2008年全国初中数学竞赛(海南赛区)
初 赛 试 卷
(本试卷共6页,满分120分,考试时间:3月20日8:30——10:30)
题 号 一 二 三
总 分
(1—10)
(11—17)
18 19
20
得 分
一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)
在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内 题 号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
1.若为实数,则化简
的结果是
A. -
B.
C.±
D. || 2.如果
是完全平方式,则
的值为
A .-1
B .1
C .1或-1 D. 1或-3
3. 如图1,点A 、B 、C 顺次在直线l 上,点M 是线段AC 的中点,点N 是线段BC 的中点.若想求出MN 的长度,那么只需条件
A .AB=12
B .BC=4
C .AM=5 D. CN=2 4.在平面直角坐标系内,已知A(3,-3),点P 是轴上一点,则使△AOP 为等腰
三角形的点P 共有
A .2个
B .3个
C .4个 D. 5个 5.已知关于的方程
无解,那么
的值是
A .负数
B .正数
C .非负数
D .非正数
图1
l
6.一次函数
的图像经过点M(-1,-2),则其图像与轴的交点是
A .(0,-1)
B .(1,0)
C .(0,0)
D .(0,
1)
7.如图2,在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE(∠ACE <120°),点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点,则△CPM 是
A .钝角三角形
B .直角三角形
C .等边三角形
D .非等腰三角形
8.某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学,统计表如下表.由于不小心弄脏了表格,有两个数据看不到.
鞋码 38 39
40
41
42
人数
5
3 2
下列说法中正确的是
A .这组数据的中位数是40,众数是39
B .这组数据的中位数与众数一定相等
C .这组数据的平均数P 满足39<P <40
D .以上说法都不对 9.如图3,A 、B 是函数
图像上两点, 点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上,且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6, 则长方形OEBF 的面积是
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
10. 某商店有5袋面粉,各袋重量在25~30公斤之间,店里有一磅秤,但只有能称50~70公斤重量的秤砣,现要确定各袋面粉的重量,至少要称
A .4次
B .5次
C .6次 D. 7次
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,满分35分)
图3
图2 A
B
C
D
P
M
11.如果不等式组
无解,则a 的取值范围是.
12.已知,,则.
13.如图4,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC ,E 为垂足, 若cosB
,EC=2,P 是AB 边上的一个动点,则线段
PE 的长度的最小值是.
14.小丁、小明、小倩在一起做游戏时,需要确定做游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、布、锤子”的方式确定.那么在一个回合中三个人都出“布”的概率是.
15.已知、为实数,且,
,设
,
,则
的值等于.
16. 如图5,在△ABC 中,AB=AC=
,BC=2,以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 两边于点D 、E ,则△CDE 的面积为_________.
17. 一个几何体,是由许多规格相同的小正方体堆积而成的,其主视图、左视图如图
6所示,要摆成这样的图形,至少需用______块小正方体 18. 若直线(为实数)与函数的图象至少有三个公共点,则实数的取值范围是_________.
三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)
19. 某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给优惠;超过100元而不超过300时,按该次购物全额9折优惠;超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元,现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,则小丽应该付款多少元?
20. 如图7,正方形ABCD 的边长为1,点F 在线段CD 上运动,AE 平分∠BAF 交BC 边
图5
A
B C D
E O ·
图4
A
B
C
D
E P ·
图6
主视图 左视图
于点E.
(1)求证: AF=DF+BE.
(2)设DF=(0≤≤1),△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值?若存在,求出此时的值及S. 若不存在,请说明理由.
2008年全国初中数学竞赛(海南赛区)
初赛试卷参考答案
一、1. D 2. D 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 二、11. a ≤1 12. -1 13. 4.8 14. 15. 0 16. -1 17. 18. 0<b ≤1
解答提示:
1.∵ 当<0时,=||=-. 故选D. 2.,解得
或
. 故选D.
3.
,∴只要已知AB 即可.故选A.
4. 分别以点A 、O 、P 三点为等腰三角形的顶点三种情况考虑.
5. 关于x 的方程无解,则.∴有或者a 、b 异号,
故选D.
6. ∵一次函数的图像经过点M(-1,-2),则有,解得.所以函数解析式为.令代入得.故其图像与y 轴的交点是(0,-1).故选
A.
7.易得△ACD ≌△BCE.所以△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的.
又M 为线段AD 中点,P 为线段BE 中点,故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得.所以CP=CM 且,∠PCM=60°,故△CPM 是等边三角形,选C.
8.(1)由中位数及众数的意义以及表格可知当这组数据的中位数是40时,众数必然是40,所以A 错误.(2)当39码与40码的人数都是5时,中位数与众数不等,所以B 错误.(3)假设剩余10人全部穿39码鞋,可得平均数为39.35;假设剩余10人全部穿40码鞋,可得平均数为39.85.可以判断C 正确.(或者设穿39码鞋的有人,且由0≤≤10也可得解) 故选C. 9. ∵,
∴
,故选B.
10.拿出任意三袋,假设它们的重量分别为x 千克、y 千克、z 千克,两两一称,记录下
图7
A B
C D
E F
相应的重量,若分别等于a 千克、b 千克、c 千克,则有方程组
容易求出x 、y 、
z ;另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称,即可求出其重量.所以需要称5次,故选B.
11.解不等式组
得
,因为原不等式组无解,所以必有a ≤1.
12.∵ ,又,则
∴,解得. 故.
13. 设菱形ABCD 的边长为x ,则AB=BC=x ,
又EC=2,所以BE=x -2,因为AE ⊥BC 于E ,所以在Rt △ABE 中, cosB
,又cosB
,于是
,解得x =10,即AB=10.
所以易求BE=8,AE=6,当EP ⊥AB 时,PE 取得最小值.
故由三角形面积公式有:
AB ·PE=
BE ·AE ,求得PE 的最小值为4.8 .
14.用树状图列出一个回合中三个人所出手势的各种结果.
上面只画出树状图的一部分(列出9种结果),把图中小丁的“剪”改为“布”重复上述画法,可再列出9种结果,最后改为“锤”同样也列出9种结果,所以共有27种结
果,故求得P (布,布,布)=
15.∵,,
∴
.
∴=0.
16. 如图,连结AE 、BD ,作DF ⊥EC 于点F. ∵ AB 是⊙O 的直径 ,∴∠ADB=∠AEB=90° 又∵ AB=AC ,∴CE=BC=1,∴ AE=
∵
,∴ BD=, ∴ 在△ABD 中,AD=
,∴ CD=
剪
剪 剪 布 锤布 剪 布 锤 锤
剪 布 锤 小丁 小明 小倩 A
B
C
D E F O · A B
C
D
P
又∵△CDF ∽△CAE ,∴
,可求得DF=
. ∴△CDE 的面积为
.
解法2:如图,连结AE 、BD ,DE.∵ AB 是⊙O 的直径 ,∴∠ADB=∠AEB=90° 又∵ AB=AC ,∴ BE=CE=1,∴ AE=.
∵
,∴ BD=, ∴ 在△ABD 中,AD =,∴ CD=
.
∴ S △CDE =
S △BDC =
.
17.小正方体个数最少情况如图所示(图中数字表示该位置小正方体的个数)所以最少
为5块.
18. y =2-4+3=(-2)2-1, 此函数的大致图象如图①所示,因些函数y =|2
-4+3|的图象如图②所示,而当b 取遍所有实数时,y =b 表示所有与y 轴垂直的直线,结合①②,易知b 的取值范围为0<b ≤1.
三、19.因为100×
0.9=90<94.5<100,300×0.9=270<282.8,所以有两种情况: 设小美第二次购物的原价为x 元,则(x -300)×0.8+300×0.9=282.8解得,x =316 情况1: 小美第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元
则小丽应付(316+94.5-300)×0.8+300×0.9=358.4(元) 情况2: 小美第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过则第一次购物原价为:94.5÷0.9=105(元) 所以小丽应付(316+105-300)×0.8+300×0.9=362.8(元).
20.(1)证明: 如图,延长CB 至点G ,使得BG=DF ,连结AG. 因为ABCD 是正方形,所以在Rt △ADF 和Rt △ABG 中,AD=AB ,∠ADF=∠ABG=90°,DF=BG.
∴ Rt △ADF ≌Rt ABG (SAS ),∴AF=AG ,∠DAF=∠BAG. 又 ∵ AE 是∠BAF 的平分线 ∴∠EAF=∠BAE, ∴∠DAF+∠EAF=∠BAG+∠BAE 即∠EAD=∠GAE.
∵ AD ∥BC ,∴∠GEA=∠EAD ,∴∠GEA=∠GAE ,∴ AG=GE. 即AG=BG+BE.∴ AF=DF+BE ,得证. (2)
∵ AD=AB=1, ∴
由(1)知,AF=DF+BE, 所以.
在Rt △ADF 中,AD=1,DF=x , ∴
,∴
. 由上式可知,当x 2
达到最大值时,S 最大.而0≤x ≤1, 所以,当x =1时,S 最大值为
.
A
B
C
D
E
F G
俯视图 2 1
2 y 1 O
3 x M(2,-1) ·
图①
y y =1
1 3 x O M /
(2,1) 图② A
B
C
D E
O ·