t c kt t c x sin )(cos )(21+=,则得)(),(21

t c t c ''应满足的方程组

??

?='+'-='+',)(cos )(sin )(,0sin )(cos )(21

21

t f kt t c k kt t c k kt t c kt t c 即???????='-='kt t f k t c kt t f k t c cos )(1)(,sin )(1)(21,得到???

????+=+-=??k c ksds s f k t c c ksds s f k t c t t 2

02101cos )(1)(,sin )(1)(,

所以原方程通解为

kt t c kt t c x sin )(cos )(21+=

kt ksds s f k kt ksds s f k kt k c kt c t

t sin cos )(1cos sin )(1sin cos 0

021?+?-+

=?? =?-++t

ds s f s t k k kt k c kt c 0

21)()(sin 1sin cos ,+∞<≤t 0. ⑵ 当0=k 时特征方程为02

=λ,特征根为02,1=λ(二重),对应齐次方程的解通解

为t c c x 21+=.

设方程的解为t t c t c t x )()()(21+=,则得)(,)(21

t c t c ''应满足方程组 ???='='+')()(,0)()(221t f t c t t c t c ,即???='-='t t f t c t t f t c )()(,)()(21 ,得??

???+=+-=??2

0210

1)()(,

)()(c ds s f t c c ds s sf t c t

t , 所以原方程通解为t c ds s f c ds s sf t t c t c x t

t

))((

)()()(20

10

21+++-=+=?

?

??

+-+=t

t

ds s f t ds s sf t c c 0

021)()(

?-+

+=t

ds s f s t t c c 0

21)()(,+∞<≤t 0.

§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法

习题4.3

求解下列方程(1-6):

1.x x '=''21(这里22,dt

x

d x dt dx x =''=',以下同).

解 设p x =',则原方程化为p

p 21

=

',得12c t p +=,即1c t dt dx +±=,所以有231)(3

2

c c t x ++±

=. 2.0)()(32='+'-''x x x x . 解 设p x =',则dx dp p dt dx dx dp dt dp x =?==

'',代入方程得032=+-p p dx

dp xp ,即0)(2=+-p p dx

dp

x

p . 由0=p ,得c x =. 由02=+-p p dx dp x

,变形得02=+-dx p pdx xdp ,或dx p

pdx xdp -=-2,即有dx p x d =)(,从而1c x p x +=,或1c x x p +=,即1c x x

dt dx +=,解出t c x c x =++21ln . 3.0)(12

2='-+

''x x

x . 解 设y x =',则dt dx y x ='',代入方程得012

2=--y x

dx dy y

.若0=y 得c x =.由012=--y x dx dy ,得21)1(-=x c y ,即21)1(-=x c dt dx ,解出211

1c t c x +-=-. 4.0)(12

='-+''x x .

解 设p x =',则原方程化为012

=-+'p p ,解出1a r c s i n c t p +-=,即

)s i n (1t c p -=,因此

)sin(1t c dt

dx

-=, 所以21)cos(c t c x +-=. 另有特解1)(2

='x ,即c t x +±=.

5.0])(1[2

3

2='-+''x x a (常数0≠a ).

解 设p x =',则原方程化为0)1(23

2=++p dt dp a ,得出1211c t a p p +-=+, 所以21

)

1(11

c t a

c t a p '--'-±=,即221)(c a t a c a t dt dx '--'-±=,解出 2212)(c c t a x +--±=,即2

2

12

2)()(a c t c x =-+-.

6.0)(1

2

='+'-''x x t

x (提示:方程两边除以x ').

解 由原方程可化为

01

='+-'''x x t

x x ,得c x t x ln ln ln =+-',所以ct e x x =',即ctdt dx e x =,由此得到)2

1

(,1221c c c t c e x =+=.

用幂级数解法求解下列方程(7-9): 7.0=+'+''x x t x ,1)0(,0)0(='=x x . 解 设∑∞

==

n n

n t

a x ,则∑∞

=-=

'1

1

n n n

t

na x ,∑∞

=--=

''2

2

)1(n n n

t

a n n x ,且由初始条件知

1,010==a a ,代入原方程有

0)1(0

1

1

2

2

=++-∑∑∑∞

=∞

=-∞

=-n n n n n n n n n

t a t

na t t

a n n ,

比较同次幂系数,有

,0445,0334,0223,01235241302=+?=+?=+?=+?a a a a a a a a , )2(,0)1()1(2≥=-+--n a n a n n n n

所以, ,3

51

,0,31,0,1,0543210?==-

====a a a a a a , !

)!12()1(35)12)(12()1(,01

22+-=

?-+-==+k k k a a k

k k k ,),2,1,0( =k 故初值问题的解为 1

20

!)!12()1(+∞

=∑+-=k k k t k x .

8.0='+''x t x ,0)0(,1)0(='=x x . 解 设∑∞

==

n n

n t

a x ,且由初始条件知0,110==a a ,所以

+++++=n n t a t a t a x 33221, ++++='-123232n n t na t a t a x , +-++?+=''-232)1(232n n t a n n t a a x ,

代入原方程并比较同次幂系数,得

,045,034,0123,0225432=-?=?=-?=a a a a a ,

)3(,0)1(3≥=---n a a n n n n

所以 ,2

3561,0,0,321,0,65432???===?=

=a a a a a ,对于任意N k ∈,k

k a a a k k k 3)13(65321

,0,032313?-???=

==++ ,

故方程的解为 k

k t

k k x 31

3)13(65321

1∑∞

=?-???+

= .

9. 0=-'-''x x t x . 解 设∑∞

==

n n

n t

a x ,则∑∞

=-=

'11

n n n

t

na x ,∑∞

=--=

''2

2

)1(n n n

t

a n n x ,代入原方程有

0)1(1

1

2

2=---∑∑∑∞

=∞

=-∞

=-o

n n n n n n n n n

t a t

na t t

a n n ,

比较同次幂系数,有n n a n a 2

1

2+=+),2,1,0( =n 所以,

0204022

)22(21,,241,21a k k a a a a a k -=?==

, 1121513!

)!12(1

,,351,31a k a a a a a k +=?==+ ,),2,1,0( =k

代入得原方程的通解1201200!)!

12(1

!)!2(1+∞

=∞

=∑∑++=k k k k t k a t k a x (其中10,a a 是任意常数)

. 10.求解Bessel 方程0)41

(2

2=-+'+''x t x t x t (提示π=Γ)2

1().

解 这是21

=

n 阶Bessel 方程,通解为)()(2

12211t J c t J c x -+=

其中,21

20121

2021)2(!)!12(!2)1()2()

12

1(!)1()(+

=++∞

=∑∑+-=++Γ-=k k k k k k k x k k x k k t J π t t

k t t k k k t t k k k k k k k sin 2)!12()1(22!!)!2()!12()1(2012012πππ=+-=+-=∑∑∞=+∞=+, (π1

12

!

)!12()21(2!)!12()121(+++=Γ+=

++Γk k k k k )

t

t k k t k k t J k k

k k k k k k 22!)!12(!2)1()2()

12

1(!)1()(22021

2021∑∑∞

=-∞

=---=++-Γ-=π t t

k t t k k k t t k k k k k k k c o s 2

)!2()1(22!!)!2()!2()1(20202πππ=-=-=∑∑∞=∞=, (πk

k k k k 2!

)!12()21(2!)!12()121(-=Γ-=++-

Γ) 所以原方程的通解为)cos sin (2

21t c t c t

x +=

π. 11.一个物体在大气中降落,初速度为0,空气阻力与速度的平方成正比例,求该物体的运动规律.

解 设该物体的质量为m ,运动函数为)(t x x =,阻力与速度x '的平方2)(x '成正比,设比例系数为k ,则有2)(x k mg x m '-='',初始条件0)0()0(='=x x .

设y x =',则2ky mg y m -=',分离变量得

dt m

k

y k m g dy =

-???

? ??22

, 所以

11c t m

k

k

mg y arth

k

mg +=

.由 0)0(=x ,得 01=c ,因此 )(t m

kg th k mg y =

, 即

)(t m kg th k mg dt

dx = ,积分得2)](ln[c t m

kg

ch k m x +=,由0)0(=x 得02=c . 得到物体的运动规律为)](ln[t m

kg

ch k mg x =

. 12.试证:对于二阶齐线性方程0)()(2

=+'+''x t q x t p x t ,其中)(),(t q t p 为连续函数. ⅰ)若)()(t tq t p -≡,则t x =是方程的解;

ⅱ)若存在常数m 使得0)()(2

≡++t q t mp m ,则方程有解mt

e x =.

证明 ⅰ)若)()(t tq t p -≡,则将t x =代入方程得到,左边=≡+=0)()(t t q t p 右边,

常微分方程习题及答案

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7.y 1 = 所满足的微分方程是 。

8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+x dy y dx 的通解为 。 10.()2511 2+=+-x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .2 2x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?= C .()x b x a x y cos sin *+= D . x b x a y sin cos *+= 9.下列微分方程中,( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程课后答案

习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解; 解: 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解; 解: 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题: ?????=-=0 )1(2y x dx dy R :1+x ≤1,y ≤1 的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计; 解: 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则:误差估计为:)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程:31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件, 并求通过点(0,0)的一切解; 解:因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续; 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有:y =(x+c )23 又 因为y(0)=0 所以:y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解; 故 方程的解为:y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式: 设K 为非负整数,f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数,

常微分方程四、五章作业答案 (1)

《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1.证明:由题可知()t x 1,()t x 2分别是方程(1),(2)的解 则:()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ (3) ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ (4) 那么由(3)+(4)得: ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2.(1)特征方程为:42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为:221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ (2)特征方程为:5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-,其中10λ=是三重根 原方程通解为:22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ (3)特征方程为: 22100λλ++= 特征根为:1,213i λ=-± 通解为:12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ (4)原方程对应的齐线性方程的通解为: 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为:2()x t At Bt C =++ 代入方程有: 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1. dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解: y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y= | )1(|ln 1 +x c 3.dx dy =y x xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为: tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分课后答案第一章培训讲学

常微分课后答案第一 章

第一章 绪论 §1.1 微分方程:某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程是否线性的: (1)y x dx dy -=24; (2)012222=+?? ? ??-xy dx dy dx y d ; (3)0322 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy ; (4)x xy dx dy dx y d x sin 3522=+-; (5)02cos =++x y dx dy ; (6)x e dx y d y =+??? ? ??22sin . 解 (1)一阶线性微分方程; (2)二阶非线性微分方程; (3)一阶非线性微分方程; (4)二阶线性微分方程; (5)一阶非线性微分方程; (6)二阶非线性微分方程. 2.试验证下面函数均为方程0222=+y dx y d ω的解,这里0>ω是常数.

(1)x y ωcos =; (2)11(cos C x C y ω=是任意常数); (3)x y ωsin =; (4)22(sin C x C y ω=是任意常数); (5)2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数); (6)B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数). 解 (1)y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=,所以0222=+y dx y d ω,故x y ωcos =为方程的解. (2)y x C y x C y 2 211cos ,sin ωωωωω-=-=''-=',所以0222=+y dx y d ω,故x C y ωcos 1=为方程的解. (3)y x dx y d x dx dy 2222sin ,cos ωωωωω-=-==,所以0222=+y dx y d ω,故x y ωsin =为方程的解. (4)y x C y x C y 2 222sin ,cos ωωωωω-=-=''=',所以0222=+y dx y d ω,故x C y ωsin 2=为方程的解. (5) y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-=',所以0222=+y dx y d ω,故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解. (6)y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+=',故 0222=+y dx y d ω,因此)sin(B x A y +=ω为方程的解.

传热学第四版课后题答案第五章

第五章 复习题 1、试用简明的语言说明热边界层的概念。 答:在壁面附近的一个薄层内,流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化,而在此薄层之外,流体的温度梯度几乎为零,固体表面附近流体温度发生剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层。 2、与完全的能量方程相比,边界层能量方程最重要的特点是什么 答:与完全的能量方程相比,它忽略了主流方向温度的次变化率,因此仅适用于边界层内,不适用整个流体。 3、式(5—4)与导热问题的第三类边界条件式(2—17)有什么区别 答:(5—4)(2—11) 式(5—4)中的h是未知量,而式(2—17)中的h是作为已知的边界条件给出,此外(2—17)中的为固体导热系数而此式为流体导热系数,式(5—4)将用来导出一个包括h的无量纲数,只是局部表面传热系数,而整个换热表面的表面系数应该把牛顿冷却公式应用到整个表面而得出。 4、式(5—4)表面,在边界上垂直壁面的热量传递完全依靠导热,那么在对流换热中,流体的流动起什么作用 答:固体表面所形成的边界层的厚度除了与流体的粘性有关外还与主流区的速度有关,流动速度越大,边界层越薄,因此导热的热阻也就越小,因此起到影响传热大小 5、对流换热问题完整的数字描述应包括什么内容既然对大多数实际对流传热问题尚无法求得其精确解,那么建立对流换热问题的数字描述有什么意义 答:对流换热问题完整的数字描述应包括:对流换热微分方程组及定解条件,定解条件包括,(1)初始条件(2)边界条件(速度、压力及温度)建立对流换热问题的数字描述目的在于找出影响对流换热中各物理量之间的相互制约关系,每一种关系都必须满足动量,能量和质量守恒关系,避免在研究遗漏某种物理因素。 基本概念与定性分析 5-1 、对于流体外标平板的流动,试用数量级分析的方法,从动量方程引出边界层厚度的如下变化关系式: 解:对于流体外标平板的流动,其动量方程为: 根据数量级的关系,主流方的数量级为1,y方线的数量级为 则有 从上式可以看出等式左侧的数量级为1级,那么,等式右侧也是数量级为1级,为使等式是数量级为1,则必须是量级。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.

常微分课后答案解析第二章

第一章 绪论 § 微分方程:某些物理过程的数学模型 § 基本概念 习题 1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程是否线性的: (1) y x dx dy -=24; (2)0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ; (3)0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ; (4)x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-; (5) 02cos =++x y dx dy ; (6)x e dx y d y =+??? ? ??22sin . 解 (1)一阶线性微分方程; (2)二阶非线性微分方程; (3)一阶非线性微分方程; (4)二阶线性微分方程; (5)一阶非线性微分方程; (6)二阶非线性微分方程. 2.试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解,这里0>ω是常数. (1)x y ωcos =; (2)11(cos C x C y ω=是任意常数); (3)x y ωsin =; (4)22(sin C x C y ω=是任意常数); (5)2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数); (6)B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数).

解 (1)y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=,所以02 2 2=+y dx y d ω,故x y ωcos =为方程的解. (2)y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-=',所以0222=+y dx y d ω,故 x C y ωcos 1=为方程的解. (3)y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==,所以022 2=+y dx y d ω,故x y ωsin =为方程的解. (4)y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωsin 2=为方程的解. (5)y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-=', 所以022 2=+y dx y d ω,故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解. (6)y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+=',故02 2 2=+y dx y d ω,因此)sin(B x A y +=ω为方程的解. 3.验证下列各函数是相应微分方程的解: (1)x x y sin = ,x y y x cos =+'; (2)212x C y -+=,x xy y x 2)1(2 =+'-(C 是任意常数); (3)x Ce y =,02=+'-''y y y (C 是任意常数); (4)x e y =,x x x e ye y e y 2212-=-+'-; (5)x y sin =,0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ; (6)x y 1- =,12 22++='xy y x y x ; (7)12 +=x y ,x y x y y 2)1(2 2 ++-=';

常微分方程期末考试练习题及答案

一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知

常微分方程习题及评分标准答案

常微分方程分项习题 一、选择题(每题3分) 第一章: 1.微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为( ) (A )1y =和1y x =- (B )0y =和1y x =- (C )0y =和1y x =+ (D )1y =和1y x =+ 第二章: 2.下列是一阶线性方程的是( ) (A )2 dy x y dx =- (B )232()0d y dy xy dx dx -+= (C )22( )0dy dy x xy dx dx +-= (D )cos dy y dx = 3.下列是二阶线性方程的是( ) (A )222d y dy x x y dx dx +=- (B )32()()0dy dy xy dx dx -+= (C )2 (1)0dy x xy dx +-= (D )22cos cos d y y x dx = 4.下列方程是3阶方程的为( ) (A )'23y x y =+ (B )3 ( )0dy xy dx += (C )3223()0dy d y x y dx dx +-= (D )3cos dy y dx = 5.微分方程43( )()0dy dy dy x dx dx dx +-=的阶数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 6.方程2342()20dy d y x y dx dx +-=的阶数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 7.针对方程 dy x y dx x y -=+,下列说法错误的是( ). (A )方程为齐次方程

(B )通过变量变换y u x = 可化为变量分离方程 (C )方程有特解0y = (D )可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8.针对方程2sin (1)y x y '=-+,下列说法错误的是( ). (A )为一阶线性方程 (B )通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 (C )方程有特解12 y x π =++ (D )方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9.伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(+=,它有积分因子为( ) (A )(1)()n P x dx e -? (B )()nP x dx e ? (C )(1)()n P x dx xe -? (D )()nP x dx xe ? 10.针对方程 2(cos sin )dy y y x x dx +=-,下列说法错误的是( ) . (A )方程为伯努利方程 (B )通过变量变换2z y =可化为线性方程 (C )方程有特解0y = (D )方程的通解为1 sin x y Ce x =- 11.方程 2()dy y xf dx x =经过变量变换( )可化为变量分离方程。 (A )u xy = (B )y u x = (C )2y u x = (D )2u x y = 12.方程2()dy x f xy dx =经过变量变换( )可化为变量分离方程。 (A )u xy = (B )y u x = (C )2y u x = (D )2u x y = 13.微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是( ) (A )可分离变量方程 (B )线性方程 (C )全微分方程 (D )伯努利方程 14.针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是( ) (A )不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 (B )设'2y yt -=,原方程消去'y 后可求解

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1.dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=| )1(|ln 1+x c 3.dx dy =y x xy y 32 1++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2e x 3

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 。 故特解是 时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解:原式可化为:

x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+) 故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解:变量分离:。 代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离,得 两边积分得:解:变量分离,得::也是方程的解。 另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为: 解:令:。两边积分得:变量分离,得:则令解:

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1. dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2. dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3. dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解:s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为: dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5. dx dy + 1212 --y x x =0 解:原方程可化为: dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 2 3 4xy x x += 解: dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此:dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 (*) 将 x y u =带入 (*)中 得:3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第5章答案

1.给定方程组 x = x x= (*) a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组(*)的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)=c u(t)+c v(t)是方程组(*)的满足初始条件w(0)= 的解,其中是任意常数.解:a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题: a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解:a)令x =x, x = x , 得 即 又x =x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题: x =x(1)= 其中x=. b) 令=x ===则得: 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题: = x(0)= , 其中x= . c) 令w =x,w =,w =y,w =y ,则原初值问题可化为: 且 即w w(0)= 其中w= 3. 试用逐步逼近法求方程组 =x x= 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.

常微分方程第三版的课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得:e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 。 故特解是 时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解:原式可化为: x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+) 故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解:变量分离:。 代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离,得 两边积分得:解:变量分离,得::也是方程的解。 另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为: 解:令:。两边积分得:变量分离,得:则令解:

理论力学课后答案第五章(周衍柏)

第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理理解平衡问题,有何优点和缺点? 5.2 为什么在拉格朗日方程中,a θ不包含约束反作用力?又广义坐标与广义力的含义如何?我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ?为什么a p 比a q 更富有意义? 5.4既然 a q T ??是广义动量,那么根据动量定理,??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ?为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项?你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系?如为不完整系,能否由式()13.3.5得出式 ()14.3.5? 5.6平衡位置附近的小振动的性质,由什么来决定?为什么22s 个常数只有2s 个是独立的? 5.7什么叫简正坐标?怎样去找?它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动? 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力,那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同?能否列出它们的微分方程? 5.9 dL 和L d 有何区别? a q L ??和a q L ??有何区别? 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗?为什么?能适用于非保守系吗?为什么? 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数?在什么情况下是总能量?试祥加讨论,有无是总能量而不为常数的情况? 5.12何谓泊松括号与泊松定理?泊松定理在实际上的功用如何? 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的?为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外?又全变分符号?能否这样? 5.14正则变换的目的及功用何在?又正则变换的关键何在? 5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在?试简述次理论解题时所应用的步骤. 5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何?我们能否用一正则变换由前者得出后者? 5.17在研究机械运动的力学中,刘维定理能否发挥作用?何故?

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1.dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2.dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3.dt ds =-s t cos +21t 2sin 解:s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为:dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5. dx dy +1212--y x x =0 解:原方程可化为:dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 234xy x x += 解:dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此:dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 (*) 将x y u =带入 (*)中 得:3433cx x y =-是原方程的解.

相关文档
相关文档 最新文档