因式分解方法的拓展

第二讲分解方法的拓展

一、换元法和主元法

【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x =．

思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．

【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．

A ．(y －z)(x+y)(x －z)

B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)

C ． (y+z)(x 一y)(x+z)

D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)

思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．

【例3】把下列各式分解因式：

(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；

(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．

【例4】把下列各式分解因式：

(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．

练习

1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．

2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12=．

3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=．

4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．

5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）．

A ．)1)(3(22-+x x

B ．)3)(1(22-+x x

C ．)1)(1)(3(2+-+x x x

D ．)3)(3)(1(2+-+x x x

6．下列5个多项式：

①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④

)(6)(3m n n n m m -+-；⑤x x 4)2(2+-

其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．

A ．①、②、③

B ．②、③、④

C ．①③、④、⑤

D ．①、②、④

7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．

A ．2727923-+-x x x

B ．272723-+-x x x

C ．272734-+-x x x

D ．279323-+-x x x

8．若51

-=+b a ，13=+b a ，则53

912322+++b ab a 的值为( )．

A ．92

B ．32

C ．54

D ．0

9．分解因式

（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；

(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；

(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．

10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x =．

11．分解因式：22635y y x xy x ++++=．

12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----=．

14．613223+-+x x x 的因式是( )

A ．12-x

B ．2+x

C ．3-x

D ．12+x

E ．12+x

15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M

B ．M> N

C ．M ＝N

D ．不能确定

16．把下列各式分解因式：

(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ；

(3)2)1()21

(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ；

(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-； (5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．

17．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)． 求证：b c a 2=+

二、配方法与待定系数法

【例1】分解因式：344422-+--y y x x =．

【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．

A ．7

B ．8

C ．15

D ．2l

【例3】把下列各式分解因式：

(1)1724+-x x ；（2）22412a ax x x -+++；

(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (4)1232234++++x x x x

【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?

1．44+a d 分解因式的结果是（）

A ．)22)(22(22+--+a a a a

B ．)22)(22(22---+a a a a

C ．)22)(22(22--++a a a a

D ．)22)(22(22+-++a a a a

2．把下列各式分解因式：

(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++；

(3)2222)()1(x x x x ++++（4）))((4)(2b a c b a c ----；

(5)893+-x x ；（6）65223--+x x x

3．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．

4．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝．

5．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是．

6、(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；

(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；

（3）计算：)

41

9)(417)(415)(413)(411()

41

10)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++

因式分解方法的拓展

第二讲分解方法的拓展 一、换元法和主元法 【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x =． 思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构． 【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．(y －z)(x+y)(x －z) B ．(y －z)(x －y)(x ＋z) C ． (y+z)(x 一y)(x+z) D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) 思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口． 【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． 【例4】把下列各式分解因式： (1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6． 练习 1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12=． 3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=． 4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为． 5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）． A ．)1)(3(22-+x x B ．)3)(1(22-+x x C ．)1)(1)(3(2+-+x x x D ．)3)(3)(1(2+-+x x x 6．下列5个多项式： ①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④ )(6)(3m n n n m m -+-；⑤x x 4)2(2+-

因式分解专项练习题(含答案)

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．

因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

因式分解拓展练习

因式分解应用宝典 因式分解是中学数学的重要内容之一，不但在我们平时的考试中经常考到它，就是在各级各类数学竞赛题中都能看到用因式分解求解的题目．下面举例说明因式分解在以下几个方面的应用． 一、 计算 例1．计算： 9421715(981)2(33)8+?+?． 解：原式=181621621715152(33)23(31)4(33)83(31)8+?+?=+?+?=32 1、计算： 123369510157142113539155152572135 ??+??+??+????+??+??+??． 二、求值 例2.若1x y +=-，则4325x x y x y ++228x y +2345xy xy y +++的值等于（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．3 解：原式=432234(464)x x y x y xy y +++++322322 (2)()x y x y xy x y xy ++++ =42()()()x y xy x y xy x y +++++ 把1x y +=-代入上式，得：原式=4(1)1xy xy -+-= 所以，选C ． 2、若正数,,a b c 满足ab a b bc b c ++=++=ca c a ++=3，则(1)(1)(1)a b c +++=_____. 三、 确定方程的整数解 例3、如果,x y 是整数，且22200420051x xy y +-=，那么x =_____, y =______. 解：由已知方程得：()(2005)1x y x y -+= 因为x 和y 都是整数,所以有：1,20051x y x y -=+= 或1,20051x y x y -=-+=- 解得1,0x y == 或1,0x y =-= 3、若,x y 是非负整数，那么满足方程225y +=2x 的解有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 四、判断整除性问题 4、已知96 21-能够被在60至70之间的两个数整除，则它们是 （ ） A ．63，61 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，67 解：因为 96484848242421(21)(21)(21)(21)(21)-=+-=++- 48241212(21)(21)(21)(21)=+++-48241266(21)(21)(21)(21)(21) =++++-482412(21)(21)(21)6563=+++?? 所以，9621-能被63，65两个数整除．所以，选C ． 4、已知24 71-可被40至50之间的两个数整除，则这两个整数是 （ ） A ．41，48 B ．45，47 C ．43，48 D ．41，47 五、比较代数式的大小

(完整)因式分解练习题精选(含提高题)

因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）

因式分解方法的拓展.docx

第二讲 分解方法的拓展 一、换元法和主元法 【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ． 思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构． 【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．(y －z)(x+y)(x －z) B ．(y －z)(x －y)(x ＋z) C ． (y+z)(x 一y)(x+z) D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) 思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口． 【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． 【例4】把下列各式分解因式： (1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6． 练习 1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ． 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ． 3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． 4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ． 5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（ ）． A ．)1)(3(22-+x x B ．)3)(1(22-+x x C ．)1)(1)(3(2+-+x x x D ．)3)(3)(1(2+-+x x x 6．下列5个多项式： ①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④ )(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-

家家学网络名师小班辅导教案-因式分解拓展篇

板块一：换元 【例1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。 重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。 习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。 重、难点 中考要求 例题精讲 第四讲 因式分解拓展篇

【例2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22 x x x x ++++- (52)(53)12 【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15 +++++ x x x x 【巩固】分解因式：22 ++++- (1)(2)12 x x x x 【例3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方． 【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4 +++++是一个完全平方数. 234 x y x y x y x y y 【例4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2 +--- (25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22 ++++- x x x x (32)(384)90 【例5】分解因式：2222 x x x x x x --+--+- 4(31)(23)(44) 【巩固】分解因式：2 a b ab a b ab +-+-+- (2)(2)(1) 【例6】 (重庆市竞赛题)分解因式：44 +-+- (1)(3)272 x x

【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++- 板块二：因式定理 因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p c q =的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 【例7】 分解因式：32252x x x --- 【巩固】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++ 【巩固】 分解因式：322392624x x y xy y -+- 【例8】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++- 【巩固】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+ 板块三：待定系数法 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++ 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =. 【例9】 用待定系数法分解因式：51x x ++

拓展课：因式分解中的拆项、添项法

拓展课： 因式分解中的拆项、添项法 教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。 2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和 注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想. 3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力. 教学重点：拆项和添项的技巧。 教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。合理、有效的选择因式分 解的方法. 教学过程： 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简 常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为 零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合 相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式 能用分组分解法进行因式分解． 例1 分解因式： )22)(22() 22)(22(4)2(4444 )1(22222 222 244+-++=-+++=-+=-++=+x x x x x x x x x x x x x x 试一试：444 1y x + 例2 分解因式： x 3-9x+8． 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法， 注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ．

原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法2 添加两项-x 2+x 2． 原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)． 解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3． 原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)． 注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 练习：1、1724+-x x 2、 343+-a a 自主评价和小结： 分解因式 3、4224b b a a ++ 4、12234++++x x x x ； 、； 、作业： 132412444+-+x x y x

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值

因式分解练习题精选

一、填空： 1. 若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2. 22)(n x m x x -=++则m =____ n =____ 3. 若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 4. _____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 5. 若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 6. 若6,422=+=+y x y x 则=xy ___ 。 二、选择题： 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=-12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、2 1， B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式： 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、22414y xy x +-- 4、13-x

初一数学乘法公式、因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题1．已知（x﹣2015)2+（x﹣２0１7)2=３4,则(x﹣２01６)２的值是( ) A．4?B.8 C.１2?D.16 2.已知:a=2014x+２０15，ｂ=2０14x+201６，c＝2014x+2０1７,则ａ2+b2+c2﹣aｂ﹣ac﹣ｂc的值是（) Ａ．０?Ｂ.1?Ｃ．2?D．3 3.已知甲、乙、丙均为ｘ的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为ｘ2+15ｘ﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?(） A.2x＋19?B．2x﹣19?C．2x+15?Ｄ．２ｘ﹣1５ ４.若x２+ｍx＋k是一个完全平方式，则k等于（） A.m2?Ｂ．m2 C.m2?D．m2 ５．ｎ是整数，式子[1﹣（﹣1）n］（n2﹣１）计算的结果（) Ａ．是0? B.总是奇数 C.总是偶数?D.可能是奇数也可能是偶数 6.已知ａ+b=３，ab=﹣2，则a2＋b2的值是． 7．分解因式:a3﹣4ａ2b+4ab2＝. ８.分解因式：x3﹣xy2＝. 9．如果(x2＋p)（x2+7)的展开式中不含有x2项,则p= . 10．已知a＋ｂ=８,a2b2=4，则﹣ab= ． 11.观察下列各式的规律: (ａ﹣ｂ）（ａ+b)＝a2﹣b２ （ａ﹣ｂ)（ａ2+aｂ+b2)=a3﹣b3 （a﹣b)（a3+a2ｂ＋ab2＋b3)＝ａ4﹣b４ …可得到(a﹣b)（ａ２016+a2０15ｂ＋…+aｂ2０１5+ｂ２016）=_____＿___＿＿____＿．１2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了（a+b）n(n＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按ａ的次数由大到小的顺序)： 请依据上述规律，写出(x﹣)2016展开式中含x2014项的系数是________＿. 13．观察下列等式： 1+2+3+4+…+ｎ＝n(ｎ+1); 1+3+６+10＋…+n(ｎ+1)=n（ｎ＋１）(n+２);

(完整版)因式分解-提取公因式练习题

因式分解练习题 (提取公因式) 知识点一 因式分解的定义理解 把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。因式分解的实质是（ ）与（ ）是“积化和差”的过程正好（ ）。 【例题 】 1．下列变形是分解因式的是( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、2222)1(xy y x x xy -=- B 、)3)(3(92-+=-x x x C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- D 、c b a x c bx ax ++=++)( 3、下列分解因式结果正确的是( ) A. a 2b +7ab －b =b (a 2+7a ) B. 3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2) C. 8xyz －6x 2y 2=2xyz (4－3xy ) D. －2a 2+4ab －6ac =－2a (a －2b －3c ) 知识点二：确定多项式的公因式的方法 1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、找公因式的方法 【例题】 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2 410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-

初一数学乘法公式因式分解拓展题

初一数学乘法公式、因式分解拓展题 1．已知（x﹣2015）2+（x﹣2017）2=34，则（x﹣2016）2的值是（） A．4 B．8 C．12 D．16 2．已知：a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac ﹣bc的值是（） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（） A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15 4．若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（） A．m2B．m2C．m2D．m2 5．n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（） A．是0 B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数 6．已知a+b=3，ab=﹣2，则a2+b2的值是． 7．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2=． 8．分解因式：x3﹣xy2=． 9．如果（x2+p）（x2+7）的展开式中不含有x2项，则p=． 10．已知a+b=8，a2b2=4，则﹣ab=． 11．观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4 …可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=________________． 12．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是_________． 13．观察下列等式： 1+2+3+4+…+n=n（n+1）； 1+3+6+10+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；

八年级数学因式分解拓展提高练习汇总

八年级数学因式分解拓展提高练习汇总 板块一：换元法 例1．分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 例2．分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4 +++++是一个完全平方数. 234 x y x y x y x y y 例4分解因式2 (25)(9)(27)91 +--- a a a 【巩固】分解因式22 ++++- (32)(384)90 x x x x 例5分解因式：2222 x x x x x x --+--+- 4(31)(23)(44) 【巩固】分解因式：2 +-+-+- (2)(2)(1) a b ab a b ab

例6分解因式：272)3()1(4 4 -+++x x 【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++- 板块二：因式定理 因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p c q = 的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---

【巩固】分解因式：65432 ++++++ x x x x x x 234321 【巩固】分解因式：3223 x x y xy y -+- 92624 例8分解因式：32 x a b c x ab bc ca x abc -+++++- ()() 【巩固】分解因式：32 +++-+---+ ()(32)(23)2() l m x l m n x l m n x m n

(完整版)因式分解拓展题及解答(必考题型)

因式分解拓展题解 板块一：换元法 例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得 原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++ 例2分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则 原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则 原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至 连换元都不用，直接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可， 则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-. 【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【解析】 2(2)(6)(810)x x x x ++++ 【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 2(1)(2)(5)x x x x -+++ 例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方． 【解析】 设这四个连续整数为：1x +、2x +、3x +、4x + (1)(2)(3)(4)1x x x x +++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x =+++++22(54)(56)1x x x x =+++++ 24652 u x x +=++ 原式22[(55)1][(55)1]1x x x x =++-++++22(55)11x x =++-+22(55)x x =++ 【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数. 【解析】 ()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++???????? 22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++ 令2254x xy y u ++= ∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++

因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法

因式分解的“八个注意”事项及 “课本未拓展的五个的方法” 一、“八个注意”事项 （一）首项有负常提负 例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。 （二）各项有公先提公 例2因式分解8a4－2a2 解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1) 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误. （三）某项提出莫漏1 例3因式分解a3-2a2+a 解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2 这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。

（四）括号里面分到“底”。 例4 因式分解x 4－3x 2－4 解：x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）＝（x 2＋4）（x ＋1）（x －1） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。 （五）各式之间必须是连乘积的形式 例5 分解因式x 2 －9+8x= 解：x 2－9+8x=x 2 +8x －9=(x －1)(x+9) 这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。 有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x －3)+8x 。结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。正解应是：原式= x 2 +8x －9=(x －1)(x+9) （六）数字因数在前，字母因数在后； 例6因式分解 x x x 2718323+- 解：x x x 2718323+-=3x(x 2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式中不能写成x x x 2718323+-=x3(x 2-6x+9)= x3(x-3)2

人教版-数学-八年级上册 因式分解课后拓展训练

因式分解 1．下列因式分解错误的是 ( ) A ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y ) B ．x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2 C ．x 2＋xy ＝x (x ＋y ) D ．x 2＋y 2＝(x ＋y )2 2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是 ( ) A ．x 2－xy B ．x 2＋xy C ．x 2－y 2 D ．x 2＋y 2 3．把多项式2x 2－8x ＋8分解因式，结果正确的是 ( ) A ．(2x －4)2 B ．2(x －4)2 C ．2(x －2)2 D ．2(x ＋2)2 4．把x 3－2x 2y ＋xy 2分解因式，结果正确的是 ( ) A ．x (x ＋y )(x －y ) B ．x (x 2－2xy ＋y 2) C ．x (x ＋y )2 D ．x (x －y )2 5．若多项式x 2＋pxy ＋qy 2＝(x －3y )(x ＋3y )，则p ，q 的值依次为 ( ) A ．－12，－9 B ．－6，9 C ．－9，－9 D ．0，－9 6．分解因式：(x ＋y )2－3(x ＋y )＝ ． 7．利用因式分解计算2 224825210000-＝ ． 8．分解因式：a 2－b 2－2b －1＝ ． 9．把多项式4－4(a －b )＋(a －b )2分解因式的结果是 ． 10．计算：12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＝ ． 11．分解因式． (1)(x ＋y )2－9y 2； (2)a 2－b 2＋a ＋b ； (3)10b (x －y )2－5a (y －x )2； (4)(ab ＋b )2－(a ＋1)2； (5)(a 2－x 2)2－4ax (x －a )2； (6)(x ＋y ＋z )2－(x －y ＋z )2． 12．已知x －y ＝1，xy ＝2，求x 3y －2x 2y 2＋xy 3的值． 13．已知x －y ＝2，x 2－y 2＝6，求x 与y 的值． 14．先化简，再计算：y x y x --2 2－2x ＋2y ，其中x ＝3，y ＝2．

(完整版)八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)

第一章 因式分解 【经典基础训练】 一、填空：( 30 分) 1、 若x 2 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m 的值等于 _____________ 。 2 2 3 2 6 2、 x x m (x n)则 m =_______ n = ____ 3、2x y 与 12x y 的公因式是 m n 2 2 2 4 4、若 x y =(x y )(x y )(x y )，则 m= __________________ ， n= _______ 。 2 2 2 2 4 2 2 4 5 、 在 多 项 式 m 2 n 2 , a 2 b 2,x 4 4y 2, 4s 2 9t 4 中 ， ，其结果是 A 、 1 个， B 、 2个， C 、 3个， D 、 4个 可以用平方差 公 式 分 解 因 式 的 有 2 6、若 x 2 2(m 3)x 16 是完全平方式， 则 m= 7、 )x 2 (x 2)(x 2 8、已知 1 x x 2 x 2004 x 2005 2006 0, 则 x 2006 2 9、若 16(a b) M 25 是完全平方式 M= 2 。 10 、 6x (x 3)2 ， 9 (x 3)2 11、若9x 2 k y 2是完全平方式，则 k= 2 2 12、若x 4x 4的值为0,则3x 12x 5的值是 13、若 x 2 ax 15 (x 1)(x 15) 则 a = 22 14、若 x y 4,x y 6 则 xy 2 15、方程 x 2 4x 0，的解是 二、选择题： 10 分) 1 、多项式 a(a x)(x b) ab(a x)(b x) 的公因式是 A 、－ a 、 B 、 a(a x)(x b) C 、 a(a x) D 、 a(x a) 2、若 mx 2 kx 9 2 (2x 3)2，则 m ， k 的值分别是( A 、 m= — 2 ， k=6 ， B 、 m=2， k=12， C 、 m=—4， k=—12、 D m=4 , k=12、 2 3、下列名式： x 2 2 2 2 2 / 、2 / 、2 y , x y , x y ,( x) ( y) 44 ,x 4 y 4 中能用平方差公式分解因式的有(

八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)

第一章因式分解 【经典基础训练】 一、填空：（30分） 1、若是完全平方式，则的值等于_____。 2、则=____=____ 3、与的公因式是＿ 4、若=，则m=_______，n=_________。 5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是_____________________。 6、若是完全平方式，则m=_______。 7、 8、已知则 9、若是完全平方式M=________。10、， 11、若是完全平方式，则k=_______。 12、若的值为0，则的值是________。13、若则=_____。 14、若则___。15、方程，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式的公因式是（） A、－a、 B、 C、 D、 2、若，则m，k的值分别是（） A、m=—2，k=6， B、m=2，k=12， C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（） A、1个， B、2个， C、3个， D、4个

4、计算的值是（）A、B、 三、分解因式：（30分） 1 、 2 、 3 、4、 5、6、7、8、 9 、10、 四、代数式求值（15分） 1、已知，，求的值。 2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值 3、已知，求的值 五、计算：（15） （1）0.75（2）（3） 【经典提高训练】 1、有一个因式是，另一个因式是（） A． B． C． D． 2、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（） A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、(a＋b)2(a－b)2 3、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（）A、1 B、-1 C、4或-1 D、- 4或1 4、已知为任意整数，且的值总可以被整除，则的值为（）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数 5、把代数式分解因式，结果正确的是 A． B． C． D． 6、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。 A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 7、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。

经典因式分解练习题100道

For personal use only in study and research; not for commercial use 1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 14．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25

21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121